基于時變VaR的動態套期保值策略研究

張勝杰，張敏敏

(1.上海理工大學管理學院，上海 200093;2.廊坊師范學院管理學院，河北廊坊 065000)

股票價格風險，包括非系統性風險和系統性風險.投資者可以通過組合投資消除非系統性風險，但對于系統性風險卻無能為力.我國股指期貨推出已有一年，為投資者提供了通過套期保值來規避系統性風險的有效工具.

對于套期保值，以往研究主要集中在兩個方面:一是計算最優套保比，即基于某個風險量化指標，如方差、效用、VaR等，求其最小化的最優套保比，可用來確定套保者需要交易的期貨頭寸數量;二是計算套保風險，即已知套保組合的結構(即套保比)，建立模型來度量套保組合的市場風險，如VaR、CVaR等，可用來確定套保者的風險準備金.

在第一方面，國外學者提出了眾多模型計算最優套保比，按照是否需要調整套保頭寸分為靜態模型和動態模型，各模型中確定最優套保比的目標函數主要分為三類:基于風險最小化、效用最大化、VaR最小化，其中效用最大化目標在投資者極端厭惡風險等條件下可以轉化為風險最小化.這三類中靜態模型的研究較為成熟，如Johnson(1960)［1］最早提出，通過OLS法估計線性回歸模型，得到風險最小化的靜態最優套保比，是簡單常用的一種方法;Ghosh(1993)［2］在OLS模型的基礎上考慮了期貨、現貨價格之間的協整關系，提出ECM模型，反映了變量之間的長期均衡關系和短期變化，具有更準確的估計結果.周怡(2008)［3］以VaR最小化為目標，針對我國銅期貨市場，主要研究了最優靜態套保比的計算問題.相比靜態模型，動態模型因其復雜性主要以風險最小化為目標，如Kroner和Sultan(1993)將誤差修正模型及BGARCH模型整合為協整－BGARCH模型，研究了IMM市場外匯期貨的動態套保績效;遲國泰等(2008)［4］對我國銅期貨建立了DC－MSV動態套保模型，并進行了套保績效的有效性檢驗.馬超群等(2011)［5］研究了外匯期貨的最小方差動態套保問題，發現Copula－GARCH模型的套期保值效果相對較好.

在第二方面，為了定量描述和控制風險，眾學者提出過許多不同的風險度量方法.至今，VaR因其簡單易讀、意義明確而成為市場風險度量、控制、監管的主流指標.對VaR的估計主要有J.P.Morgan公司(1996)［6］提出的基于收益率服從正態分布的方差－協方差法，并逐漸得到業界的普遍認可;對于半參數和非參數方法，Fan(2003)［7］提出了先用半參數法估計波動率，再用參數與非參數的方法估計分位數，并對全球主要股指的VaR進行了估計;Femandez(2005)［8］用極值理論方法研究了風險管理.

可以看出，套期保值研究中存在兩點不足:計算最優套保比時，靜態模型的研究比較成熟，但動態模型因其復雜性，基于時變VaR的研究較少;度量現貨、期貨的市場風險時，著重研究單個市場、或已知套保比時套保組合的時變VaR，而其逆問題——求最優套保比和最小化的時變VaR，也缺乏這方面的研究.

本文彌補了上述不足，以時變VaR最小化為目標，建立ECM－BGARCH模型來擬合市場波動，推導出最優套保比的動態模型，根據時變的市場風險來確定時變的套保比，并同時滿足每日VaR都達到最小且有效.本文動態模型的優點在于:(1)用VaR指標來度量、控制套保組合的市場風險，具有其優越性，因為VaR與套保者的風險準備金相關聯，求套保比使VaR最小化，就是使套保者的風險準備金最小化，可減少資本占用成本，也更容易達到監管要求;(2)采用動態套保策略，因為市場風險是時變的，套保比是影響VaR的主要變量，也應是時變的，才能使時變VaR達到最小，因此動態套保策略具有與市場變化相一致的優點.

1 最優套保比模型

1.1 基于方差最小化的最優套保比

Johnson (1960)［1］最早在風險(方差)最小化的條件下，提出了商品期貨的最優套保比的概念，并給出了最優套保比的計算公式h也可由OLS線性回歸模型估計得出.其中σsf為現貨、期貨收益率的協方差，σff為期貨收益率的方差.

1.2 基于VaR最小化的最優套保比

下文推導了基于VaR最小化的最優套保比hVaR(公式中簡記為h)，并推論出hVaR是對HMV的擴展.以國內投資者最常用的空頭套期保值為例，即投資者擁有現貨資產，并擔心現貨價格下跌，則套保組合的期貨合約需為空頭頭寸.記rs、rf:現貨、期貨收益率;μs、μf:現貨、期貨收益率的期望;σs、σf:現貨、期貨收益率的標準差，則套保組合收益率rh=rs－hrf的期望和標準差分別為:

其中F－1(α)為累計概率為α的逆分布函數，即r*h的左α分位數.將式(1)、(2)代入式(3)，得

可見，在置信度1－α給定的條件下，VaR是h的函數.求VaR的最小值點，需滿足如下一階、二階條件:

由此求得，基于VaR最小化的最優套保比為

將hVaR與基于方差最小化的最優套保比hMV相比，得出以下推論.

推論1 hVaR是hMV的擴展.從式(6)可以看出，hVaR由兩部分組成:第一部分為純套保頭寸hMV=，只考慮方差最小化，不考慮收益且與α無關;第二部分為投機頭寸，為是對純套保頭寸hMV的調整.當μf＞0時，期貨空頭的投機頭寸＜0，可以解釋為當套保者預期期貨價格上漲時，做多期貨合約進行投機;當μf＜0時，同理，做空投機.投機頭寸與α有關，反映了套保者的風險偏好.因此給定α后，hVaR的本質是在純套保頭寸hMV的基礎上進行投機頭寸的調整，以提高套保組合的期望收益率(雖然同時增加了投機風險)，從而使VaR達到最小.

推論2 方差最小化是VaR最小化的特殊情況，且在四種情況下，投機頭寸為0，hVaR退化為hMV: (1)μf=0，即期貨預期收益率為0，套保者認為沒有投機機會;(2)α≈0或VaR的置信度1－α≈100%，即套保者極端厭惡風險，不去投機;(3)ρ=1，即現貨、期貨收益率完全線性相關，期貨投機收益會完全被現貨的損失抵消，投機對套保組合不會產生凈收益;(4)σ2f≈∞，即期貨市場風險巨大，厭惡風險的套保者也不去投機.

1.3 基于時變VaR的動態套保策略

式(6)求出的套保比h是靜態的，代入式(4)求出的最小化VaR也是靜態的，無法反映出市場風險的時變性.對式(6)、(4)中的標準差σ、相關系數ρ、期望收益率μ等進行動態擬合，得到時變的條件標準差σt、條件相關系數ρt、條件期望收益率μt等，則將靜態模型擴展為更符合市場波動特性的動態模型，便得到了基于時變VaR最小化的最優動態套保比ht和最小化的時變VaRt，如式(7)、(8)所示:

其中，時變參數σt、ρt、μt等可用下面的ECM－BGARCH模型來擬合.

1.4 ECM－BGARCH模型

金融時間序列的波動通常具有聚集性、時變性，大量實證表明Bollerslev(1986)［9］提出的一元或多元GARCH模型能成功刻畫這些波動特征.對于動態套期保值問題，則需建立BGARCH(二元GARCH)模型來擬合現貨、期貨收益率的時變二階矩.本文考慮了現貨、期貨價格之間的協整關系，把誤差修正模型與BGARCH模型結合起來，用現貨、期貨對數價格的協整回歸殘差et－1作為誤差修正項ecmt－1，建立了對角VECH形式的ECM－BGARCH模型，對現貨、期貨的一階矩、二階矩進行動態擬合:

其中

1.5 VaR有效性檢驗

式(8)計算出VaR后，要通過事后的回測方法檢驗模型是否準確.最常用的是失效率檢驗法，通過回測，計算實際損失超出VaR的失效頻率與α是否一致，來判斷VaR模型的有效性［10］.如果失效率與α相差較大，表明模型高估或低估了實際風險.

設回測天數為T，失效天數為N，則失效率記為p=N/T.檢驗的零假設為H0∶p=α;備擇假設為H1∶p≠α，這樣失效天數N就服從一個二項式分布B(T，α).Kupiec(1995)提出了采用似然比檢驗法，似然比統計量LR=2ln［(1－p)T－NpN］－2ln［(1－α)T－NαN］.

零假設成立時，統計量LR近似服從自由度為1的χ2分布，在95%的置信水平下，若LR＞3.841，則拒絕零假設，認為實際失效率與α不符，VaR模型不是有效的.

1.6 套保績效的評價指標

對于套保比模型，除了進行VaR有效性檢驗外，源于套保者的避險目的，還需評價模型的套保績效HE(Hedging Effect)，大多數學者采用Ederington(1996)［11］提出的方差減小率HE，即與未進行套期保值時現貨收益率的方差相比，套保組合收益率的方差減小的比率.

套保績效HE反映了進行套期保值后資產組合風險降低的程度，HE值越大說明風險降低程度越大，經過套期保值后規避風險的能力越強，套保績效越好.

2 樣本數據說明

選取的研究變量為:滬深300現貨指數(簡稱“現貨”)的日收盤價St和滬深300股指期貨(簡稱“期貨”)的日收盤價Ft.其中，期貨頭寸選擇與現貨走勢更趨一致的當月合約，為了避免到期日效應的影響，在進入交割月的第一天移倉至下月合約，則將逐月移倉展期的當月期貨合約價格連接起來構成連續的期貨價格序列.對St和Ft做對數變換，得到現貨、期貨的日對數價格ln St、ln Ft;再做差分變換，得到現貨、期貨的日對數收益率rs，t=△ln St、rf，t=△ln Ft.

樣本數據的時間范圍是:2010年4月16日(即股指期貨交易首日)至2011年4月15日，樣本容量為240天.本文數據來源于Wind資訊，分析工具為S－plus8.0，統計檢驗中默認的顯著性水平為0.05.

3 實證分析

3.1 現貨、期貨收益率的描述統計

如表1所示，現貨、期貨收益率序列的統計和分布特征相似:均值接近0，略微左偏，尖峰厚尾，呈非正態分布;標準差分別為1.57%和1.72%，說明期貨波動性略高于現貨，這與期貨市場的杠桿作用、高流動性是一致的.Q(12)是序列相關性檢驗的Ljung－Box Q統計量，對于現貨、期貨收益率都不顯著，表明現貨、期貨收益率都不存在直到12階的自相關性，我國股指現貨與期貨市場是弱式有效的.

表1 現貨、期貨收益率的描述統計

3.2 單位根檢驗

在協整檢驗之前，需要對現貨對數價格ln St、期貨對數價格ln Ft分別進行單位根檢驗，發現都不平穩;對其一階差分序列(即現貨、期貨的對數收益率)分別進行單位根檢驗，都具有平穩性.檢驗結果如表2所示，證明現貨、期貨對數價格都是一階單整序列，現貨、期貨收益率都是平穩序列.

表2 現貨、期貨對數價格的單位根檢驗

3.3 協整關系檢驗

在滿足同階單整的前提下，用Engle－Granger兩步法對現貨、期貨對數價格ln St、ln Ft做協整關系檢驗.首先，建立協整回歸模型，估計結果如下:

然后，對協整回歸模型的殘差序列進行單位根檢驗，檢驗結果如表2末行所示.ADF檢驗表明協整回歸模型的殘差序列是平穩的，證明現貨、期貨對數價格具有(1，1)階協整關系，為建立誤差修正模型提供了前提條件，殘差序列et－1即是ECM－BGARCH模型中反映長期均衡誤差的誤差修正項ecmt－1.

3.4 分布的擬合與非參數檢驗

在最優套保比計算公式(7)中，需得到標準化套保組合收益率r*h的逆分布函數F－1(α)，本文用參數法對其分布進行擬合，并進行非參數檢驗.

然后，根據r*h的頻數直方圖(圖1)和金融時間序列具有尖峰厚尾的特點，對r*h進行t分布擬合，其自由度參數n用極大似然法估計，得n^=5.3523;

最后，對擬合分布進行非參數檢驗，檢驗的原假設為H0∶r*h～t(5.3523).檢驗結果如表3所示，χ2統計量、K－S統計量都無法拒絕原假設;同時J－B統計量拒絕了r*h為正態分布的原假設，三種非參數檢驗都表明，t(5.3523)分布能較好的擬合r*h的分布特性.因此可得F－1(α)，即自由度為5.3523的t分布的左α分位數，如F－1(0.05)=－1.9861，F－1(0.025)=－2.5205，F－1(0.01)=－3.2743.

圖1 標準化套保組合收益率的頻數分布圖

表3 標準化套保組合收益率分布的非參數檢驗

3.5 套保比模型估計

對ECM－BGARCH模型進行參數估計，并由估計結果得到計算動態套保比ht所需的如下序列:現貨條件標準差序列σs，t、期貨條件標準差序列σf，t、相關系數序列ρt和期貨條件均值序列μf，t;代入式(7)中，可得動態套保比序列ht;再代入式(8)中，可得時變的最小VaR序列.

作為與動態套保策略的對比，將表1的數據代入式(6)，可得靜態套保比h;再代入式(4)，可得固定的最小化VaR.

靜態、動態套保策略的套保組合收益率序列rh，t與95%VaR序列的對比，如圖2所示;套保績效與VaR有效性檢驗的對比，如表4所示.

圖2 靜態套保策略的固定VaR(左)與動態套保策略的時變VaR(右)

表4 不同置信度1－α下，靜態、動態套保策略的套保績效與VaR有效性檢驗

3.6 套保績效評價

從平均套保比來看，各置信度下，動態套保比ht的均值ht為0.91，靜態套保比h為0.86，ht＞h，說明動態套保策略跟蹤現貨走勢更加準確，因此需要更多的期貨頭寸來對沖現貨風險.

從套保績效來看，在各置信度下，動態模型的套保績效都好于靜態模型，說明本文發展的動態套保策略是有效的.當置信度1－α=95%即α=5.0%時，動態模型的套保績效為0.8987，說明套保者采取本文發展的動態套保策略能規避我國股市89.87%的系統性風險.

從VaR來看，在各置信度下，動態模型的平均VaR更低，意味著需要更少的風險準備金，節約了套保者的資金占用成本，也更容易達到資金監管要求.不僅如此，在對VaR有效性檢驗中，動態模型具有更接近0的LR統計量，說明實際失效率更接近α，時變VaR更準確反映了市場異常.從圖2也可以看出，靜態套保策略的VaR固定不變，而動態套保策略的VaR在一定范圍內波動，準確跟蹤了市場風險的變化，在市場波動較小時VaR也較小，降低了套保者的風險準備金數量.

4 主要結論

本文彌補了對套期保值現有研究的兩點不足，以時變VaR最小化為目標，建立ECM－BGARCH模型來擬合市場波動，推出了最優套保比hVaR的動態模型，根據時變的市場風險來確定時變的套保比，并同時滿足每日VaR都達到最小且有效.將hVaR與最小方差套保比相比hMV，得出了兩個重要推論:

(1)hVaR是hMV的擴展:hVaR由兩部分組成:純套保頭寸和投機頭寸，其本質是在純套保頭寸hMV的基礎上進行投機頭寸的調整，以提高套保組合的期望收益率，使VaR達到最小;

(2)在期貨預期收益率為0、套保者極端厭惡風險、現貨期貨收益率完全線性相關、期貨市場風險巨大等四種情況下，投機頭寸為0，hVaR退化為hMV.

然后，文中以空頭套期保值為例，對股指期貨的動態套保策略進行了實證研究.與靜態模型相比，動態模型體現出更好的應用效果:

(1)從套保績效來看，在各置信度下，動態模型的套保績效都好于靜態模型，說明本文擴展的動態套保策略是有效的.當置信度1－α=95%即α=5.0%時，動態模型的套保績效為0.8987，說明套保者采取本文發展的動態套保策略能規避我國股市89.87%的系統性風險;

(2)從VaR來看，在各置信度下，動態模型的平均VaR更低，意味著需要更少的風險準備金，節約了套保者的資金成本，也更容易達到資金監管要求;

(3)在對VaR有效性檢驗中，動態模型具有更接近0的LR統計量，說明實際失效率更接近α，在套保者對風險準備金管理過程中，動態套保策略計算的時變VaR更準確反映了市場異常.

［1］Johnson L.The theory of hedging and speculation in commodity futures［J］.Review of Economic Studies，1960，27(3):139－151.

［2］Ghosh.Hedging with stock index futures:estimation and forecasting with error correction model［J］.Journal of Futures Markets，1993，(13):743－752.

［3］周怡.以VaR為目標函數的期貨最優套期保值比率估計［J］.統計與決策，2008，(18):157－159.

［4］周穎，張紅喜，遲國泰.基于DC－MSV的動態套期保值模型及實證研究［J］.系統管理學報，2008，(8):409－417.

［5］馬超群，王寶兵.基于Copula－GARCH模型的外匯期貨最優套期保值比率研究［J］.統計與決策，2011，(12):124－128.

［6］Jorion P.Risk:Measuring the risk in Value at Risk［J］.Financial Analysis Journal，1996，(11－12):47－56.

［7］Fan Jianqing，Juan Gu.Semiparametric estimation of Value at Risk［J］.Econometrics Journal，2003，(6):261－290.

［8］Fernandez，V.Risk management under extreme events［J］.International Review of Financial Analysis，2005，(14):113－148.

［9］Bollerslev T.Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity［J］.Journal of Econometrics，1986，(31):307－327.

［10］王春峰.金融市場風險管理［M］.天津:天津大學出版社，2003.

［11］Ederington L H.The hedging performance of the new futuresmarkets［J］.The Journal of Finance，1979，(34):157－170.