非理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

孔憲明，鞠培軍，馬曉燕，張 衛(wèi)，劉國彩，房 亮

(泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東泰安 271021)

近年來，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)的分析和設(shè)計(jì)問題引起了許多學(xué)者的廣泛研究.與通常的控制系統(tǒng)相比，NCS具有低成本、易于信息共享、易于維護(hù)和靈活性大等優(yōu)點(diǎn).但是，由于控制系統(tǒng)通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行連接，不同節(jié)點(diǎn)的實(shí)際距離可能非常遠(yuǎn)，并且由于網(wǎng)絡(luò)的不可靠性以及未知干擾因素的影響，數(shù)據(jù)包在網(wǎng)絡(luò)中傳輸會(huì)不可避免的遇到時(shí)間延遲、丟包以及錯(cuò)序等情況(稱為非理想網(wǎng)絡(luò)狀況)，這些情況都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的性能下降甚至不穩(wěn)定.目前，對(duì)于NCS的研究，大都是在理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下討論的，或僅研究網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和丟包［1－3］，或僅研究信息受限等［4－6］，對(duì)于一般的非理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下NCS的研究還不多見［7］.

本文將針對(duì)一類非理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下線性控制系統(tǒng)，建立一種區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)模型，研究其穩(wěn)定性分析問題，通過構(gòu)造一個(gè)新的Lyapunov－Krasovskii泛函，從而得到一個(gè)更少保守性的穩(wěn)定性判據(jù).這種方法很容易推廣到反饋控制和H無窮控制的設(shè)計(jì)中.

1 問題描述

考慮控制系統(tǒng)狀態(tài)方程

其中，x(t)∈?n和u(t)∈?m分別是系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)控制輸入，A和B0是具有恰當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.假設(shè)(A，B0)是可控的.系統(tǒng)通過網(wǎng)絡(luò)渠道連接，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1.

假定系統(tǒng)采樣器是時(shí)針驅(qū)動(dòng)，而零階保持器是事件驅(qū)動(dòng)，采樣周期是一個(gè)正整數(shù)T.假設(shè)所有的狀態(tài)是可測(cè)的，數(shù)據(jù)傳輸是經(jīng)過單包傳輸.其中，采樣序數(shù)是Si(i=1，2，3，…，∞)，而零階保持器的接受序數(shù)為tk(k=1，2，3，…，∞).采樣值通過網(wǎng)絡(luò)渠道傳輸，且成功傳輸?shù)男畔⒋娣旁诰彺嫫髦?緩存器的輸出信息為ˉx(tk)，依據(jù)此信息可設(shè)計(jì)控制器.

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)傳輸時(shí)滯為τSCk，數(shù)據(jù)傳輸中的丟包數(shù)為d(k)，則可得到ˉx(tk)=x(tk－τSCk)，其中，tk=Si+τSCk，tk+1=Sj+τSCk+1(i，j∈(1，2，3，…，∞)).顯然，∪∞k=0［tk，tk+1)=［t0，∞)，t0＞0.在實(shí)際控制中傾向于采用那些新的信息，而把舊的數(shù)據(jù)包放棄.所以假設(shè)Sj＞Si(i，j∈(1，2，3，…，∞))，同時(shí)考慮到零階保持器的作用，可得

令τ(t)=t－tk+τSCk，則τ(t)是分段線性函數(shù)，且t≠tk時(shí)，˙τ(t)=1.采取狀態(tài)反饋控制u(t)= Kˉx(t)，其中，K為狀態(tài)反饋陣，則系統(tǒng)(1)可寫為

其中Φ(t)為系統(tǒng)(2)的初始條件，B=B0K，變時(shí)滯τ(t)滿足

至此，我們建立了一種非理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下線性控制系統(tǒng)的區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)模型.下面將進(jìn)行穩(wěn)定性分析.首先給出如下引理，它將在主要結(jié)果的證明中起著重要作用.

引理1［8］對(duì)任意矩陣W∈?n×n，W=WT＞0和一個(gè)標(biāo)量γ＞0，向量函數(shù)˙x∶［－γ，0］→?n使得下列不等式成立

2 穩(wěn)定性新判據(jù)

定理1 對(duì)于滿足條件(3)的系統(tǒng)(2)，如果存在矩陣P＞0，S1＞0，S2＞0，S3＞0，S4＞0和Q=，滿足下面的矩陣不等式(LMI)，則系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的.

證明:構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii泛函

對(duì)V(xt)沿(2)求導(dǎo)得

由引理1得

~A=［A B 0 0 0 0］.由上得 ˙V≤ξT(t)Ωξ(t).若LMI(4)有解，則 ˙V≤－λξT(t)ξ(t)≤－λxT(t)x(t)，其中λ=λmin(－Ω)＞0.從而由Lyapunov－Krasokii穩(wěn)定性定理知，滿足條件(3)的系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證所提出方法的優(yōu)越性，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)已轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(2)，其中

當(dāng)時(shí)滯導(dǎo)數(shù)信息未知時(shí)，利用定理1及MATLAB軟件中的LMI工具箱，可得到表1.從表格中看到，應(yīng)用本文方法極大減少了結(jié)果的保守性.

表1 保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯區(qū)間

4 結(jié)論

本文針對(duì)一類非理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的線性控制系統(tǒng)，建立了一個(gè)區(qū)間時(shí)滯線性系統(tǒng)模型，通過構(gòu)造一個(gè)新的Lyapunov－Krasovskii泛函，討論了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題，得到了一個(gè)基于LMI的穩(wěn)定性判據(jù).數(shù)值算例說明所得結(jié)論具有較小的保守性.

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