新老教材中直線與圓錐曲線差異問題比較研究

玉邴圖

(廣南縣第一中學，云南廣南663300)

本文所述的新教材是指普通高中課程標準試驗教科書人教A版數學必修2和選修2－1［1－2］。老教材是指全日制普通高級中學教科書人教版數學(必修)第二冊(上)［3］。

1 教材中涉及直線與圓錐曲線部分問題比較

1.1 例習題的比較

新老教材中例題、習題的比較見表1。

表1 新老教材中例題、習題的比較

續 表

1.2 比較后的啟示

直線與圓錐曲線的位置關系既是解析幾何的重要基本知識，又是高考必考的重點內容，在每年各省市的高考中都有一個題，且有一定的綜合度，一般排在第21題或第22題。考查的主要內容是已知條件求直線和圓錐曲線方程，或是已知直線與圓錐曲線方程的位置關系研究其一些幾何量的性質，這一類問題數學思想方法多，如數形結合思想、函數與方程思想、等價轉換思想，因此在高考中常常以直線與圓錐曲線為載體全面考查學生的綜合能力，也是高考數學成績區分度較大的一個題目。

從上述表中的比較我們知道，在直線和圓錐曲線的位置關系中，老課本涉及的問題甚少，新課程課本涉及的問題甚多，題型也多姿多采，并且非常注重圓錐曲線弦長問題，有焦點弦，頂點弦，中點弦問題等。

1)在直線與圓中，老教材知識面單一，而新教材比老教材細化，并單獨編成一節(4.2.1)來介紹，其涉及知識面廣，形式多樣，要求較高，并涉及實際應用問題。新課改領先省市的高考題就有所體現，如下面的例題。

例1 (2008年高考江蘇卷第18題)設二次函數f(x)=x2+2x+t(x∈R)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三點的圓記為C。

(1)求實數t的取范圍;

(2)求圓C的方程;

(3)圓C是否經過某定點，說明理由。

例2 (2009年江蘇高考第18題，滿分16分)直角坐標系xoy中，已知圓C1∶(x+3)2+(y－1)2=4和圓 C2∶(x－4)2+(y－5)2=4。

(1)若直線l經過點A(4，0)，且被圓C1截得的弦長為求直線l的方程。

(2)設P為平面上的點，滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，并且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P坐標。

例3 (2008年海南、寧夏卷)已知m是實數，直線 l∶mx－(m2+1)y－4m=0 和圓 C∶x2+y2－8x+4y+16=0。

(1)求直線l的斜率的取值范圍;

1.1 文獻資料法 本研究基于中國期刊網及圖書館數據資料庫的搜索平臺，以“武術散打”“散打運動員”“技術特點”“中量級別”等為關鍵詞，查閱相關資料近20篇，借鑒前人研究經驗，梳理中量級別散打運動員技術發展現況，探尋技術發展特點，以期為散打運動員技術發展提供理論基礎。

2)新課本非常重視圓錐曲線弦長問題和弦的幾何性質，如第2章復習參考題B組第7題:經過拋物線y2=2px(p＞0)焦點F的直線交拋物線于AB，以AB為直徑的畫圓，借助信息技術工具，觀察它與拋物線準線的位置關系，你得到什么結論?相應于橢圓、雙曲線如何?你能證明結論嗎?”這是圓錐曲線中一條非常重要的幾何性質，其結論是:“以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，以AB為直徑的圓與橢圓的準線相離，以AB為直徑的圓與雙曲線的準線相交”。新課本所增加這些綜合內容也與近年來新課程省市的高考試題十分吻合，所以在平時的教學我們要有目的有意識的強化。

3)從比較的表中知道，新課本主要涉及的是圓錐曲線焦點弦和頂點弦，而焦點弦長題目甚多，反復出現，筆者認為，應該將部分題目置換為經過圓錐曲線中心的弦長和經過圓錐曲線準線與對稱軸交點的弦長問題，以增加形式多樣，多姿多彩的題型，這是因為不管求什么弦長，思路方法都是一樣的，不會增加難度。

2 教學建議淺說

2.1 研究直線與圓錐曲線性質

解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的，它是數形結合思想的產物，直線與圓錐曲線的綜合問題，是揭示出直線和圓錐曲線的本質屬性，在解題中，除了會應用兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、線到線的角公式、引入參數消去參數和韋達定理等外。還要學會靈活運用圓錐曲線的幾何性質和數形結合的方法，化繁為簡、直觀簡潔的解決問題。要充分挖掘題目所隱含的幾何性質和靈活應用平面幾何的有關性質，這樣往往可使繁雜問題簡單化。另一方面，在平時的教學中要引導學生掌握一些重要結論的證明思路、方法和技能，這些方法和技能對我們合學生在今后解決許多相關問題會有幫助。

2.2 夯實基礎，重視通性通法

直線與圓錐曲線綜合題都是由若干基礎知識點包裝組合而成的，故要深刻理解并熟練掌握直線和圓錐曲線的基礎知識和基本方法，構建有關基礎的知識網絡，尤其要注意一些常規問題的基本解法，在抓住通性通法的同時，有目的有意識地訓練有關減少解析幾何運算量的常用解題技能和技巧，從而使學生能準確、迅速地解決直線和圓錐曲線的綜合問題。

2.3 突出重點，注重知識整合

2.4 強化運算，力求避繁就簡

解析幾何運算能力是直線和圓錐曲線最突出的特點，而運算的求簡意識則集中體現在直線和圓錐曲線的有關綜合問題之中，所以，在遵循“設——列——解”的程序化運算的基礎上，突出解析幾何的設而不求的運算本質，努力幫助學生克服重思路方法，輕運算技能技巧的頑疾，突破如何避繁就簡這一瓶頸，充分發揮圓錐曲線定義和平面幾何的聯用，化難為易，化繁為簡的作用。

2.5 復習過程要注重回歸課本

回歸課本是正道，回歸課本是硬道理，多年來，一線教師和高考命題專家一直都倡導高考應以課本為本，課本是高考的依據，老教材和新課程教材的省市高考題仍然體現這一倡導，這是因為許多高考試題源于課本，甚至不回避課本中的原題，即使是綜合題，也是由課本的基礎題整合加工而成的，并且試題的表達方式和語言敘述盡可能與課本保持一致，充分體現課本的基礎作用。對于數學課本而言，它是數學知識和數學思想方法的重要載體，是教師和學生在教與學的主要依據，課本是主干知識的體現，是幾代編寫教材的人的集體智慧的結晶，具有很強的權威性、指導性、規范性、遷移性和可塑性。因此，高考命題高度關注課本在命題中的作用，充分發揮課本作為高考試題來源的功能。故在引導學生進行高考復習應試中，要要注重回歸課本，熟記課本基本概念、公式、方程，并會敘述與證明。課本上的例習題要條條過關，要充分發揮課本的基礎性和典型性的特點，通過解答課本例習題落實基礎，培養技能，通過多解、多變、反思、推廣、引申、應用來掌握解題規律，培養學生良好的思維品質和提高應試能力。

例如對課本涉及的圓錐曲線弦問題，可引導學生推廣引申證明如下幾個公式:

(1)(焦點弦的引申)過橫向型圓錐曲線焦點F作斜率是k或傾斜角為θ的直線交圓錐曲線于P，Q兩點，若離心率是e，焦點到相應準線距離為p，則(證明過程見教材［1］)。

(2)(頂點弦的引申)過橫向型圓錐曲線頂點A作斜率是k或傾斜角為θ的直線交圓錐曲線的另一點于P，若離心率是e，焦點到相應準線距離為p，則(證明過程見教材［2］)。

如果我們掌握它們的證明思路和方法，那么圓錐曲線弦問題便迎忍而解，近年來，新課程高考就與這兩個公式有緣。例如:

這兩道高考題分別取材于課本例習題的焦點弦和頂點弦問題。

2.6 認真研究高考考什么

要認真研究直線和圓錐曲線位置關系的重點熱點和難點，特別要研究高考直線和圓錐曲線的位置常考什么，怎么考，找準抓手，如何應對，在引導學生應試策略上下功夫，只有這樣做，我們才能以不變應萬變，也才能提升直線和圓錐曲線問題的考試質量。

2.7 加強集體備課發揮群體力量

“知識教育——能力教育——創新教育”是社會發展和新高考的需要與產物，也是人們對教育功能的認識和考試要求深入的結果，傳統教育忽視開發和培養創新思維能力，缺乏創造性，而部分教師觀念滯后、方法陳舊嚴重地阻礙了創新教育，適應不了現在高考創新的需要。為此我們應該大力倡導集體備課，匯集個體智慧，形成合力，整合成一個具有新特點、新思路的優質的備考方案。充分利用集體備課時間，解決教學中存在的問題，交流教學經驗。既豐富備課課堂的信息，又提高了教師的業務水平。

［1］普通高中課程標準實驗教科書數學(必修2)人教A版［M］.北京:人民教育出版社，2007:81－144.

［2］普通高中課程標準實驗教科書數學(選修2－1)人教A版［M］.北京:人民教育出版社，2007:32－82.

［3］全日制普通高級中學教科書(必修)數學(第二冊(上))［M］.北京:人民教育出版社，2006:34－133.