高考數學復習方法與應試技巧透視

●馬茂年 (杭州市第十四中學 浙江杭州 310003)

高考數學復習方法與應試技巧透視

●馬茂年 (杭州市第十四中學 浙江杭州 310003)

眾所周知,高考數學的復習面廣、量大,使不少考生感到畏懼、無從下手.在高考數學復習的最后階段,如何科學、合理、高效率地安排好數學復習,對高考成績的提高將起到很大的作用.如何才能提高數學復習的針對性和實效性呢?需要“三問”:第一要問“學懂了沒有”,即解決是什么的問題,學了什么知識;第二要問“領悟了沒有”,即解決為什么的問題,用了什么方法;第三要問“會用了沒有”,即解決做什么的問題,解決了什么問題.下面具體說說高考數學復習方法和應試技巧指導.

1 高考數學復習方法指導

1.1 梳理知識,形成網絡

高考數學復習的最后階段,要仔細推敲《考試說明》,分清哪些內容只需一般理解,哪些內容應重點掌握,哪些知識要求靈活運用和綜合運用.然后結合課本,把知識點從整體上再理一遍.譬如:函數內容可分為概念、性質、特殊函數、抽象函數這 4大主線,每條主線又有若干支線,一條支線又可分為若干分線,最后形成網絡.當梳理過程遇到不明了的問題時應翻書對照.具體地說就是,在學習中要駕馭好 3條線:知識(結構)是明線(要清晰、明了,編成一張知識的網絡);方法(能力)是暗線(要提煉、領悟);思維(訓練)是主線(要重視、加強).通過研究《考試說明》應明確“考什么”、“考多難”、“怎樣考”這 3個問題.縱觀近幾年浙江省的數學高考,我們發現命題的試題都比較新穎、活潑.因此在最后復習階段要加強對新題型的練習,揭示問題的本質,創造性地解決問題.

1.2 重視課本,注重方法

數學高考復習的最后階段應注重“看”:把課本內容包括正文和習題完整地看一遍,將知識要點用框圖的形式勾勒出來,在理解知識的發生、發展過程的基礎上,熟記數學概念、定義、公式、定理等,鞏固并完善自身的知識結構.還應注重“想”:對課本中的每道題不必一一做一遍,要多想想本題解決的關鍵是什么?涉及哪些知識點?涉及哪些思想方法?嘗試變更條件(或結論),會有怎樣的結論或需要補充什么條件?更應注重“練”:挑選部分有代表性的習題演練一遍,體會如何運用基礎知識解決問題,提煉具有普遍性的解題方法,以不變應萬變.

掌握數學思想方法可從 2個方面入手:一是歸納重要的數學思想方法;二是歸納重要題型的解題方法.在數列求和時,常用公式法、錯位相減法、裂項相消法以及迭代法、歸納證明法、待定系數法等.還要注意典型方法的適用范圍和使用條件,防止形式套用時導致錯誤.深入理解一個概念的多種內涵,對一道典型題應盡力做到從多條思路用多種方法處理,即一題多解;對具有共性的問題要努力摸索規律,即多題一解;不斷改變題目的條件,從各個側面去檢驗自己的知識,即一題多變.

1.3 查漏補缺,對癥下藥

相當一部分考生因為會做的題做錯而得分不高.究其原因,有知識方面的,也有方法方面的.因此,要加強對以往錯題的研究,找出錯誤的原因,對易錯知識點進行列舉、易誤用的方法進行歸納.每天必須堅持做適量的練習,特別是重點和熱點題型,保持思維的靈活和流暢.

每次考試或多或少會發生錯誤,這并不可怕,重要的是避免類似的錯誤重現.因此平時注意把錯題記下來,做錯題筆記包括 3個方面:(1)記下錯誤是什么,最好用紅筆劃出;(2)錯誤原因是什么,從審題、題目歸類、重現知識和找出答案這 4個環節來分析;(3)錯誤糾正方法及注意事項.

1.4 研究考題,總結經驗

數學能力的提高離不開做題.要通過一題聯想到多題,要著重研究解題的思維過程,弄清基本數學知識和基本數學思想在解題中的意義和作用,研究運用不同的思維方法解決同一數學問題,在分析解決問題的過程中既構建知識的橫向聯系又養成多角度思考問題的習慣.要重視和加強選擇題的訓練和研究.不能僅僅滿足于答案正確,還要學會優化解題過程,以贏得足夠的時間思考和解答高檔題.要不斷積累解選擇題的經驗,盡可能小題小做,除了運用直接法解題外,還要靈活運用特殊值法、排除法、檢驗法、數形結合法、估計法等來解題.在做解答題時,書寫要簡明、扼要、規范,只要寫出“得分點”即可.

1.5 吃透評分,沉著應戰

一些學生在考試時,題題被扣分,原因大多是答題不規范,抓不住得分要點,思維不嚴謹.這與平時不善于歸納、總結有關.建議在臨考前做一做近2年的高考試題(或有標準答案和評分標準的綜合卷),精心研究并吃透評分標準,力爭減少無謂的失分.

2 高考數學選擇題和填空題求解策略

要想確保在有限的時間內,對 10道選擇題和7道填空題作出有效的抉擇和求解,明晰解題思路是十分必要的.一般說來,數學選擇題和填空題有著特定的解題思路.

2.1 仔細審題,吃透題意

審題是正確解題的前題條件.通過審題,可以掌握用于解題的第一手資料——已知條件,弄清題目要求.

審題的關鍵在于:(1)將有關概念、公式、定理等基礎知識加以集中整理.凡在題中出現的概念、公式、性質等內容都是平時理解、記憶、運用的重點,也是解選擇題和填空題首先需要回憶的對象.

(2)發現題材中的“機關”— —題目中的一些隱含條件,往往是該題“價值”之所在,也是失分的“隱患”.

除此而外,審題的過程還是一個解題方法的抉擇過程,開拓的解題思路能使我們心涌如潮,適宜的解題方法則幫助我們事半功倍.

2.2 反復析題,去偽存真

析題就是剖析題意.在認真審題的基礎上,對全題進行反復的分析和解剖,從而為正確解題尋得路徑.因此,析題的過程就是根據題意,聯系知識,形成思路的過程.對于選擇題中一些似是而非的選項,可以結合題目將選項逐一比較,用一些“虛擬式”的“如果”,加以分析與驗證,從而提高解題的正確率.

2.3 抓往關鍵,全面分析

在解題過程中,通過審題、析題后找到題目的關鍵所在是十分重要的.從關鍵處入手,找到突破口,聯系相關知識進行全面的分析并形成正確的解題思路,從而可以化難為易、化繁為簡,解出正確的答案.

2.4 反復檢查,認真核對

在審題、析題的過程中,由于思考問題不全面,往往會導致“失根”、“增根”等錯誤,因此反復地檢查、認真地進行核對,也是解選擇題和填空題必不可少的步驟之一.

當然,僅僅有思路還是不夠的,“解題思路”在某種程度上來說,屬于理論上的“定性”,要想解具體的題目,還得有科學、合理、簡便的方法.

(1)直接計算法

有些選擇題和填空題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的.這類題型可直接從題設的條件出發,利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則,通過準確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論,從而確定選擇支的方法.

例 1將 5名志愿者分配到 3個不同的奧運場館參加接待工作,每個場館至少分配 1名志愿者的方案種數為＿＿.

(2)利用特值法

有些選擇題和填空題用常規方法直接求解比較困難,若根據答案中提供的信息,選擇某些特殊情況進行分析,或選擇某些特殊值進行計算,或將字母參數換成具體數值代入,把一般形式變為特殊形式,再進行判斷,則十分簡單.

(4)分析試探法

對于綜合性較強、選擇對象比較多的試題,可以根據題意建立一個幾何模型、代數構造,然后通過試探法來選擇,并注意靈活運用上述方法.

例 4在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱 A A1,C C1的中點,則在空間中與 3條直線A1D1,E F,CD都相交的直線 ( )

A.不存在 B.有且只有 2條

C.有且只有 3條 D.有無數條

分析在 E F上任意取一點 M,直線 A1D1與M確定一個平面,這個平面與 CD有且僅有 1個交點 N,當 M取不同的位置確定不同的平面,從而與CD有不同的交點 N,而直線 M N與這 3條異面直線都有交點.故選 D.

3 高考數學中檔題解題思路突破

對于數學高考中的中檔題,有人順水推舟,水到渠成;有人冥思苦想,難以入門.其實,這一切都緣于數學解題時的解題思路是否正確.下面筆者從以下幾個側面出發談點認識,供大家參考.

3.1 從數學的概念和性質中挖掘解題思路

3.2 從數學形式的轉化和過程中明晰解題思路

分析在已知的函數表達式中,由于 2個根號內的函數單調性不一致,因此很難直接判斷出該函數的單調區間.在一般情況下,研究函數的性質首先應考慮化簡解析式,然后再對其簡化的解析式進行分析、考查,這樣可使得求解目標更集中、解答更簡明.

3.3 從數學的等價變形和轉換中破解解題思路

例 72 008個乒乓球(大小相同)分別放入編號為 1,2,3,…,10的盒子中,要求第 i個盒子至少放 i個乒乓球,那么不同的放法有多少種?

分析 先確保 i號盒子放有 i個乒乓球,則有1+2+… +10=55個;再考慮其余 2 008-55=1 953個乒乓球放入 10個盒子中的放法,相當于將這些球用 9塊隔板隔開.由于留下來的這些球各個盒子可放可不放,因此可視隔板為特殊的球參與“組合”,球的不同放法等價于從 1 953+9=1 962個元素中選 9個元素(作為隔板),當這 9個元素位置確定了,隔板的位置也確定了,同時球的放法也就確定了.這 9個元素共有種選法,因此不同的放法有種.

3.4 從求解和求證的目標推理中擊活解題思路

3.5 從探索和尋求數學解題規律中發現解題思路

3.6 從對特殊性的探究和證明中感悟解題思路

3.7 從數形結合的解題過程中品味解題思路

3.8 從數學題目的具體特點中思索解題思路

例 12 設集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的 3條邊長},則 A所表示的平面區域(不含邊界的陰影部分)是 ( )

分析此題為選擇題,按直接法求解,需先利用三角形兩邊之和大于第三邊列出不等式組,進而畫出相應的區域,從而確定相應的答案,這樣解答十分繁瑣.不如變通思路,用排除法進行求解.在第2個圖形中取點 M(0.1,0.1),則 1-x-y=0.8,這樣,三角形兩邊之和小于第三邊,不可能,排除選項B;在第 3個圖形中,點 N(0.4,0.7)在陰影部分內,而 1-x-y＜0,不合題意,故排除選項 C;以同樣的方法可排除選項 D.故應選 A.

4 高考數學壓軸題預測和類型歸析

壓軸題是高考試題的主要表現形式,其特點是考查考生對高中數學各組塊知識的交匯、綜合能力、運算變形能力、信息整合能力、數學思想方法運用能力及創新思維能力.解答壓軸題的關鍵是做好審題和探究解題思路這 2個環節:審題時必須明確目的性、提高準確性、注意隱含性;探究解題思路時應力求從各個側面、不同角度分析條件與結論之間的關系,充分挖掘隱含條件,破除定式化.解答壓軸題還必須注意設計有效的解答步驟、完整的表達形式、清晰的輔助圖形.解答壓軸題還要注意:(1)語言轉換能力.每道數學綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成.解綜合題往往需要有較強的語言轉換能力.(2)概念轉換能力.綜合題的轉譯常常需要有較強的數學概念的轉換能力.(3)數形轉換能力.解題中的數形結合就是對題目的條件和結論既分析其代數含義又分析其幾何意義,力圖在代數與幾何的結合點上找出解題思路.運用數形轉換策略解題時要注意特殊性,否則會出現漏洞.

4.1 涉及函數、數列、導數、不等式、二項式定理等知識的壓軸題

評析本題是涉及函數、數列、導數、不等式、二項式定理等知識的綜合題,其主要應用化歸、討論、歸納等數學思想解決問題.運用扎實的基本知識理解和轉換綜合題,只要基本知識點熟悉,知識交匯思路清晰,確定解題途徑也將水到渠成.

4.2 借助導數方法解決函數單調性、最值問題的壓軸題

例 14已知函數 f(x)=+l n x-a x.

(1)若 f(x)在(0,1)上是增函數,求 a的取值范圍;

評析本題是借助導數方法解決函數單調性、最值問題的基本綜合性問題.導數方法的引入給函數背景的高考試題增添了活力,也極大地拓展了試題的外延,增強了函數的應用功能.

4.3 涉及函數、方程、不等式與解析幾何等綜合問題的壓軸題

評析本題是一道涉及函數、方程、不等式與解析幾何的綜合題,是一道考知識、考能力的好題.按步思維,層層遞進,直逼目標,這是解答數學綜合題的通法,尤其是借助函數圖像、方程的曲線等有利于綜合解題能力的提高.

4.4 涉及函數、解析幾何、方程、恒成立等綜合問題的壓軸題

評析在解決第(1)小題時,根據題意勾畫草圖是正確解決問題的保證;在解答第(2)小題中,無理式的分子有理化是順利證明不等式的關鍵所在;把第(3)小題轉化為斜率的范圍問題,巧妙地用具體的論證形式表達抽象的問題.

4.5 涉及方程、函數、導數、不等式等綜合問題的壓軸題

評析本題中 3個小題的 3種解題思路都很新:第(1)小題采用根與系數的關系含而不露地表達自己的意思,顯得非常老道;第(2)小題用導數判斷函數的單調性的思路是超前的和有力度的;第

(3)小題巧妙利用函數的單調性,并使右端自變量的絕對值與函數值的絕對值進行轉化.

4.6 涉及解析幾何、平面向量等綜合問題的壓軸題

圖1

評析運算變形能力是成功解決綜合題的保證,尤其是在解析幾何問題中表現得比較突出.許多問題的思路方法的確定是建立在上一步驟的運算結果的基礎上的.

4.7 涉及解析幾何、不等式、最值等綜合問題的壓軸題

(3)在滿足第(2)小題條件的橢圓上是否存在點 P,使得從 P向圓所引的 2條切線互相垂直,如果存在,求出點的坐標;如果不存在,說明理由.

評析運算能力固然重要,但回避繁重的運算的數學思想方法的靈活性就顯得更為重要.如果有比較扎實的數學思想方法功底,有較強的把握數學問題、剖析數學問題的能力,那么產生問題的妙解就不足為奇了.

4.8 涉及解析幾何、函數、導數、數列、二項式定理等綜合問題的壓軸題

評析本題的解決可以搜尋“常用數列遞歸方法”和“an與 p n+q的大小比較的基本思路”的信息資源庫,從而合理地選擇問題的解決方法.