簡述三角形四“心”的優美向量性質

●李顯權 (富順縣城關中學 四川自貢 643200)

簡述三角形四“心”的優美向量性質

●李顯權 (富順縣城關中學 四川自貢 643200)

文獻［1］和文獻［2］分別討論了三角形五心的一個統一向量性質．最近，筆者通過探究又得到了一組有關三角形重、內、外、垂等四心的優美向量性質．

圖1

(3)若DE經過銳角△ABC的外心，則

利用以上定理，可得三角形四心的如下性質:

性質1條件同定理1．

(1)若DE經過△ABC的重心，則

(2)若DE經過△ABC的內心，則

(4)若DE經過銳角△ABC的垂心，則

證明(1)由DE經過△ABC的重心，易知λ=，代入式(1)即得結論．

(2)如圖 2，由 DE經過△ABC的內心 I，利用文獻［2］中性質2的證明過程，可知

圖2

代入式(1)整理即得結論．

(3)參照圖2，由DE經過銳角△ABC的外心O，利用文獻［2］中性質1的證明過程，可知

代入式(1)整理即得結論．

(4)參照圖2，由DE經過銳角△ABC的垂心，利用文獻［2］中性質3的證明過程，可知

代入式(1)整理即得結論．

本文中得到的性質容易推廣到四面體中，留給有興趣的讀者．

［1］ 李顯權．三角形五心的一個統一向量性質［J］．數學通訊(下半月)，2010(7):19．

［2］ 陳和平．三角形五心的一個向量統一表示［J］．數學通訊(下半月)，2009(4):31-32．