●李顯權 (富順縣城關中學 四川自貢 643200)
簡述三角形四“心”的優美向量性質
●李顯權 (富順縣城關中學 四川自貢 643200)
文獻[1]和文獻[2]分別討論了三角形五心的一個統一向量性質.最近,筆者通過探究又得到了一組有關三角形重、內、外、垂等四心的優美向量性質.

圖1




(3)若DE經過銳角△ABC的外心,則

利用以上定理,可得三角形四心的如下性質:
性質1條件同定理1.
(1)若DE經過△ABC的重心,則

(2)若DE經過△ABC的內心,則
(4)若DE經過銳角△ABC的垂心,則

證明(1)由DE經過△ABC的重心,易知λ=,代入式(1)即得結論.
(2)如圖 2,由 DE經過△ABC的內心 I,利用文獻[2]中性質2的證明過程,可知


圖2

代入式(1)整理即得結論.
(3)參照圖2,由DE經過銳角△ABC的外心O,利用文獻[2]中性質1的證明過程,可知

代入式(1)整理即得結論.
(4)參照圖2,由DE經過銳角△ABC的垂心,利用文獻[2]中性質3的證明過程,可知

代入式(1)整理即得結論.
本文中得到的性質容易推廣到四面體中,留給有興趣的讀者.
[1] 李顯權.三角形五心的一個統一向量性質[J].數學通訊(下半月),2010(7):19.
[2] 陳和平.三角形五心的一個向量統一表示[J].數學通訊(下半月),2009(4):31-32.