用SAS程序模擬抽樣繪制t、F和χ2分布*

南京農業大學大豆研究所/國家大豆改良中心/作物遺傳與種質創新國家重點實驗室(210095) 邢光南 趙團結 蓋鈞鎰

用SAS程序模擬抽樣繪制t、F和χ2分布*

南京農業大學大豆研究所/國家大豆改良中心/作物遺傳與種質創新國家重點實驗室(210095) 邢光南 趙團結 蓋鈞鎰△

△通訊作者：蓋鈞鎰，E-mail：sri@njau.edu.cn

長期以來作為國際著名的統計軟件SAS以其強大的統計功能受到廣大使用者的青睞，并被廣泛介紹〔1-3〕。利用計算機輔助教學有利于改進統計課程的教學〔4〕，對那些內容抽象，學生難以理解，用傳統教學方法難以奏效的教學內容開展SAS系統輔助教學卓有成效〔5-7〕。t、F 和 χ2分布是重要的抽樣分布，是 t、F和χ2檢驗的基礎，由于這些分布的概率密度函數公式復雜，也是生物統計學教學的重點和難點。本文結合教科書的基本原理通過編寫SAS程序模擬上述抽樣分布，以加深教學過程中對t、F和χ2分布及其檢驗的理解。

基本原理

χ2分布若所研究的總體μ不知，而以樣本代替，則，此時獨立的離差個數為 n -1 個，v=n-1〔8〕。

F分布 在一個平均數為μ、方差為σ2的正態總體中，隨機抽取兩個獨立樣本，分別求得其均方和，將和的比值定義為 F ：F(vv，v2)=/，此 F 值具有的自由度v1和的自由度v2〔8〕。如果在給定的v1和v2下按上述方法從正態總體中進行一系列抽樣，就可得到一系列的F值而形成一個F分布。

SAS程序實現

宏creat用于產生樣本及其特征數如平均數、總和數、t值、u值、χ2值和F值，其中數據步data cy有三個循環語句，外循環語句用于產生100000個樣本，兩個并列的內循環語句分別用于產生樣本容量分別為n1和n2的隨機樣本(F測驗需要兩個樣本)，并分別于每個樣本后計算相應的方差。依據基本原理中的相應公式，第一個內循環后計算樣本容量為n1的t值、u值和χ2值，第二個內循環后計算分子樣本容量為n1，分母樣本容量為n2的F值。

宏pct用于輸出t、u、χ2和F分布的特征數、分位數及繪制累積概率分布圖。proc univariate過程用于輸出t、u、χ2和F 分布的分位數，如常見的P=0.95，用于理解其為何作為假設檢驗統計推斷的臨界值。

宏dist通過調用宏creat、宏pct和改變宏參數，產生各種分布的特征數、分位數及繪制累積概率分布圖和頻數分布圖。通過改變宏參數可隨時改變樣本容量，從而獲得不同樣本容量下的分布，以滿足不同樣本容量下各分布的異同比較。詳細的語句解釋見程序。

結果與分析

1.t分布及其與u分布的比較

t分布是一組對稱密度函數曲線，具有一個單獨參數v以確定某一特定分布，v是自由度〔8〕。本實驗中當樣本容量分別為5、10和30時，t分布的平均數分別為0.00541、-0.00045和 -0.00007，方差分別為2.00821、1.27955和1.06911。自由度較小的t分布比自由度較大的t分布具有較大的變異度。可見當v增大時，t分布趨向于標準正態分布。t分布曲線是對稱的，圍繞其平均數ut=0向兩側遞降。由于t分布受自由度制約，所以t值與其相應的概率也隨自由度而不同，如本實驗中當樣本容量分別為5、10和30時累積概率P=0.95對應的t值分別為2.15626、1.82674和1.68806，與文獻〔8〕附表4一致。在假設測驗時，當算得的|t|大于tα時，則表明其屬于隨機誤差的概率小于規定的顯著水平，因而可否定原假設。反之，若算得的|t|＜tα，則接受無效假設。

本實驗中當樣本容量分別為5、10和30時，同時模擬的u分布的平均數分別為0.00189、0.00204和0.00171，方差分別為 0.99367、0.99621 和 1.00937。可見差異不大，都是標準正態分布。

2.χ2分布

χ2分布圖形為一組具不同自由度v值的曲線。χ2值最小為0，最大為+∞，因而在坐標軸的右面。自由度小時呈偏態，隨著自由度增加，偏度降低，至+∞時，呈對稱分布。該分布的平均數為v，方差為2v〔8〕，如在本實驗中當樣本容量分別為5、10和30時，模擬的χ2分布的平均數分別為4.01224、8.97165和28.9879，方差分別為7.98599、17.7960和58.1971。χ2分布分位數與文獻〔8〕附表6一致。

3.F分布

從圖1可見，F分布乃具有平均數μF=1和取值區間為〔0，+∞〕的一組曲線;而某一特定曲線的形狀則僅決定于參數v1和v2。在v1=1或v1=2時，F分布曲線是嚴重傾斜成反向J型;當v1≥3時，曲線轉為偏態。隨著分子自由度的增加，F分布逐漸趨向于正態分布〔8〕。本實驗中分母自由度為29，分子自由度分別為1、4和29的F分布平均數分別為1.06977、1.07854和 1.07491，方 差 分 別 為 2.50501、0.71181 和0.17673，可見隨著分子自由度的增加，F分布的方差逐漸減小。本實驗中F分布分位數與文獻〔8〕附表5一致，說明了模擬的可靠性。

圖1 樣本容量n1分別為2、5和30，n2為30的F頻數分布圖和累積概率分布圖

討 論

本文通過學生較熟悉的SAS軟件編寫程序進行模擬抽樣，獲得了t、u、χ2和F抽樣分布，統計出的抽樣分布分位數與理論值一致。分位數是判斷假設檢驗是否顯著的標準。通過模擬抽樣求出各自由度下t、χ2和F分布所對應的分位數加深了學生對t、χ2和F抽樣分布和統計假設檢驗的理解。本文中的程序在課堂上作為講授理論課的例子輔助教學，激發了學生的學習興趣，收到了良好的教學效果。

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國家重點基礎研究發展規劃項目(2009CB118404)，教育部高等學校創新引智計劃項目(B08025)，農業部公益性行業專項(200803060)，國家自然科學基金項目(30900902)