金屬橡膠材料恢復力的三維模型

劉遠方，白鴻柏，李冬偉，王尤顏，陶 帥

(軍械工程學院，石家莊 050003)

金屬橡膠材料是一種由細金屬絲堆疊沖壓制成的多孔非線性彈性阻尼材料［1，2］，內部作用機理十分復雜，關于其恢復力的認識和表征，一直以來缺乏嚴密準確的模型。現有非線性彈性阻尼材料力學研究，在國外比較有代表性的是:雙線性恢復力模型［3］、一階線性微分方程模型［4］和跡法模型［5］等;在國內比較有代表性的是，上海交大博士龔憲生［6］認為，鋼絲繩的恢復力具有非線性遲滯特性(其特性與金屬橡膠基本相同)，其恢復力是動剛度和阻尼的函數，而其動剛度和阻尼又是振幅和頻率的非線性函數。文獻［7］對當前非線性彈性阻尼元件恢復力的建模和參數辨識給予了概括地介紹和整理，事實上現有恢復力模型對材料恢復力進行定性分析有一定成效，但是由于材料剛度和阻尼非線性性質的復雜和作用機理的差異，定量研究的模型多數存在模型過于抽象和參數辨識復雜的問題，對于具體的科學實踐來說缺乏針對性和操作性。

本文以Matlab軟件為平臺，以大量試驗數據分析為基礎，對一組離散諧波激勵條件下獲得的位移和恢復力數據進行整合處理，通過合理的插值擬合，結合金屬橡膠實際作用機理，設計擬合方法和模型結構形式，分別應用曲線和曲面擬合的最小二乘法，擬合恢復力關于位移和速度的二元解析方程。摒棄了現有模型在建立和應用時粗糙的線性簡化處理方法，解決了恢復力表征方法依賴諧波激勵振幅和頻率的弊端，實現了對金屬橡膠等非線性彈性阻尼材料恢復力解析表達的突破。

1 恢復力三維模型的一般形式

在非線性振動的微分方程中，慣性力、阻尼力或彈性力并不分別與加速度、速度及位移的一次方成正比［8］，文獻［9］也提到了非線性剛度和非線性阻尼的有關特征，在獲得試驗結果之前，概括性地認為金屬橡膠恢復力由對應狀態的位移和速度所決定:

其中z為恢復力;x為位移;y為速度;f為函數關系。

不同于現有二維模型的恢復力只以位移為變量，也不同于以諧波振幅和頻率為自變量的偽三維恢復力模型，本模型中恢復力表示為位移和速度的二元函數，具體模型結構將在數據處理之后，根據數據特征給出具體形式。

眾所周知，速度是位移的導數，一般不能認為位移和速度是兩個獨立變量，但是因研究問題的具體情況和空間形式等原因，位移和速度在某些場合也可以作為兩個獨立變量來處理。如圖1所示，以位移和速度為變量的坐標系，當外界激勵是不同振幅和頻率的諧波時，位移和速度在每個閉合曲線上存在唯一的確定性關系，但是因為曲線的不同，這個確定的關系也在改變，所以在整個定義域上，位移和速度具有不確定關系，可以作為三維恢復力模型中恢復力表達式的兩個獨立變量。

圖1 不同振幅和頻率諧波激勵下的位移和速度關系Fig.1 The displacement-speed relation under the harmonic excitation of different amplitude and frequency

2 恢復力三維模型結構分析和參數辨識

模型的建立以足夠的試驗數據分析為基礎，通過數據的處理和材料實際力學作用機理的分析，得到模型的合理結構形式。

2.1 數據采集

以電液伺服式材料試驗機為依托，選取某種工藝的中空圓柱形金屬橡膠試件，按照邊緣固支的懸臂梁方式夾持，中心孔處施加垂直于圓形端面的位移諧波激勵，試件產生剪切和彎曲變形(注:本模型)。以1 000 Hz的采樣頻率對試件的位移和恢復力進行數據采樣，儲存為一組txt格式的文本文件。

根據試件的使用場合(即:工作的位移和速度限定范圍)，在保證各位移和速度曲線在投影面分布均勻而充足的前提下，為了便于理論研究，設計如表1所示多種諧波激勵試驗，有“√”標記的情況需要進行試驗。

2.2 數據的預處理

由于受到試驗中傳感器精度、設備誤差、安裝誤差和文獻［10］所提到的干摩擦運動的躍動現象等因素的影響，原始數據不可避免地會出現對稱性和光滑度不理想的問題，必須對數據進行去直流分量和平滑處理。首先，對各數據去直流分量，以MATLAB軟件為平臺依次導入位移和恢復力的試驗數據，通過以下命令實現去直流分量處理:x=x-mean(x)，z=z-mean(z);然后，對位移和恢復力數據進行傅里葉變換處理后重構，通過重構后的位移解析式求導獲得速度數據以及實現恢復力的平滑處理(因為是位移控制，所以位移數據曲線處理前后光滑度變化不大)，如圖2所示，圖2(a)是恢復力處理前圖示，圖2(b)為處理后圖示，可以明顯看出處理前后曲線光滑度的差異。

圖2 數據預處理前、后的恢復力Fig.2 The restoring force before processed and after processed

表1 試驗設計A為振幅(mm)，ω為頻率(Hz))Tab.1 Experimental design(A represent amplitude(mm)，ω represent frequency(Hz))

2.3 數據的插值處理

雖然各曲線在位移——速度投影面上分布基本均勻，但是很難保證所有預處理后的數據點關于投影面均勻分布，如果直接進行空間曲面的最小二乘擬合，無法保證擬合精度，所以必須進行插值處理，得到關于投影面均勻的數據點。MATLAB軟件無法直接對一組向量進行插值，只有當數據具有如下特征時才可以:變量x和y都是一維向量，各自元素大小分別順序排列，向量 x，y通過命令［x，y］=meshgrid(x，y)變成矩陣，矩陣x的一個元素xi和矩陣y的一個元素yj剛好對應矩陣z的一個元素zij，只有在這種情況下才可以進行二維插值(一維插值針對曲線，二維插值針對曲面)，所以必須對數據進行插值前的整合，使之具有MATLAB軟件可識別的特征。本文的處理方法是，將預處理后的數據根據需要的投影面分辨率(10×10網格，根據情況自行設計)對所有數據進行壓縮整合，即在需要的投影面范圍x:(-a，a)，y:(-b，b)內，將所有數據按照 10 ×10網格分割處理，把每一網格的中心坐標分別賦值給矩陣x和y對應的元素，把網格內所有預處理后數據點的恢復力均值賦值給矩陣z對應的元素，這樣就得到了x，y，z三個同維矩陣，然后通過interp2()命令對全體數據進行二維插值。

插值后，觀察三維模型的曲面圖3(a)和恢復力等高線投影圖3(b)，可以看出以位移和速度為變量的恢復力是一個形狀并不復雜并且不閉合的坡形空間曲面。

圖3 擬合前恢復力的三維顯示圖和其等高線投影圖Fig.3 The three-dimension graphics and the contour line chart of the restoring force before fitting

2.4 恢復力組成的分析和模型參數的辨識

根據金屬橡膠的實際作用機理，結合數據的特點，此處把恢復力分解為只與位移有關的純彈性力、只與速度有關的純阻尼力和與速度有關的負剛度彈性力(后文有說明)，并根據數據分別進行擬合。

根據數據通過最小二乘法對待估參數進行擬合估計，得到各自的解析表達式如下:

擬合后曲線如圖4中實線所示。

圖4 純剛度和純阻尼曲線(圓點是擬合前數據，實線是擬合后數據)Fig.4 The curse of pure stiffness and pure damping(circle points are the data before fitting，solid line is the data after fitting)

在三維坐標系中表達式z1=f1(x)和z2=f2(y)都是空間曲面，繪出曲面z1和曲面z2，疊加曲面z4=z1+z2，差值曲面(此處設恢復力數據曲面是Z)z5=Z-(z1+z2)，如圖5所示。

對恢復力數據曲面和疊加曲面的差值曲面進行詳細分析和觀察，如圖6所示。通過分析可知，差值曲面函數關于位移和速度兩個自變量近似為一個奇函數;在曲面存在的四個卦限內曲面峰值絕對值和形狀都基本相同;當位移取正值時，差值曲面都是負值，當位移取負值時，差值曲面都是正值;并且在位移為零或速度為零時，差值曲面都取值為零，于是可以設計差值曲面函數為:

最小二乘法擬合后得到表達式:

分別繪制差值曲面擬合前、后圖和恢復力擬合前、后圖，如圖7所示。

良好的擬合效果表明了金屬橡膠材料恢復力中存在與速度平方項相關的負剛度彈性力成分。結合金屬橡膠材料作用機理的復雜性和特殊性，初步分析認為至少有三個原因造成了這個結果:一是由于持續的形變，使金屬橡膠材料產生了明顯的蠕變松弛現象，內部金屬絲勾連情況不再保持工作前狀態，使材料在位移標定零點的位置出現了材料內部應力不平衡的現象，形成了類似鼓形薄殼體的負剛度結構;二是由于材料運動造成的金屬絲滑移現象使開始工作前的試件邊界狀態發生了改變;三是試驗中夾具質量和材料質量在運動時附加的慣性力產生的影響。

至此恢復力三維模型的建立和分析基本完成，本模型中恢復力由三個部分組成，分別是:正剛度線性彈性力、非線性阻尼力和與速度平方有關的非線性負剛度彈性力，方程解析表達式如下所示:

經大量實驗分析可知，本模型對于對稱結構的金屬橡膠試件具有廣泛適用性。但是由于金屬橡膠材料的恢復力特性受到試件成型工藝參數、安裝時的邊界條件和試件變形形式的顯著影響，因此模型中四個待估參數(a，b1，b2，c)也會受到上述因素的影響，在模型擬合時需要全面考慮，同時，如果存在加載后金屬橡膠的自由平衡位置改變的情況，需要對模型進行修正，即在公式(9)的右邊添加一個常數項d，d的辨識可由金屬橡膠的靜載實驗給出，因為屬于一般性的實驗，在此不做贅述，修正后模型的結構形式如下所示:

3 模型的驗證

選取試件工作范圍的任意振幅頻率的諧波激勵作為實試驗件，采集獲得恢復力數據，對比三維模型的解析結果，以恢復力的定測值和解析值的相對誤差平均值和相關系數兩個指標作為評價標準，表2為所得結果。結果表明擬合精度很高，本模型中對恢復力的分析處理具有合理性，但是頻率和振幅的增加在一定程度上會影響擬合精度，尤其頻率影響更加明顯。

表2 任意三種工況下的模型驗證結果Tab.2 The results of model verification in three optional harmonic excitations

4 結論

本文建立了金屬橡膠材料彈性恢復力的三維模型，本模型更加直觀地反映了金屬橡膠的剛度和阻尼特性，模型中恢復力是位移和速度的二元函數，既充分考慮了速度對恢復力的影響，也兼顧了多個離散諧波激勵條件下恢復力特性的統一描述，為金屬橡膠在任意激勵下的力學特性研究和響應估計提供了一個新的研究思路，并為其他彈性阻尼元件的本構力學研究提供了新的方法，但是由于金屬橡膠結構和力學特性的復雜性的影響，本模型在隨機激勵、高頻、高溫等條件下的應用仍有限制，并不是一個普適的模型，相關研究和分析是有待于進一步深化。

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