阻尼減振材料滯彈性位移場模型參數尋優及其應用

曹友強，鄧兆祥，2，王 攀，2，李 軍

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030;2.汽車噪聲振動和安全技術國家重點實驗室，重慶 400039)

在工程實踐中，含阻尼材料的復合結構常被廣泛用于抑制結構的振動和噪聲［1］。粘彈性阻尼材料的本構模型決定了這類結構的動力學方程形式，由此可見阻尼材料本構模型的選用和計算尤為重要。由于粘彈性材料的本構關系隨時間、頻率和溫度的變化而變化，使得粘彈性材料本構模型變得復雜多樣，其參數優化計算也變得比較繁瑣。目前大多數文獻［2-5］都是直接采用經驗參數代入本構模型進行計算，缺少對模型參數的優化選取。

由 Lesieutre［6，7］于 1995 年提出的滯彈性位移場(Anelastic Displacements Fields，ADF)模型從位移場的角度出發，將總的位移場分為彈性部分和滯彈性部分。ADF模型的輔助坐標在單元之間是連續的，體現了其位移場的特點，它能直接進行有限元解算，能很容易融入有限元動力學方程，因此受到眾多學者的青睞［6-8］。但是，ADF模型各參數的確定是一個非線性、多變量、多目標規劃，具有約束條件的優化問題，解決這一問題難度較大。針對此類問題的全局最優解沒有任何數學條件可以表征，基于傳統數學規劃的優化方法因其優化結果易陷入局部極值而難以處理［9］，現代優化算法如遺傳算法容易出現早熟狀態，導致收斂時間長，優化失敗［10］。

基于此，本文詳細給出了基于粒子群算法(PSO)與序列二次規劃法(SQP)相結合的求解方法。首先利用PSO算法的全局優化功能開展全局搜索，確定全局最優解的可行位置，再用SQP算法的局部精細搜索能力確定其局部最優解。文中建立ADF模型的優化模型，獲取了ADF模型的各參數優化結果，并與標準流變模型、分數導數模型兩種典型形式的松弛函數曲線進行擬合比較，由此驗證了優化算法的可行性;通過對粘彈性集中參數系統及懸臂阻尼夾芯板結構的動力特性分析進一步驗證了本文優化結果的準確性。這可為阻尼類材料本構模型的參數優化問題提供參考。

1 阻尼材料結構ADF數學模型

ADF材料模型［6-8］是基于熱不可逆原理的連續場模型，用于描述粘彈性材料作一維剪切運動時的頻率特性和溫度特性。ADF模型將粘彈性材料在頻域內的復模量模型表示為:

G*(ω)是粘彈性材料的復剪切模量，GA0對應于松弛彈性模量，Δi，Ωi，代表第i階ADF模型的材料參數。n是非彈性位移場個數的總數目。如果有n階攝動量，則需要確定2n+1個參數。

粘彈性材料ADF模型中彈性部分和滯彈性部分的關系可以通過引入一系列耗散輔助變量(i=1，…，n)表示:

式中，x是總的位移場，xe是彈性位移場是第i個滯彈性位移場。

考慮到粘彈性材料頻變和溫變特性，并假定粘彈性材料的泊松比為定值，則由虛功原理可獲得含有粘彈性材料復合結構的動力學模型［8］為:

M是結構質量陣，Ke是結構彈性剛度矩陣，Kv是粘性材料剛度矩陣。

將xe替代(3)式中的粘彈性材料勢能表達式中的x，再結合式(1)，則可得到ADF模型表征的粘彈性結構有限元方程:

ADF模型中，描述粘彈性材料松弛行為的第i個滯彈性場松弛方程［7］:

聯合(4)、(5)，構成粘彈性阻尼結構動力學方程:

其中，

其中ΛV是由粘性材料剛度矩陣Kv的正特征值組成的對角陣，ΨV是以相應的正交特征向量作為列的矩陣。引入輔助變量后，ADF模型將復合結構用二階線性模型加以描述，從而可以利用有限元理論開展分析。

2 混合PSO-SQP算法ADF模型多參數優化

阻尼材料ADF模型參數的確定本身具有非線性，包括2n+1個參數變量，又同時需要對模型的實部和虛部兩個目標函數進行優化擬合，是一種典型的多參數多目標非線性優化問題。

考慮成非線性有約束全局多目標優化問題:

其中，f1(x)、f2(x)為實部和虛部兩個目標函數，x為參數變量，n為ADF模型設定階數。

2.1 混合優化算法原理

粒子群優化算法［11，12］是一種基于群智能的全局優化計算方法，具有收斂速度快、設置參數少、程序簡潔等特點，但在優化后期 PSO算法的收斂速度明顯變慢，甚至處于停滯狀態，局部精細搜索能力有限。SQP算法［13］在具有整體收斂性的同時保持局部超一次收斂性，是求解非線性規劃問題最優秀的算法之一，但對初值的選取有較強的依賴性。為了克服兩種算法缺點 ，在PSO算法的后期引入SQP方法 ，利用 SQP方法整體收斂性和局部超一次收斂性來以獲得很好的全局最優解。首先利用PSO算法的全局搜索能力確定出接近最優的可行解x0，再將x0作為SQP算法的初始點，進行局部精細尋優。在SQP算法搜索過程中，設定最大搜索迭代次數K，若超過最大搜索次數，則表明SQP算法陷入局部最優，同時說明上次PSO算法提供給SQP算法的結果不是一個良好的初值。此時結束SQP算法，同時在SQP算法所得的最后一次解x的較大范圍內生成新的PSO算法種群空間。由此循環計算，直到SQP算法滿足正常收斂。整個PSO-SQP混合算法操作在Matlab環境中編程實現。

2.2 優化目標模型

阻尼材料的力學性能一般在頻域測定，所以ADF模型參數的確定也是在頻域中通過曲線擬合獲得。根據表達式(1)，令:

設定ADF模型在頻域中的優化目標函數表達式:

式中x=(x1，x2，…，x2n+1)為未知參數向量，N表示擬合的頻率截點，GADF(x，fi)為ADF模型的復模量值，Gdata(x，fi)為阻尼材料通過試驗或者相關材料阻尼模型得到的復模量隨頻率變化曲線值。

顯然，對于阻尼材料ADF模型而言，上述目標函數為在xi＞0(i=1，2，…，2n+1)約束條件下的多變量優化問題，并且目標函數代入模型后表現出高度非線性、多極值的特點。

3 算例分析

3.1 ADF模型參數尋優

為比較本文尋優方法在優化選取多參數問題的可行性，將ADF模型攝動項n分別取2和4。將本文優化得到的ADF模型與分數導數模型、標準流變模型進行曲線擬合比較，見圖1～圖2。

表1 ADF模型n取4時各參數優化結果Tab.1 Parameters optimization results of ADF model at n=4

采用文獻［14］描述的ZN-1阻尼材料，其力學性能參數模型為經試驗數據［15］擬合得到的分數導數模型:

采用文獻［16］中描述的粘彈性材料B，其力學性能參數模型為標準流變學模型:

從ADF模型優化結果與兩種形式的松弛函數及試驗結果的比較圖可以看出，本文的ADF模型參數的優化效果明顯，模型優化結果與松弛函數模型曲線很靠近，攝動項為4時的曲線要好于攝動項為2時的結果。對于ZN-1阻尼材料，ADF模型9參數優化結果與試驗結果擬合較好，可以再現材料的本構特征;對于粘彈性材料B，在整個擬合頻段內，ADF模型攝動項為2和4的擬合效果非常接近。圖中符號G'，η分別表示材料剪切模量實部及材料損耗因子。

3.2 動力特性計算

為進一步驗證ADF模型優化結果的準確性，本文結合ADF模型的數學模型，分別建立了二自由度粘彈性集中參數系統及阻尼夾芯板的動力學模型，進行了模態響應分析及阻尼性能預測，并與文獻結果進行比較。對于阻尼夾芯板，還將計算結果與基于迭代算法［17］的ANSYS分析結果進行了比較。采用文獻［15］中的集中參數系統，如圖3。選用粘彈性材料B作為耗能材料。

圖3 粘彈性集中參數系統Fig.3 Viscoelastic lumped parameter system

系統動力特性矩陣如下，計算結果見表2。

采用文獻［16］中的阻尼夾芯板結構，如圖3。參數定義為:板件長度La=0.37 m，寬度Lb=0.28 m，基板層為鋁合金，基板厚度hb=0.002 5 m，密度 ρb=2 700 kg·m-3，彈性模量Eb=70 GPa，泊松比 νb=0.3;粘彈性層為ZN-1阻尼材料，厚度hv=0.001 m，密度ρv=2 500 kg·m-3，泊松比 νv=0.3，材料力學性能模型見式(8)，其ADF模型參數見表1;約束層為鋼板，厚度hc=0.001 m，密度 ρc=5 400 kg·m-3，彈性模量Ec=140 GPa，泊松比 νb=0.3。計算結果見表3～表4。

圖4 阻尼夾芯板結構Fig.4 Damped sandwich structures

表2 集中參數系統頻率及損耗因子Tab.2 Natural frequency and loss factor of viscoelastic lumped parameter system

表3 阻尼夾芯板固有頻率(Hz)Tab.3 Natural frequency of damped sandwich structures(Hz)

表4 阻尼夾芯板阻尼比(ξ%)Tab.4 Damping ratio of damped sandwich structures(ξ%)

通過算例計算表明，采用本文ADF模型優化參數的計算結果與理論和實驗值都很靠近，計算精度相對較高。對于阻尼夾芯板結構，由于文獻［16］中約束板根部粘貼有占約束板面積2.3%的壓電片，本文忽略，所以本文計算值與實驗值略有誤差，但與ANSYS計算值的誤差在5%以內，結果可信度較高。

4 結論

本文針對阻尼材料ADF模型多參數、多目標、非線性，具有約束條件的優化問題給出了一種新的組合算法尋優求解方法，通過與標準流變模型、分數導數模型兩種形式的松弛函數模型及試驗結果的擬合比較，表明本文的優化方法可以得到較好的全局優化解，且優化效果明顯;將優化結果引入到懸臂夾芯板結構的模態分析及阻尼計算表明，本文優化算法得到的優化結果的準確度高，能準確描述粘彈性材料的本構關系。本文的研究方法可為阻尼類材料各類模型的參數優化問題提供參考，同時對含粘彈性材料的復合結構動力學特性的深入研究提供了有力保障。

［1］戴德沛.阻尼技術的工程應用［M］.北京:清華大學出版社，1991.

［2］Liao W H，Wang K W.On the analysis of viscoelastic materials for active constrained layer damping treatments［J］.J.Sound and Vibr.，1997，207(3):319-334.

［3］Hau L C， Fung E H K.Effect of ACLD treatment configuration on damping performance of a flexible beam［J］.J.Sound Vib.，2004(269):549-567.

［4］張希農，陳 靈，李智明，等.可控約束阻尼層板的雜交控制［J］.應用力學學報，1999，16(3):16-21.

［5］Park S W.Rheological modeling of viscoelastic passive dampers［J］.SmartStructures and Materials，2001:343-354.

［6］Lesieutre G A，Bianchini E.Time domain modeling of linear viscoelasticity using anelastic displacement fields［J］.J.Vib.Acoust.，1995，117(4):424-430.

［7］Lesieutre G A，Lee U.A finite element for beams having segmented active constrained layers with frequency-dependent viscoelastics［J］.Smart Mater. Struct.，1996，5(5)，615-627.

［8］Trindade M A.Reduced-order finite element models of viscoelastically damped beams through internalvariables projection［J］.J.Vib.Acoust.，2006，128(4):501-508.

［9］孫靖民.機械優化設計［M］.北京:機械工業出版社，1999.

［10］王 瓊，呂 微，任偉建.免疫遺傳算法及在優化問題中的應用綜述［J］.計算機應用研究，2009，26(12):4428-4431.

［11］李 麗，牛 奔.粒子群優化算法［M］.北京:冶金工業出版社，2009.

［12］ Kennedy J，Eberhart R C.Particle swarm optimization［C］.IEEE International Conference on Neural Networks，Piscataway:IEEE Service Center，1995:1942-1948.

［13］袁亞湘，孫文瑜.最優化理論與方法［M］.北京:北京科學技術出版社，2001.

［14］陳 前，朱德懋，周蒂蓮.粘彈性阻尼結構的動特性分析［J］.航空學報，1986，7(1):36-45.

［15］陳 前.粘彈性復合結構的動力分析［D］.南京:南京航空學院，1987.

［16］任建亭，邱 陽.粘彈性復合結構特征值問題的迭代算法［J］.計算力學學報，1997，14(3):353-359.

［17］孫社營.粘彈阻尼結構動態性能的有限元分析［J］.材料開發與應用，1999，14(6):31-36.

［18］謝石林，張希農，張景繪.可控約束阻尼層結構H∞控制［J］.振動工程學報.2000，13(3):368-375.