非線性彈簧支承懸臂輸液管道的分岔與混沌分析

唐 冶，方 勃，張業偉，李慶芬

(1.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001)

輸液管道的振動問題不僅有較高的理論研究基礎，而且還有廣闊的工程應用背景。輸液管道的非線性動力學行為作為振動的前沿問題，很多學者對此作了較為深入的研究，他們根據輸液管道系統存在的大量非線性現象，采用不同分析方法，得到了很多此系統的運動規律。Holmes［1］利用Lyapunov直接法研究了兩端固支的輸液管道在自激作用下全局動態行為，研究結果表明其運動軌線不存在極限環，即該類管道的穩態運動不會發生顫振。Paidoussis等［2，3］人研究了帶非線性彈簧運動約束懸臂輸液管道的非線性動力學行為，他們得到了輸液管道系統通過倍周期分岔轉變為混沌運動的規律。Tang和Dowell［4］通過對輸液管道施加強非線性力來研究其混沌特性，得到了使系統出現混沌的力臨界值與流速密切相關。金基鐸［5］用理論分析的方法詳細研究了受約束懸臂輸液管道系統可能發生的復雜運動和運動分岔現象，在動態失穩區域內存在管道的概周期運動和由于概周期運動環面破裂而導致混沌的現象。倪樵［6］運用微分求積法研究了在諧激勵作用下輸流曲管的混沌振動，結果表明在不同流速和激勵頻率的參數區域內，系統將可能發生包括混沌振動在內的多種運動形式。包日東［7］采用非線性動力學分析方法，研究兩端一般支承輸流管道系統在自激、參數激勵和外激勵聯合作用下的非線性動力學特性。

本文研究了左端具有非線性彈簧支承和中間懸臂的輸液管道系統的非線性動力學行為。在文獻［8］基礎上，建立了非線性彈簧支承懸臂輸液管道的運動微分方程，以在線性彈簧支承條件下懸臂梁的固有頻率和振型函數作為近似，利用李茲-伽遼金方法對此方程在模態空間內展開，得到關于時間的二階常微分方程組，引入狀態變量將其改寫成一階狀態方程組。再應用分岔圖、相圖和功率譜圖研究非線性振動的數值仿真方法，研究該類管道系統在自激勵、參數激勵和外激勵聯合激勵下的振動響應問題，重點揭示系統在流體的平均流速和流體與管道質量比變化時可能出現的運動形態以及對應的參數條件，為今后分析和研究非線性彈簧支承懸臂輸液管道的動態響應和振動控制提供理論依據。

1 輸液管道系統的運動微分方程

圖1 非線性彈簧支承懸臂輸液管道的理論模型Fig.1 The theoretical model of cantilever pipeline conveying fluid with nonlinear spring support

如圖1所示長度為l的非線性彈簧支承懸臂輸液管道，左端是非線性彈簧支承，中間是固定支承，流體從左端流入右端流出，考慮Kelvin-Voigt粘彈性管材、管內流體壓力效應和管截面的軸向作用，由達朗伯原理和牛頓力學原理，此系統的運動微分方程［9，10］:

式中，y為管道軸線偏離平衡位置的位移，x為管道橫截面處的位置，EI為管道的抗彎剛度，a為管材粘彈性系數，M為單位長度流體的質量，m為單位長度管道的質量，U為管道內流體的流速，P為流體的壓強，t為時間，l為管道長度，A為管道的橫截面積，g為重力加速度。

輸液管道左端所受非線性彈簧支承約束對管道的反作用力可表示:

式中δ()表示Dirac delta函數，K1與K2分別是彈簧的線性和非線性的剛度系數。

在工程實際中，與輸液管道系統相連接的支承基礎在某種外力的作用必然會引起自身的振動，這種振動必定會作用于管道系統。所以對管道系統施加一個運動方向垂直于管道軸線的簡諧運動:

式中，D為激勵振幅，w為激勵頻率。

考慮式(2)和式(3)，得到修正后的非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統運動微分方程:

引入下列無量綱參數:

將上面各式代入方程(4)中，得到無量綱化的非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統運動微分方程:

設無量綱化的脈動流速表達形式:

式中，u為流體平均流速，μ為流速脈動幅值，κ為流速脈動頻率。

設無量綱化的脈動壓強表達形式:

式中，p為流體平均壓強，ρ為壓強脈動幅值，?為壓強脈動頻率。

將式(6)和式(7)代入式(5)，可得到無量綱化的非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統在脈動流速、脈動壓強和基礎簡諧運動(自激勵、參數激勵和外激勵)聯合激勵下的運動微分方程:

2 梁系統的頻率方程和振型函數

本文是以在線性彈簧支承條件下懸臂梁的固有頻率和振型函數作為輸液管道系統的近似固有頻率和振型函數，因此如圖2所示設xj(j=1，2)表示梁橫截面位置坐標，其中0＜x1＜xb，0 ＜x2＜l-xb，Xj(xj)(j=1，2)表示相應位置坐標處梁橫向變形位移。線性彈簧支承懸臂梁系統的振型函數［8］:

圖2 線性彈簧支承懸臂梁的理論模型Fig.2 The theoretical model of cantilever beam with linear spring support

式中，β 為系統的特征值，aj，bj，cj，dj(j=1，2)為積分常數。

線性彈簧支承懸臂梁系統的邊界條件［8］:

將邊界條件分別代入式(9)中，有方程組:

由積分常數aj，bj，cj，dj(j=1，2)有非零解，經無量綱處理得線性彈簧支承懸臂梁系統的頻率方程［8］:

方程(11)是關于未知量β的超越方程，用數值方法如兩分法可得到系統的各階特征值βi。將式(10)代入式(9)中，經過整理和化簡后，可得到線性彈簧支承懸臂梁系統振型函數的具體表達式:

其中:

3 輸液管道系統運動微分方程的離散化

為便于求解輸液管道系統運動微分方程，利用李茲-伽遼金方法將無量綱化的高階偏微分方程式(8)進行離散化處理并降階為低次的常微分方程組。為此，采用Galerkin二階展開式:

將式(13)、(14)代入式(8)中，得:

重力只影響振動的平衡位置，對振動的其他特性無影響［9］，令 Γ =Π =0，將式(15)兩端左乘 Φ =[ φ1φ2]T，然后在區間［0，1］上進行積分，利用振型函數的正交性［8］和三角函數的正交性以及δ函數的性質，經過復雜的計算整理得:

式中:

其中:

通過引入狀態變量將式(16)改寫成一階狀態方程組形式。

令:Z=［x1，x2，x3，x4］T=［q1，q2，q3，q4］T，則式(16)可進一步化為:

其中:

4 數值仿真

在仿真分析中，系統參數為:

對方程組(17)采用四階Runge-Kutta法進行迭代計算，初始條件取Z1(0)=Z2(0)=-0.001，Z3(0)=Z4(0)=0。

本文分析輸液管道系統在流體平均流速參數區域內的分岔過程。在繪制分岔圖過程中使用的觸發條件是輸液管道在中點ξ=0.5位置處的速度趨于零，即:

滿足式(18)時在分岔圖中記錄下此參數激勵時管道中點ξ=0.5位置處位移的近似值:

4.1 流體平均流速的影響

以流體平均流速u為控制參數(Mr=0.8)，繪制分岔圖(如圖3所示)。從分岔圖中可以大體上看到非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統運動的分岔路徑。但是還不能顯示某些具體的運動形態。因此本文作相圖(如圖4所示)和功率譜圖(如圖5所示)來分析系統的的動力學響應。圖4與圖5中的(a)，(b)，(c)，(d)，(e)，(f)分別對應于控制參數u=5.45，u=5.81，u=6.06，u=6.55，u=7.04，u=7.11。

圖3 流體平均流速參數區域的分岔圖(Mr=0.8)Fig.3 The bifurcation diagram for parameters with average velocity of fluid(Mr=0.8)

本文利用功率譜曲線圖來鑒別混沌和周期運動，即當系統出現周期運動時，功率譜曲線僅有一些狹窄的譜尖點;當系統的運動表現為混沌時，功率譜曲線表現為明顯的寬頻性質，并且出現了噪聲背景。因此從圖5的功率譜曲線圖以及圖3的分岔圖和圖4的相圖可以看出，非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統對于流體平均流速的運動響應，當流體平均流速較小時，輸液管道系統的響應首先表現為周期運動。隨著流體平均流速的增大，系統的運動出現系列倍周期分岔，使系統的響應通向混沌運動，隨著流體平均流速的進一步增大，系統的運動出現系列倍周期倒分岔轉化為周期運動。

4.2 流體與管道質量比對分岔圖的影響

取流體與管道質量比參數分別為:

以流體平均流速u為控制參數，繪制分岔圖(如圖6、圖7、圖8 所示)。

從圖6可以看出，非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統開始發生混沌運動的臨界流體平均流速為u=7.34;從圖7可以看出，輸液管道系統開始發生混沌運動的臨界流體平均流速為u=6.61;從圖3可以看出，輸液管道系統開始發生混沌運動的臨界流體平均流速為u=6.08;從圖8可以看出，輸液管道系統開始發生混沌運動的臨界流體平均流速為u=5.79。因此可以得到隨著流體與管道質量比的增大，非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統開始出現混沌運動的臨界流體平均流速值減小。

5 結論

對非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統在自激勵、參數激勵和外激勵聯合作用下的非線性動力學行為進行了研究，得到了流體平均流速和流體與管道質量比變化對輸液管道系統的運動影響。當流體的平均流速較小時，輸液管道系統的響應首先表現為周期運動，隨著流體平均流速的增大，系統的運動出現系列倍周期分岔，使系統的響應通向混沌運動，又經過系列倍周期倒分岔轉化為周期運動。另外，隨著流體與管道質量比的增大，輸液管道系統開始出現混沌運動的臨界流體平均流速值減小，所以通過改變質量比參數可以控制輸液管道系統的振動形態。為今后分析和研究非線性彈簧支承懸臂輸液管道系統的動態響應和振動控制提供理論依據。

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