對稱層合折板結構自由振動分析的移動最小二乘無網格法

彭林欣

(廣西大學 土木建筑工程學院，南寧 530004)

由于有著高剛度—重量比、易成型、低成本的優點，折板結構被廣泛應用于各類實際工程，如屋蓋、夾層板核、船體以及冷卻塔等等。在纖維增強復合材料發明之前，折板一般由金屬或木材制成。層合折板的出現，有機地結合了纖維增強復合材料和折板結構的優點，使整個結構更輕剛性更好。

各向同性折板的研究已有很長的歷史，方法多種多樣。由于缺乏分析工具，早期的學者只能通過不同程度的近似來研究這種結構，發展了梁模型和忽略折板接合處相對位移的模型［1］。由于過多的簡化，這些模型分析一般折板結構的效果并不理想。Gaafar［2］，Yitzhaki［3］和 Whitney 等［4］最先在他們的方法中考慮了接合處相對位移，為更精確求解折板問題鋪平道路。國內方面，賴遠明等［5］對簡支V形折板屋蓋進行了研究;劉金堂等［6］采用微分求積法分析了軸向運動薄板的橫向振動。隨著計算機技術的發展，數值方法逐漸在結構分析中扮演重要角色，有限條法［7，8］和有限元法［9，10］紛紛被引入求解各向同性折板問題。

盡管被廣泛使用，層合折板相關的分析研究卻不多，目前只有 Guha-Niyogi等［11］和 Lee 等［12］在結構振動方面用有限元法開展的工作以及鄭榮躍等［13］給出的箱型正交異性矩形板結構自由振動問題解析解。

綜合來看，不論是各向同性折板、層合折板還是其他結構，有限元法均是占主流地位的分析工具。這是由有限元法適應性好、精度高等優點決定的。但基于網格構建近似解的有限元法也有弱點——當網格扭曲發生，只能對問題域進行網格重構——不但增加了分析的復雜程度，計算精度也受到了影響。作為有限元法之外的另一選擇，無網格法［14-17］近年來引起了越來越多的關注。無網格法將問題的近似解完全建立在問題域中相互無直接聯系的離散節點上，更靈活，適應性也更強。

本文將利用無網格的優勢，提出一種求解對稱層合折板結構自由振動問題的移動最小二乘無網格法。基于作者提出的折板無網格模型［17］，先按一階剪切變形理論［18］和移動最小二乘近似［14］得到各對稱層合平板的剛度和質量矩陣，再將它們分別疊加得到整個結構的剛度和質量矩陣。文末用本文方法求解了幾個數值算例，并與有限元軟件ANSYS分析結果進行了對比。本文方法也可用于分析箱梁和封閉結構。

1 移動最小二乘近似

設某個定義于域Ω上的函數v(x)可以被函數vh(x)在子域Ωx上近似，

其中，qi(x)是已知的多項式基函數，m是基函數個數，bi(x)是相應的未知系數。本文使用二次基:

未知系數bi(x)可以通過使一個L2模:

由式(3)得到:

將式(4)代入式(1)，可以將vh(x)表示為標準形式:

其中形函數:

2 層合平板列式

按照作者針對各向同性折板提出的無網格模型［17］，首先應推導出對稱層合平板的剛度和質量矩陣。如圖1，局部坐標系下的對稱層合平板無網格模型，包括分布于板中面的一系列離散節點。節點的自由度是(u0，v0，w，φx，φy)，其中，u0，v0，w表示板節點沿x、y、z方向的平動，φx，φy表示繞y軸和x軸的轉角。設板共有N層，每層高度為zi(i=1，…，N)，第k層厚度為hk=zk+1-zk。

圖1 層合板無網格模型Fig.1 Meshfree model of a laminate

2.1 近似位移場

按一階剪切變形理論［18］和移動最小二乘近似［14］，層合板的位移場為:

其中，{u0I(t)，v0I(t)，wI(t)，φxI(t)，φyI(t)}T= δI是板上第I個節點的節點參數，為時間t的函數。n是板的節點個數。形函數HI(x，y)由式(6)，選用三次樣條函數:

作為權函數計算得到。式(7)可寫成矩陣形式:

板的應變為:

這里，

2.2 控制方程

自由振動時，層合平板的變形能和動能分別為:

其中:

(i，j=1，2，6，4，5)是文獻［18］中定義的板第k層材料剛度，在層內為常數，kc=5/6為剪切修正系數，h為板厚，ρ為材料密度。

由Hamilton原理:

將式(9)～式(13)代入式(14)得:

3 層合折板列式

根據折板的無網格模型［17］，在推導出層合平板自由振動的控制方程，得到相關剛度和質量矩陣后，下一步是將它們疊加起來，得到整個折板的剛度和質量矩陣。為了達到這個目的，將每個平板視為一個大單元(圖2)，通過兩單元連接處的重合節點具有相同真實位移的協調條件，將它們剛度和質量矩陣疊加。

然而，正如作者在文獻［17］中指出的，由于從式(6)得到的形函數不滿足克羅內克條件，式(15)中δ是節點參數而非節點真實位移，所以各平板的剛度和質量矩陣不能直接疊加。這里還將像文獻［17］一樣的處理，先基于全轉換法(Full transformation method)［15］推導適用于平板分析的修正矩陣，再用該矩陣對平板剛度和質量矩陣進行修正，然后將它們疊加得到整個結構的剛度和質量矩陣，最后再施加本質邊界條件。全轉換法是Chen等學者提出，最初僅用于處理無網格計算中的本質邊界條件施加問題。作者將此方法引入了復合結構的無網格建模中，得到了較好的分析結果。

圖2 層合折板無網格模型——包括兩個大單元(層合平板)，節點i的影響域以虛線顯示Fig.2 A meshfree model of a folded laminated plate that is made up of two big elements

3.1 剛度和質量矩陣的修正

考慮到近似位移:

則真實節點位移:

其中:

對于本文的層合平板問題，相應的有:

式(20)可綜合成:

3.2 層合折板控制方程

其中T是文獻［17］中使用的6n×6n坐標變換矩陣(注意:此時中將增加節點轉動自由度φz，即和也要做相應的擴充，增加的均為零元素)。然后可通過引入位移協調條件，將各層合平板在整體坐標系下的修正剛度、質量矩陣疊加。以圖2中兩個大單元(層合平板)組成的折板為例，設在兩平板交界線上有編號1～J共J個重合節點，兩平板在這些節點上應有相同的真實節點位移，即有:

即為整個結構的自由振動控制方程:

其中:

求解對應的特征值問題

即可得該層合折板自由振動的頻率。由于式(24)中增加了節點轉動自由度φz和做相應擴充后在主對角線上會出現零元素，這可導致式(29)中的KG和MG主對角線上某元素為零，產生奇異性。本文采取以下辦法解決這個問題:將KG主對角線上零元素所在行、列的全部元素從KG中劃去，MG對應的行、列全部元素以及δ0對應的行上元素也劃去。

4 算例

以下算例中，層合平板的材料參數均設為:

E1=2.5 × 107Pa，E2=1 ×106Pa，G12=G13=5 ×105Pa，G23=2 ×105Pa，μ12=0.25，或以式(12)中使用的材料剛度表示為:

(1)纖維鋪設角θ=0°時，

(2)θ=90°時，

(3)θ=45°時，

(4)θ=-45°時，

4.1 單折層合折板

一單折層合折板，由兩相同層合方平板組成，α=120°，一邊固支(圖3)，層合方板纖維鋪設角度和鋪層順序為(-45°/45°/45°/-45°)。經有限元分析和本文方法計算得到的該結構前五階自由振動頻率列在表1中。其中，本文無網格解基于以下離散方案:各平板，11×11均布節點，方形影響域:

hx為影響域X向長度，hy為Y向長度，Ix為X向相鄰兩節點間距，Iy為Y向相鄰兩節點間距，取系數β=4;有限元解通過ANSYS軟件，將該層合折板模擬為層合殼結構，選用SHELL99單元進行離散后計算得到，單元數:3 200。由表1可見，本文解與有限元解吻合良好。計算效率方面，本文方法與ANSYS求解時間之比為1.1∶1，說明有限元法效率更高。

圖3 一邊固支單折層合折板Fig.3.A one-fold laminated plate with one side fixed

4.2 三面層合殼結構

如圖4，用三個尺寸相同的層合方平板組成一個三面層合殼結構(即從一正方盒子中取一半)，板 厚 為 0.01 m，在三個角點 A、B、C上用球鉸約束——使該點只能轉動不能平動。當各平板取不同的纖維鋪設角度和鋪層順序時(圖5)，由本文方法和有限元分析給出的該結構前五階自由振動頻率列在表2～4中。本文解基于與4.1相同的離散方案;有限元解由ANSYS軟件采用SHELL99單元離散該層合殼結構得到，共有4 800個單元。從表2～表4可見，兩者依然非常接近。

圖4 三面層合殼結構Fig.4 A laminated shell structure

表1 單折層合折板自由振動頻率(Hz)Tab.1 Free vibration frequencies(Hz)of the one－fold laminated plate

表2 三面層合殼結構(圖5a)的自由振動頻率(Hz)Tab.2 Free vibration frequencies(Hz)of the laminated shell(Fig.5 a)

表3 三面層合殼結構(圖5b)的自由振動頻率(Hz)Tab.3 Free vibration frequencies(Hz)of the laminated shell(Fig.5 b)

表4 三面層合殼結構(圖5c)的自由振動頻率(Hz)Tab.4 Free vibration frequencies(Hz)of the laminated shell(Fig.5 c)

圖5 三面層合殼結構的纖維鋪設模式Fig.5 Lamination schemes of the laminated shell

圖5中，(a)表示平板2和3的纖維鋪設角度和鋪層順序為(-45°/45°/45°/-45°)，板1 為(45°/-45°/-45°/45°);(b)表示板 2 和 3 為(45°/-45°/-45°/45°)，板1 為(-45°/45°/45°/-45°);(c)表示板 2 和3 為(0°/90°/90°/0°)，板1 為(90°/0°/0°/90°)。

5 結論

本文提出一種求解對稱層合折板結構自由振動問題的移動最小二乘無網格法。將層合折板結構視為由不同平面上對稱層合板組成的復合結構，先基于一階剪切變形理論和移動最小二乘近似得到各平面上層合平板的剛度和質量矩陣，經全轉換法修正后疊加得到整個折板的剛度和質量矩陣，建立描述層合折板結構自由振動行為的控制方程。文末算例表明，本文方法解與有限元分析結果接近，驗證了方法的準確性。本文方法也可用于分析箱梁和封閉結構。

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