用導數解決的幾類問題

王春輝 趙有剛 許秀萍

用導數解決的幾類問題

王春輝1趙有剛1許秀萍2

導數與函數是高中內容的重要組成部分，是高考的熱點，同時也是高中學習的重點與難點。它整合了高中所學的數形結合思想、轉化與劃歸思想與分類討論思想，是集這幾大思想的統一體，是高中數學從研究一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數圖像與性質基礎上，通過導數對函數的單調性、極值和最值的把握，大體上描繪出函數的圖像，利用數形結合的方式來解好此類題型。下面筆者將通過例題的方式分析出這種題的解題方式。

【考綱要求】1）導數在研究函數中的應用。①了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）。②了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函數一般不超過3次），會求在閉區間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數一般不超過3次）。2）生活中的優化問題：會利用導數解決某些實際問題。3）定積分與微積分基本定理：①了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；②了解微積分基本定理的含義。

熱點一：已知函數求極值或最值

【例11】求函數的極值：

【分析】本題的步驟：求定義域、求導函數、求導函數零點、列表和求極值。本題是解決此類問題的“母題”。解法略。

熱點二：利用導數研究函數單調性問題

【例22】（2010年山東文科數學）已知函數當a=?1時，求曲線在點（2,f(2)）處的切線方程。2）當時，討論f(x)的單調性。

【分析】本小題主要考查導數的概念、導數的幾何意義和利用導數研究函數性質的能力。考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想。解法略。

熱點三：導數與參數取值范圍

【例33】設函數

熱點四：恒成立問題

【例44】(2009年山東文科數學)已知函數，其中a≠0。1）當a,b滿足什么條件時，f(x)取得極值？2）已知a>0，且f(x)在區間(0,1]上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍。

【分析】本題為三次函數，利用求導的方法研究函數的極值、單調性和函數的最值，函數在區間上為單調函數，則導函數在該區間上的符號確定，從而轉為不等式恒成立，再轉為函數研究最值。運用函數與方程的思想、化歸思想和分類討論的思想解答問題。解法略。

熱點五：導數應用題

【例55】（2009年湖南理科數學）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩。經預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+x) x萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元。1）試寫出y關于x的函數關系式；2）當m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？

【分析】導數在應用題中的應用。解法略。

熱點六：零點應用問題

【例66】已知函數(a為常數)是R上的奇函數，函數是區間上的減函數。1）求a的值。2）若在上恒成立，求t的取值范圍。3）討論關于x的方程的根的個數。

【分析】利用導數研究函數圖像問題。解法略。

熱點七：探索性問題

【例77】設函數求 f( x)的單調區間和極值。2）是否存在實數a，使得關于x的不等式f( x)≥a的解集為(0,+∞)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由。

【分析】本小題主要考查函數的導數、單調性、極值、不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力。解法略。

（作者單位：1 山東省淄博市臨淄中學數學組；2山東省淄博市淄博工業學校）

10.3969/j.issn.1671-489X.2011.13.129