一種社會經濟系統模糊C劃分聚類數的確定方法

賀 勇，鐘映竑

（廣東工業大學 管理學院，廣州 510520）

0 引言

在社會經濟系統建模與分析中，需要進行系統分解，即目標系統要劃分為若干個子系統。這會面臨兩個問題：第一，如何劃分；第二，劃分多少個子系統。這實質上是一個聚類問題，涉及到聚類算法的選取和聚類數的確定。模糊C均值（Fuzzy C-Mean,FCM）聚類算法[1,2]作為無監督數據分類和分析的一個重要工具，已成功地用于模式識別及系統建模等領域。社會經濟系統是個邊界不明晰的軟系統，相對于層次聚類法和快速聚類法等而言，模糊C均值劃分更加適合處理此類系統，且可以獲得更加豐富的知識。但FCM算法必須事先給定聚類數，在未知情況下，一般通過聚類有效性函數可來確定，而已提出的聚類有效性函數眾多，不同的聚類有效性函數往往得到不同的聚類數。聚類有效性函數可分為兩類：一類是以Bezdek的vPC[3]和vPE[4]為代表的基于數據集模糊劃分的觀點；另一類基于數據集的幾何結構，以Xie和 Beni的vXB[5]，Fukuyama和 Sugeno的 vFS[6]及Kwon的vk[7]為代表。然而，對于UCI上的標準數據集，沒有一個有效性函數能保證都得到正確的分類數。這樣，在現實的復雜經濟系統中，將目標系統采用模糊C均值劃分為若干個子系統時，應當選取哪個有效性函數沒有任何根據，其最佳聚類數難以確定。

在現實目標系統中，如果僅僅依靠某個聚類有效性函數來確定聚類數，其結果可能并不理想，應當引入專家經驗。可以這么認為，一個好的聚類應該滿足：其一，其聚類數合理，符合解決問題的需要，這需要通過專家經驗來判斷；其二，聚類結果科學、可信，需要通過經典的聚類有效性函數來檢驗。將專家知識和科學計算結合起來，針對社會經濟系統，本文將提出一種模糊軟劃分聚類數的確定方法，主要步驟是：首先進行數據分析，幾何結構上，觀察數據集是否可聚；其次，專家根據問題給出聚類數集合；最后，對可供選擇的每一個聚類數，采用聚類有效性函數集來評價，滿足有效性函數最多的聚類數被認定為最佳聚類數。

1 分類指標的選取

若實際產出為Y，有n個投入要素，則生產函數的一般形式為[8]：

它代表產出與投入要素之間的某種依存關系。為了實現對廣東省21個地區的科技進步水平進行軟分類，遵循柯布-道格拉斯（C.W.Cobb-D.H.Douglas）[9]：

式中α、β是常數，K,L分別代表資本投入、勞動投入，A代表技術進步水平。從（2）式得到：

式（3）表示一個地區的技術進步與該地區的產出、資本投入、勞動投入具有一定的依存關系。基于這種關系，這里科技進步人均產出、固定資產投入和人力資本來反映，根據2001～2009廣東省統計年鑒相關數據進行處理得到人均GDP（單位：萬元）、人均固定資產（單位：萬元）及人力資本數據（計算方法詳見文獻10），得到表1。

表1 各地區指標值

2 分類數的確定

對聚類有效性函數的研究可分為兩類：一類是基于模糊劃分的方法，認為好的聚類對應于數據集是較分明、較明晰的，代表函數如Bezdek提出的分割系數vPC和分割熵vPE；另一類是基于幾何結構的方法，認為每個子類應當是緊致的，子類與子類相互間盡可能分離，代表函數有Xie和Beni的vXB，Fukuyama和Sugeno的vFS，Kwon的vK等。上面提到的5個有效性函數如表2所示。在評價聚類結果時，這5個有效性函數并不一定同時達到最優。可以這樣認為：多個有效性函數取得最優值的聚類結果為較優的結果，該結果對應的聚類個數為最佳的聚類數。

表2 聚類有效性函數

從圖1中，我們可看到21個地區固定資產、人力資本和GDP構成的三維數據散點圖，可看出待分析的數據是存在聚類趨勢的，具有可聚性[11]。由散點圖及實際研究問題的需要，我們將聚類數區間定為c={2,3,4,5,6}。在不同類別下，5個有效性函數值都在時達到最優。由此我們可得出結論：2000～ 2008年期間廣東省各地區按科技水平劃分的最佳類別數為3類。

3 分類結果及分析

圖1 21個地區數據散點圖

設定分類數為3，對廣東省21個地區按技術進步水平進行軟劃分，即對三維向量集{(Yt,Kt,Lt)}模糊分類，結果如表3及圖2所示。

表3 科技進步水平分類表

圖2 分類結果

表4 類中心矢量

可見，分類結果比較好地反映了廣東省的經濟發展情況。事實上，第一類包含兩個廣州、深圳兩個副省級城市、珠海特區及經濟重地佛山，是珠三角的龍頭，科技進步水平最高；第二類均為珠三角城市，區位優勢突出，經濟發展潛力巨大；第三類主要是東西兩翼及粵北地區，雖然這些地區之間以及各個地區內部的科技進步有明顯差異，但它們都具有農業人口比重大，貧困人口多，科技進步水平整體上偏低。表4列出的是各類的類中心矢量（均為歸一化后數據），表5列出的是各個地區屬于各類的程度。

表5 隸屬度表

從隸屬度矩陣（表 5）發現：廣州屬于第一類的程度是0.9876，而佛山是0.7023，表明雖然它們的科技進步水平可以認為屬于同一類，但廣州的科技進步水平高于佛山。中山屬于第一類及第二類的程度分別0.4031和0.5062，相對比較劃歸第二類；而江門屬于第二類及第三類的程度分別是0.6129和0.3511，相對比較劃歸第二類，但是屬于第一類程度僅為0.0360，說明盡管中山、江門同屬第二類，但中山科技水平要比江門高。第三類地區屬于第三類的隸屬度均超過0.7以上，都劃歸第三類。可見表3是科技進步的粗分類，而表5正好反映的是每一類中更細致的劃分。兩個表綜合反映了廣東省各地區科技進步水平的分類，符合廣東省的實際情況。

4 結論

在對社會經濟系統進行聚類時，應將專家知識和科學計算相結合。一個好的聚類應不僅符合客觀現實，即聚類數合理，而且應盡量滿足經典的聚類有效性函數，即聚類結果科學。本文在給定合理可行的聚類數集合的基礎上，采用多個聚類有效性函數對對各個聚類數進行優選的方法，以科技進步水平對廣東省21個地區進行了劃分：首先，確定衡量科技進步水平的數據集；進而對數據集進行分析，判斷是否具有聚類趨勢；然后采用所提出方法進行聚類，得到了滿意的聚類數及聚類結果。研究顯示，廣東省按科技進步水平應分為3類，分類結果符合實際。

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