基于VaR風(fēng)險(xiǎn)約束下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)混合投資策略

趙 武，王定成，2，1b，曾 勇

(1.電子科技大學(xué) a.經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 610054;2.澳大利亞國(guó)立大學(xué) 金融數(shù)學(xué)中心，堪培拉，ACT 0200)

0 引言

眾所周知，保險(xiǎn)公司的成功運(yùn)營(yíng)不僅依賴于其保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，而且依賴于其投資業(yè)務(wù)。這樣保險(xiǎn)公司既面臨著金融市場(chǎng)潛在損失的風(fēng)險(xiǎn)，還面臨著高額保險(xiǎn)索賠的風(fēng)險(xiǎn)。結(jié)果，綜合考慮金融市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化以及保險(xiǎn)過(guò)程還有兩者相互作用的聚合風(fēng)險(xiǎn)模型是十分必要的。自從 F.Lundberg在齊次復(fù)合泊松過(guò)程索賠的基礎(chǔ)上建立聚合風(fēng)險(xiǎn)模型以來(lái)，精算界一直把破產(chǎn)概率作為保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)度量。在經(jīng)典的破產(chǎn)理論中，Gerber[1]和Feller[2]對(duì)保險(xiǎn)公司的盈余用隨機(jī)過(guò)程建模，分別利用了鞅方法和更新方法得到了破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界。并且如果索賠額大小具有指數(shù)矩，那么破產(chǎn)概率隨初始資本金呈現(xiàn)指數(shù)衰減，關(guān)于經(jīng)典結(jié)果的詳細(xì)討論可以參考卡爾斯等[3]。經(jīng)典結(jié)果的一個(gè)重要的推廣途徑就是考慮保險(xiǎn)公司把盈余投資到利率為常數(shù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券上，Klüppelberg& Stadtmüller[4]考慮了這種模型，得到了當(dāng)索賠額大小具有規(guī)則變化尾的情形下，隨著初始資本金的增大，破產(chǎn)概率和索賠額的尾部有著同樣的衰減速度；Sundt&Teugels[5]得到了破產(chǎn)概率對(duì)于初始資本金的一致上界；Tang[6]討論了索賠到達(dá)過(guò)程為一復(fù)合泊松過(guò)程時(shí)有限時(shí)間破產(chǎn)概率問(wèn)題；Wang[7]將Tang[6]的結(jié)果推廣到索賠到達(dá)過(guò)程為更新過(guò)程的情形。

Paulsen&Gjessing[8]首先研究了保險(xiǎn)公司的投資問(wèn)題，但只是考慮了將所有的盈余投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，而沒(méi)有考慮投資組合問(wèn)題；Browne[9]考慮了保險(xiǎn)公司的承保盈余過(guò)程是帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是幾何布朗運(yùn)動(dòng)的模型，得到了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資應(yīng)該與初始資本金無(wú)關(guān)，并且恒為常數(shù)，但是顯然模型不滿足聚合風(fēng)險(xiǎn)模型通常的假設(shè)，即復(fù)合泊松過(guò)程的假設(shè)；Hipp&Plum[10]建立了保險(xiǎn)公司的承保盈余過(guò)程為復(fù)合泊松過(guò)程的模型，得到了最大化生存概率的HJB（Hamilton-jacobi-Bellman）方程。Gaier et.al[11]在索賠額具有一致指數(shù)矩的假設(shè)下，得到了一種常數(shù)的投資策略，并在這種常數(shù)投資下，估計(jì)出破產(chǎn)概率的Lundberg上界。

本文同樣考慮保險(xiǎn)公司的投資策略問(wèn)題，與以往的文獻(xiàn)不同的是，用在險(xiǎn)價(jià)值（VaR Value-at-Risk）而不是破產(chǎn)概率去衡量保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)，在險(xiǎn)價(jià)值是重要的金融風(fēng)險(xiǎn)管理工具之一,在國(guó)際上已獲得廣泛認(rèn)可。VaR的優(yōu)點(diǎn)在于概念簡(jiǎn)單直觀、計(jì)算方便且易于實(shí)施。可將其定義為在一定的持有期及一定的統(tǒng)計(jì)置信度內(nèi)，某一金融工具或投資組合所面臨的最大潛在損失的估計(jì)值。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，本文用指數(shù)Lévy過(guò)程進(jìn)行建模1。在本文的第二部分，假設(shè)保險(xiǎn)公司采取混合投資策略，我們對(duì)保險(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過(guò)程建立模型，在此基礎(chǔ)上給出最優(yōu)化模型可以使VaR限制在一定的水平下，保險(xiǎn)公司總期望財(cái)富最大。第三部分給出模型求解。

1 模型的建立

首先介紹經(jīng)典的Cramér-Lundberg風(fēng)險(xiǎn)模型。記保險(xiǎn)公司在時(shí)刻的承保盈余過(guò)程為，

就稱分布函數(shù)為一有正則變化尾的分布，具有尾指標(biāo)-α＜0，記為FX(x)∈R-α.很多著名的重尾分布都具有正則變化尾，如帕累托分布，逆Gamma分布等。

接下來(lái)給出混合投資策略的定義，參見(jiàn)Emmer et.al[12]。混合投資策略是指在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上投資總財(cái)富的固定比例的份額到風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)上，剩下的用來(lái)購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。假設(shè)保險(xiǎn)公司投資到一個(gè) Black-Scholes型的市場(chǎng)，該市場(chǎng)由股票和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券組成。債券和股票的各自的價(jià)格過(guò)程如下：

對(duì)（2）中的兩式分別微分，得：

在每一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上把總資產(chǎn)的一個(gè)固定比例投資風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)，剩下的1-θ投資到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)上。本文不考慮保險(xiǎn)公司賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和借貸，所以θ∈[0,1]。雖然為常數(shù)，該投資組合策略是一個(gè)動(dòng)態(tài)策略，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過(guò)程是不斷變化的，保險(xiǎn)公司要不斷的調(diào)整投資組合頭寸。被稱為投資策略。Lévy過(guò)程L(t)的特征三元組為(γ,σ2,v)。定義ε(L)被定義成下面微分方程的解

過(guò)程Z=ε(L)被稱為過(guò)程的隨機(jī)指數(shù)或稱為Doléans-Dade指數(shù)。Cont&Tankov[13]中證明了ε(L)的存在唯一性。

綜合以上假設(shè)，保險(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過(guò)程滿足以下隨機(jī)微分方程：

Lθ的Laplace指數(shù)如果存在，可以表示為φ(θ,s)=logE[e-sLθ(A)]。從Kostadinova[15]中引理5.3.1可以得出，如果0＜E[L(1)]＜∞，σ＞0或者v((-∞,0))兩者成立其一，對(duì)于θ∈(0,1)，一定存在唯一的正數(shù)κ=κ(θ)＞0使得φ(θ,κ)=0。

定義保險(xiǎn)公司的折現(xiàn)凈損失過(guò)程如下：

其中β∈(0,1)是一個(gè)小概率值，代表著很高的置信水平。我們要解決的是如下的最優(yōu)化問(wèn)題：

其中：C＞0，T＞0

根據(jù)有限時(shí)間破產(chǎn)概率的定義：

ψ(u,T)=P{Vθ(t)＞u}，對(duì)于某個(gè)0≤t≤T}等價(jià)地，有：

根據(jù)（13），最優(yōu)化問(wèn)題（11）等價(jià)于：

由（14）可知，最優(yōu)化模型（11）中的VaRβ()的經(jīng)濟(jì)解釋為：如果保險(xiǎn)公司要在時(shí)間之前破產(chǎn)的概率不超過(guò)，所需準(zhǔn)備的最少的初始準(zhǔn)備金。

2 模型的求解

由于最優(yōu)化模型（14）的復(fù)雜形式，幾乎是不可能找到模型的解析解，我們的目標(biāo)是找到模型的近似解法。Heyde& Wang[16]針對(duì)該模型，假設(shè)索賠額具有正則變化尾，即FX(x)∈ R-α，研究了有限時(shí)間破產(chǎn)概率，并得到了破產(chǎn)概率的尾漸進(jìn)等價(jià)式。本文利用其結(jié)果，給出最優(yōu)化模型（14）的近似最優(yōu)解。

令θ*為最優(yōu)的投資策略，下面給出定理1。

定理1.假設(shè)安全負(fù)荷條件2成立，即c-λE(X)＞0。還假設(shè)φ(-1)＞δ。如果索賠額服從連續(xù)型分布，且FX(x)∈R-α。那么，對(duì)于任意固定的T＞0和充分大的u，最優(yōu)化問(wèn)題（14）解為

其中θ2是方程J（φ(θ,α)）≥(C)的兩個(gè)解中較大的那個(gè)解。

如果條件φ(α+1)+δ＜φ(α)成立，J（φ(θ,α)）在區(qū)間θ∈[0,1]單調(diào)遞增，且：

證明：參考Kostadinova[15]中的引理3.4.4，如果c-λE(X)＞0和φ(-1)＞δ成立，那么E[Uθ(T)]關(guān)于θ遞增。因此，最優(yōu)化模型（14）等價(jià)于：

接下來(lái)要考慮的就是對(duì)式（18）求解。

根據(jù)Heyde&Wang[16]中的定理1,如果FX(x)∈R-α，那么對(duì)于固定的T＞0：

對(duì)于充分大的，把（19）代入（18），可得：

因?yàn)閑xp(φ(θ,α)T))-1和φ(θ,α)同號(hào)，而且(u)連續(xù)且遞減，所以有：

下一步，考慮φ(θ,α)的性質(zhì)，由Kostadinova[15]給出的引理3.2.5，φ(θ,α)是關(guān)于θ的嚴(yán)格凸函數(shù)。如果φ(-1)＞δ成立，那么：

我們可以找到φ(θ,α)的極值點(diǎn)θ＾，由（7），可以算出：

對(duì)φ(θ,α)求一階導(dǎo)數(shù)，有：

如果?/?θφ(1,α)≥0，等價(jià)于α(α+1)+δ≥φ(α)成立，那么φ (θ,α)的極小點(diǎn)θ＾∈[0,1]，反之α(α+1)+δ＜φ(α)成立，φ(θ,α)在區(qū)間θ∈[0,1]單調(diào)遞減。對(duì)J(φ(θ,α))求導(dǎo)

圖1 J(θ)的圖形（φ(1,α)+δ(α)）。

圖2.的圖形（φ(α+1)+δ＜δ(α)）

圖1表示了條件（φ(α+1)+δ≥δ(α)）成立的情形，這時(shí)θ*=θ2；圖2表示了條件φ(α+1)+δ＜δ(α)）成立的情形，這時(shí)θ*=1。

最后給出具體的數(shù)值例子闡述上述結(jié)果。參數(shù)的設(shè)定保證三個(gè)例子的股票收益的期望和方差都相等，且E[L(1)]= 0.5，Var[L(1)]=2。設(shè)定λ=0.2，c=2，C=15。索賠額服從參數(shù)為的帕累托分布。下面考慮三個(gè)具體的Lévy過(guò)程：

模型 1（幾何布朗運(yùn)動(dòng)）：假設(shè)股票的對(duì)數(shù)收益率為L(zhǎng)(t)= at+bW(t)。其中a=0.2,b=0.5。

模型3（VG Lévy過(guò)程，madan&Seneta[18]）：L(t)=μt+W(V (t))。其中μ＞0，W是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，飄移率為a，波動(dòng)率為b。V(t)是一個(gè)和過(guò)程獨(dú)立的gamma Lévy過(guò)程，V(1)具有Gamma分布，其密度函數(shù)為：

V(t)的特征三元組為(0,0,vΓ)，vΓ(dx)=I{x＞0}ηx-1e-βxdx。L的Lévy測(cè)度為：

令β=η=4，μ=0.2，a=0，b=0.5。

根據(jù)定理1，可以分別計(jì)算上述三個(gè)模型的最優(yōu)投資比例，由下表給出。

表1 最優(yōu)投資比例

4 結(jié)束語(yǔ)

在聚合風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，本文考慮了保險(xiǎn)公司的投資問(wèn)題，假設(shè)保險(xiǎn)公司在Black-Sholes型的市場(chǎng)上進(jìn)行投資，投資策略采用混合投資策略，即將全部資產(chǎn)按固定比例分別投資于股票市場(chǎng)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。假設(shè)股票價(jià)格服從指數(shù)Lévy過(guò)程，同時(shí)索賠額服從重尾分布，在此基礎(chǔ)上對(duì)保險(xiǎn)公司的總資產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行建模。利用VaR方法建立了保險(xiǎn)公司的最大風(fēng)險(xiǎn)承受能力與最優(yōu)投資比例之間的關(guān)系。最后利用破產(chǎn)理論給出了最優(yōu)投資比例的近似最優(yōu)解，該最優(yōu)投資比例可以在VaR限制在一定水平下可以使保險(xiǎn)公司的期望財(cái)富最大。

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