柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)展開動力學研究

曹喜濱，鄭鵬飛，張世杰

(哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星研究所，150001哈爾濱，pfzheng.hit@163.com)

為了更好的分析柔性系繩展開運動特性，在基本假設的前提下采用進一步的假設:

1)繩系輔助離軌系統(tǒng)沒有擺動運動或可控—相對某一平衡位置作微幅的振蕩(以靜態(tài)釋放模式為例，即θ=φ=θ·=˙φ=ε，L·/L=D，D和ε為小量);

2)C1?Ci，i=2，3，…，n;

3)與返回艙質量相比，系繩質量可以忽略，不考慮外界攝動作用.

基于上述假設，采用二階伽遼金模型，由式(7)，(8)和(10)可得展開狀態(tài)下的柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫、縱向運動的系數方程為

結合俄羅斯提出的充氣式防熱罩技術［1］和繩系輔助離軌技術的繩系輔助返回系統(tǒng)［2-3］，將是未來空間站有效載荷返回的一種有效手段.與傳統(tǒng)的空間返回系統(tǒng)相比，繩系輔助返回系統(tǒng)具有發(fā)射成本低、效率高、可部分重復使用的特點.而在該系統(tǒng)中，繩系輔助離軌系統(tǒng)的離軌效率直接決定了返回艙再入點的位置和精度，從而影響了返回艙的再入狀態(tài)以及落點精度，即直接影響或決定了繩系輔助返回任務的成敗.

自從上世紀60年代蘇聯(lián)科學家尤里阿特蘇塔諾夫提出的‘太空梯’概念以來，國內外學者提出了基于繩系系統(tǒng)的多項應用技術和概念，如繩系輔助編隊飛行、繩系衛(wèi)星技術、無動力或電動力纜繩輔助離軌技術等;并對理想情況下的繩系系統(tǒng)展開、系留以及回收的動力學和控制進行了大量的研究［4-8］;然而由于繩系輔助離軌系統(tǒng)任務的特殊性—需要保證返回艙再入點精度，對繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開控制提出了更高要求，因而研究復雜情況下的繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學及控制已經成為必要.

國內外學者對復雜繩系系統(tǒng)的動力學問題也進行了大量的研究，如 Lanoix等［9-10］針對不同的空間任務，研究了空間攝動下繩系系統(tǒng)系留狀態(tài)的穩(wěn)定性及任務壽命等問題，并建立了系留狀態(tài)下的剛性和柔性的繩系系統(tǒng)模型;No等［11］基于“珠子模型”建立了柔性有質量分布系繩的系留運動的運動學和動力學模型，Banerjee等［12］在此基礎上，通過改變珠子的質量和連接桿的長度，研究了柔性有質量分布系繩的展開以及回收運動的動力學建模問題;劉良棟等［13］在繩系系統(tǒng)的動力學模型中引入了系繩的彈性因素，研究系繩的彈性因素對繩系系統(tǒng)(軌道面內運動)系留狀態(tài)穩(wěn)定性的影響;劉延柱和彭建華［14］研究了由系繩的彈性因素引起的縱向振動與繩系系統(tǒng)姿態(tài)運動的耦合問題，利用Melnikov方法和Poincare截面的計算證明了繩系衛(wèi)星具有不可預測的混沌行為;于紹華等［15］基于偏微分方程建立了系留狀態(tài)下的柔性有質量分布系繩的繩系系統(tǒng)的動力學模型，并通過遞推算法求解了系統(tǒng)的定常運動及駐形.然而，這些研究大都針對復雜繩系系統(tǒng)的某一因素或特定的任務需求，不能很好地滿足繩系輔助離軌任務的需要.

本文以繩系輔助離軌系統(tǒng)為背景，在上述研究基礎上，考慮系繩質量和柔彈性因素，通過分析柔性系繩的受力和運動方式，利用微元法建立展開狀態(tài)下柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的動力學方程以及邊界條件;針對動力學方程復雜的非線性和強耦合問題，采用伽遼金法進行離散化求解及分析，并通過數學仿真來驗證和分析柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學特性.

1 柔性系繩建模

1.1 基本建模假設

根據所研究問題的特殊性以及為了減輕實際系統(tǒng)的計算壓力，結合國內外研究資料［2-4］，做出如下合理性假設:

1)空間站和返回飛行器為質點;

2)空間站與返回飛行器質量比很大，在繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開過程中，系統(tǒng)的質心和運動中心重合，且時刻在空間站質心處;

3)系統(tǒng)運行在開普勒圓軌道;

4)系繩為理想柔性，不能抗壓也不能抗彎.

1.2 相關坐標系

1)軌道坐標系OXYZ.以空間站質心O為原點，建立空間站軌道坐標系OXYZ，如圖1所示，Y軸指向地心方向，X軸與空間站軌道面法線平行且與北極方向相反，Z軸與X、Y軸構成右手坐標系，對于圓軌道情況，Z軸指向空間站軌道切向方向.

圖1 繩系系統(tǒng)的相關坐標系

2)固連坐標系Oxyz.y軸沿空間站和返回飛行器連線方向且指向返回飛行器，x軸與繩系輔助離軌系統(tǒng)的軌道面法線平行且與北極方向相反，z軸與x軸和y軸構成右手坐標系，θ和φ分別為系統(tǒng)的軌道面內、外擺角，u(y，t)、v(y，t)、w(y，t)分別為沿y軸方向，與原點O距離為y的微元dy沿x、y、z方向的位移，其中u(y，t)、w(y，t)為微元的橫向位移，v(y，t)為微元的縱向位移或伸展量.

1.3 動力學建模

由上述定義可得，與原點O距離為y的微元dy的位置矢量R為

其中Ro為空間站的位置矢量，

則微元的慣性加速度aI為

坐標系Oxyz是動坐標系，它的角速度矢量為

從而可得

而微元的重力梯度力FG為

則微元總的加速度a為

微元的徑向形變?yōu)?/p>

其中ds，dy分別對應伸長后和未伸長的系繩微元的長度.

則微元dz處的系繩張力T為

其中

由牛頓運動原理可得微元的受力平衡方程為

其中Fp為微元所受的空間攝動力，則利用數學變換等可得微元的動力學方程如下

其中邊界條件為

1.4 基于伽遼金法的動力學方程求解及分析

上述方程為復雜的非線性、非自治強耦合方程，難以直接進行求解，因而采用伽遼金法［16］進行離散化處理以求解.

基于伽遼金法，構造微元的橫向運動位移的近似函數為

其中:φi(y，L)為任意階的基函數;n表示基函數的項數;Ai(t)、Bi(t)表示特定的系數.根據式(2)～(4)的邊界條件，構造微元的橫向運動位移的基函數為

其中，系數Ai(t)，Bi(t)是無量綱的時間函數;

φi(y，L)是顯含L的函數，因而也是時間的函數，由伽遼金法可得

由于縱向位移的邊界條件不同，因而對于微元縱向位移構造特殊的近似函數為

其中系數Ci(t)是無量綱的時間函數;ψi(y，L)是顯含L的函數，因而也是時間的函數，根據式(5)的邊界條件，構造縱向運動位移的基函數為

由伽遼金法可得

為了更好的分析柔性系繩展開運動特性，在基本假設的前提下采用進一步的假設:

1)繩系輔助離軌系統(tǒng)沒有擺動運動或可控—相對某一平衡位置作微幅的振蕩(以靜態(tài)釋放模式為例，即θ=φ=θ·=˙φ=ε，L·/L=D，D和ε為小量);

2)C1?Ci，i=2，3，…，n;

3)與返回艙質量相比，系繩質量可以忽略，不考慮外界攝動作用.

基于上述假設，采用二階伽遼金模型，由式(7)，(8)和(10)可得展開狀態(tài)下的柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫、縱向運動的系數方程為

其中Ω=π2EA/ρL2，Μ=EA/msL，λ=lnL.

顯然由式(11)和(12)可得，繩系輔助離軌系統(tǒng)的縱向運動和軌道面內橫向運動不會引起軌道面外的橫向運動，反之不能成立，這與理想情況下的繩系系統(tǒng)的展開運動特性吻合［8］，從而柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學可以簡化，并舍去高階項得到系數方程為

從式(19)可得，系統(tǒng)的縱向運動是一個近似的有激勵的二階阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的激勵為，阻尼系數為，固有頻率為而由于采用靜態(tài)釋放，則，系統(tǒng)可以簡化為幅值為的階躍激勵下的二階阻尼系統(tǒng)，則可得縱向運動的系數方程為

2 數學仿真及分析

由于冪指數展開釋放規(guī)律(L·/L=D，D為常數)可以近似實現繩系系統(tǒng)相對某一平衡位置進行穩(wěn)定的展開釋放［17］，可以很好地滿足1.4小節(jié)的假設條件，因而采用冪指數展開釋放規(guī)律.選取合適的初始參數以及結構參數，如表1所示，通過數學仿真來驗證和分析展開狀態(tài)下的柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的動力學特性，仿真結果如圖2～7所示.

表1 初始參數及結構參數

從圖2和圖3可以看出，隨著系繩的展開長度的不斷增加，端體或系統(tǒng)的軌道面內的擺角的振動幅值不斷衰減，即系統(tǒng)的軌道面內的橫向振動運動不斷衰減，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定的空間駐形;而從圖4和圖5可以看出，隨著系繩展開長度的增加，系統(tǒng)的橫向和縱向位移不斷增大，但振動幅值不斷衰減，即系統(tǒng)的振動運動不斷衰減，與1.4節(jié)理論分析結果吻合;從圖6和圖7可以得到，系繩的橫向和縱向張力不斷增大，且其振動幅值也不斷衰減，顯然在一定程度上也驗證了圖4和圖5的仿真結果.

圖2 繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開長度

圖3 繩系輔助離軌系統(tǒng)的軌道面內擺角

圖4 系統(tǒng)的縱向運動(y=L)

圖5 系統(tǒng)的橫向運動(y=L/2)

圖6 系繩的縱向張力(y=L)

圖7 系繩的橫向張力(y=L)

綜上所述，可以得出，系繩的展開長度對繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫向和縱向運動影響很大;隨著展開長度的增加，系繩的張緊力逐漸增大，從而導致系統(tǒng)的橫向和縱向運動的位移逐漸增大，與式(1)吻合，但振動幅值不斷衰減，表明系繩張緊力對系統(tǒng)的橫向和縱向的振動運動有抑制作用，使系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定的空間駐形.

3 結論

以繩系輔助離軌系統(tǒng)為背景，基于微元法建立了柔性有質量分布系繩的繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學模型;針對模型復雜的非線性和強耦合問題，采用伽遼金法進行離散化處理和求解，在此基礎上利用二階阻尼系統(tǒng)的階躍響應函數，對離散化的模型進行適當的理論分析;并通過數學仿真來驗證和分析柔性有質量分布系繩的繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學特性.結果表明，系繩的展開長度對繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫向和縱向振動影響很大，隨著展開長度的增加，系繩的張緊力逐漸增大，從而導致系統(tǒng)的橫向和縱向運動的位移逐漸增大，而振動幅值不斷衰減，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定的空間駐形，進而也表明系繩張緊力對系統(tǒng)的橫向和縱向的振動運動有抑制作用.

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