柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)展開動力學研究

曹喜濱，鄭鵬飛，張世杰

(哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星研究所，150001哈爾濱，pfzheng.hit@163.com)

為了更好的分析柔性系繩展開運動特性，在基本假設的前提下采用進一步的假設:

1)繩系輔助離軌系統(tǒng)沒有擺動運動或可控—相對某一平衡位置作微幅的振蕩(以靜態(tài)釋放模式為例，即θ=φ=θ·=˙φ=ε，L·/L=D，D和ε為小量);

2)C1?Ci，i=2，3，…，n;

3)與返回艙質量相比，系繩質量可以忽略，不考慮外界攝動作用.

基于上述假設，采用二階伽遼金模型，由式(7)，(8)和(10)可得展開狀態(tài)下的柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫、縱向運動的系數(shù)方程為

結合俄羅斯提出的充氣式防熱罩技術［1］和繩系輔助離軌技術的繩系輔助返回系統(tǒng)［2-3］，將是未來空間站有效載荷返回的一種有效手段.與傳統(tǒng)的空間返回系統(tǒng)相比，繩系輔助返回系統(tǒng)具有發(fā)射成本低、效率高、可部分重復使用的特點.而在該系統(tǒng)中，繩系輔助離軌系統(tǒng)的離軌效率直接決定了返回艙再入點的位置和精度，從而影響了返回艙的再入狀態(tài)以及落點精度，即直接影響或決定了繩系輔助返回任務的成敗.

自從上世紀60年代蘇聯(lián)科學家尤里阿特蘇塔諾夫提出的‘太空梯’概念以來，國內外學者提出了基于繩系系統(tǒng)的多項應用技術和概念，如繩系輔助編隊飛行、繩系衛(wèi)星技術、無動力或電動力纜繩輔助離軌技術等;并對理想情況下的繩系系統(tǒng)展開、系留以及回收的動力學和控制進行了大量的研究［4-8］;然而由于繩系輔助離軌系統(tǒng)任務的特殊性—需要保證返回艙再入點精度，對繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開控制提出了更高要求，因而研究復雜情況下的繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學及控制已經成為必要.

國內外學者對復雜繩系系統(tǒng)的動力學問題也進行了大量的研究，如 Lanoix等［9-10］針對不同的空間任務，研究了空間攝動下繩系系統(tǒng)系留狀態(tài)的穩(wěn)定性及任務壽命等問題，并建立了系留狀態(tài)下的剛性和柔性的繩系系統(tǒng)模型;No等［11］基于“珠子模型”建立了柔性有質量分布系繩的系留運動的運動學和動力學模型，Banerjee等［12］在此基礎上，通過改變珠子的質量和連接桿的長度，研究了柔性有質量分布系繩的展開以及回收運動的動力學建模問題;劉良棟等［13］在繩系系統(tǒng)的動力學模型中引入了系繩的彈性因素，研究系繩的彈性因素對繩系系統(tǒng)(軌道面內運動)系留狀態(tài)穩(wěn)定性的影響;劉延柱和彭建華［14］研究了由系繩的彈性因素引起的縱向振動與繩系系統(tǒng)姿態(tài)運動的耦合問題，利用Melnikov方法和Poincare截面的計算證明了繩系衛(wèi)星具有不可預測的混沌行為;于紹華等［15］基于偏微分方程建立了系留狀態(tài)下的柔性有質量分布系繩的繩系系統(tǒng)的動力學模型，并通過遞推算法求解了系統(tǒng)的定常運動及駐形.然而，這些研究大都針對復雜繩系系統(tǒng)的某一因素或特定的任務需求，不能很好地滿足繩系輔助離軌任務的需要.

本文以繩系輔助離軌系統(tǒng)為背景，在上述研究基礎上，考慮系繩質量和柔彈性因素，通過分析柔性系繩的受力和運動方式，利用微元法建立展開狀態(tài)下柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的動力學方程以及邊界條件;針對動力學方程復雜的非線性和強耦合問題，采用伽遼金法進行離散化求解及分析，并通過數(shù)學仿真來驗證和分析柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學特性.

1 柔性系繩建模

1.1 基本建模假設

根據(jù)所研究問題的特殊性以及為了減輕實際系統(tǒng)的計算壓力，結合國內外研究資料［2-4］，做出如下合理性假設:

1)空間站和返回飛行器為質點;

2)空間站與返回飛行器質量比很大，在繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開過程中，系統(tǒng)的質心和運動中心重合，且時刻在空間站質心處;

3)系統(tǒng)運行在開普勒圓軌道;

4)系繩為理想柔性，不能抗壓也不能抗彎.

1.2 相關坐標系

1)軌道坐標系OXYZ.以空間站質心O為原點，建立空間站軌道坐標系OXYZ，如圖1所示，Y軸指向地心方向，X軸與空間站軌道面法線平行且與北極方向相反，Z軸與X、Y軸構成右手坐標系，對于圓軌道情況，Z軸指向空間站軌道切向方向.

圖1 繩系系統(tǒng)的相關坐標系

2)固連坐標系Oxyz.y軸沿空間站和返回飛行器連線方向且指向返回飛行器，x軸與繩系輔助離軌系統(tǒng)的軌道面法線平行且與北極方向相反，z軸與x軸和y軸構成右手坐標系，θ和φ分別為系統(tǒng)的軌道面內、外擺角，u(y，t)、v(y，t)、w(y，t)分別為沿y軸方向，與原點O距離為y的微元dy沿x、y、z方向的位移，其中u(y，t)、w(y，t)為微元的橫向位移，v(y，t)為微元的縱向位移或伸展量.

1.3 動力學建模

由上述定義可得，與原點O距離為y的微元dy的位置矢量R為

其中Ro為空間站的位置矢量，

則微元的慣性加速度aI為

坐標系Oxyz是動坐標系，它的角速度矢量為

從而可得

而微元的重力梯度力FG為

則微元總的加速度a為

微元的徑向形變?yōu)?/p>

其中ds，dy分別對應伸長后和未伸長的系繩微元的長度.

則微元dz處的系繩張力T為

其中

由牛頓運動原理可得微元的受力平衡方程為

其中Fp為微元所受的空間攝動力，則利用數(shù)學變換等可得微元的動力學方程如下

其中邊界條件為

1.4 基于伽遼金法的動力學方程求解及分析

上述方程為復雜的非線性、非自治強耦合方程，難以直接進行求解，因而采用伽遼金法［16］進行離散化處理以求解.

基于伽遼金法，構造微元的橫向運動位移的近似函數(shù)為

其中:φi(y，L)為任意階的基函數(shù);n表示基函數(shù)的項數(shù);Ai(t)、Bi(t)表示特定的系數(shù).根據(jù)式(2)～(4)的邊界條件，構造微元的橫向運動位移的基函數(shù)為

其中，系數(shù)Ai(t)，Bi(t)是無量綱的時間函數(shù);

φi(y，L)是顯含L的函數(shù)，因而也是時間的函數(shù)，由伽遼金法可得

由于縱向位移的邊界條件不同，因而對于微元縱向位移構造特殊的近似函數(shù)為

其中系數(shù)Ci(t)是無量綱的時間函數(shù);ψi(y，L)是顯含L的函數(shù)，因而也是時間的函數(shù)，根據(jù)式(5)的邊界條件，構造縱向運動位移的基函數(shù)為

由伽遼金法可得

為了更好的分析柔性系繩展開運動特性，在基本假設的前提下采用進一步的假設:

1)繩系輔助離軌系統(tǒng)沒有擺動運動或可控—相對某一平衡位置作微幅的振蕩(以靜態(tài)釋放模式為例，即θ=φ=θ·=˙φ=ε，L·/L=D，D和ε為小量);

2)C1?Ci，i=2，3，…，n;

3)與返回艙質量相比，系繩質量可以忽略，不考慮外界攝動作用.

基于上述假設，采用二階伽遼金模型，由式(7)，(8)和(10)可得展開狀態(tài)下的柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫、縱向運動的系數(shù)方程為

其中Ω=π2EA/ρL2，Μ=EA/msL，λ=lnL.

顯然由式(11)和(12)可得，繩系輔助離軌系統(tǒng)的縱向運動和軌道面內橫向運動不會引起軌道面外的橫向運動，反之不能成立，這與理想情況下的繩系系統(tǒng)的展開運動特性吻合［8］，從而柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學可以簡化，并舍去高階項得到系數(shù)方程為

從式(19)可得，系統(tǒng)的縱向運動是一個近似的有激勵的二階阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的激勵為，阻尼系數(shù)為，固有頻率為而由于采用靜態(tài)釋放，則，系統(tǒng)可以簡化為幅值為的階躍激勵下的二階阻尼系統(tǒng)，則可得縱向運動的系數(shù)方程為

2 數(shù)學仿真及分析

由于冪指數(shù)展開釋放規(guī)律(L·/L=D，D為常數(shù))可以近似實現(xiàn)繩系系統(tǒng)相對某一平衡位置進行穩(wěn)定的展開釋放［17］，可以很好地滿足1.4小節(jié)的假設條件，因而采用冪指數(shù)展開釋放規(guī)律.選取合適的初始參數(shù)以及結構參數(shù)，如表1所示，通過數(shù)學仿真來驗證和分析展開狀態(tài)下的柔性繩系輔助離軌系統(tǒng)的動力學特性，仿真結果如圖2～7所示.

表1 初始參數(shù)及結構參數(shù)

從圖2和圖3可以看出，隨著系繩的展開長度的不斷增加，端體或系統(tǒng)的軌道面內的擺角的振動幅值不斷衰減，即系統(tǒng)的軌道面內的橫向振動運動不斷衰減，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定的空間駐形;而從圖4和圖5可以看出，隨著系繩展開長度的增加，系統(tǒng)的橫向和縱向位移不斷增大，但振動幅值不斷衰減，即系統(tǒng)的振動運動不斷衰減，與1.4節(jié)理論分析結果吻合;從圖6和圖7可以得到，系繩的橫向和縱向張力不斷增大，且其振動幅值也不斷衰減，顯然在一定程度上也驗證了圖4和圖5的仿真結果.

圖2 繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開長度

圖3 繩系輔助離軌系統(tǒng)的軌道面內擺角

圖4 系統(tǒng)的縱向運動(y=L)

圖5 系統(tǒng)的橫向運動(y=L/2)

圖6 系繩的縱向張力(y=L)

圖7 系繩的橫向張力(y=L)

綜上所述，可以得出，系繩的展開長度對繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫向和縱向運動影響很大;隨著展開長度的增加，系繩的張緊力逐漸增大，從而導致系統(tǒng)的橫向和縱向運動的位移逐漸增大，與式(1)吻合，但振動幅值不斷衰減，表明系繩張緊力對系統(tǒng)的橫向和縱向的振動運動有抑制作用，使系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定的空間駐形.

3 結論

以繩系輔助離軌系統(tǒng)為背景，基于微元法建立了柔性有質量分布系繩的繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學模型;針對模型復雜的非線性和強耦合問題，采用伽遼金法進行離散化處理和求解，在此基礎上利用二階阻尼系統(tǒng)的階躍響應函數(shù)，對離散化的模型進行適當?shù)睦碚摲治?并通過數(shù)學仿真來驗證和分析柔性有質量分布系繩的繩系輔助離軌系統(tǒng)的展開動力學特性.結果表明，系繩的展開長度對繩系輔助離軌系統(tǒng)的橫向和縱向振動影響很大，隨著展開長度的增加，系繩的張緊力逐漸增大，從而導致系統(tǒng)的橫向和縱向運動的位移逐漸增大，而振動幅值不斷衰減，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定的空間駐形，進而也表明系繩張緊力對系統(tǒng)的橫向和縱向的振動運動有抑制作用.

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