基于改進型伴隨方法的高超聲速飛行器上升段軌跡優化①

馬廣富，佘智勇

(哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150001)

0 引言

高超聲速飛行器不同于普通飛機，其具有比普通飛機更高的飛行速度和高度，在稠密大氣層內以較高的速度運動，在一系列戰略戰術武器中具有應用前景的同時，引入了大量的工程技術難題。因此，與其相關的軌跡優化與指導控制問題，近年來受到工程技術人員廣泛關注，但現有文獻多為高超聲速飛行器再入段制導［1］，且多數為采用直接參數優化方法求解最優制導軌跡［2－3］。

本文重點研究以固體火箭發動機為動力系統的高超聲速飛行器上升段軌跡優化問題，基于最優控制理論，利用改進型伴隨方法，間接解析在線生成最優制導指令。

1 改進型伴隨方法

1.1 軌跡優化方法回顧

直接離線方法是近年來飛行器軌跡優化方法的主流［4］，此方法將控制變量進行離散化，同時按照優化準則，直接調整控制變量的值，直至獲得滿足性能指標要求的最優解，但求解過程需要的先驗知識多，計算量大，計算耗時，并易陷入局部極小值，而使優化失敗。間接法利用最優理論求解問題［5］，間接求解控制變量，可避免局部極小值的產生，但傳統方法收斂速度難以保證，且對協態變量初始值較敏感［6］。與傳統利用伴隨方法求解最優控制靈敏度問題不同［7］，增強型伴隨方法對前述2種方法進行了有機結合，對于具有一定先驗知識的初始解，按照間接法逐次迭代，具有收斂精度高、速度快及控制變量平滑等特點。

1.2 改進型伴隨方法

對具有以下形式的多輸入、多輸出系統:

對于某一近似滿足初始邊界與終端邊界的軌跡，按照某種指標進行逐次的迭代，直至尋得最優軌跡為止。設Zk(t)，k≥0為前次迭代軌跡，那么，如果第k+1次迭代所產生的Zk+1(t)與Zk(t)滿足如下關系:

式中 I∈Rn×n為單位陣;β∈Rn×n，0 ＜ ‖β‖≤1。

將2次迭代的誤差表示成變分δZk=Zk+1－Zk，在Zk對F(Zk+1)做一階泰勒展開:

可構造輔助方程:

其中，η∈Rn×1，那么

由輔助微分方程，利用已知的η(tf)，將其從tf到t0進行反向積分，可求取輔助變量的變化歷程，可求得原方程狀態的變分初始值為δZ(t0)，并以此為初始值積分:

由已知的當前狀態，可求取更為滿足約束的優化軌跡狀態:

反復進行該過程，可得任意精度的最優軌跡。

1.3 改進型伴隨方法的收斂性

由于存在關系式(2)，則式(7)必然滿足:

2 數學模型

2.1 飛行器動力學模型

飛行器動力學方程描述如下:

其中

式中 V為無因次速度;h為無因次高度;θ為彈道傾角;P為單位質量的推力;X為沿速度軸向的單位質量空氣阻力;Y為沿垂直速度軸向的單位質量空氣升力;q=0.5ρV2為動壓;ρ為大氣密度;Cx為阻力系數;Cy為升力系數;M 為馬赫數;α 為攻角;ai、bi、ci、di為常系數。

選取初始邊界:

選取終端邊界:

選取性能指標:

2.2 考慮約束的哈密頓函數及協狀態

彎曲力矩是飛行器法向載荷的一種表現形式，從約束效果來說與直接攻角約束等價，但在理論處理過程中，彎曲力矩約束具有自己獨特的形式。

定義攻角和動壓的乘積為飛行器所受的彎曲力矩，不失一般性，如果令:

為彎曲力矩約束，則哈密頓函數變為

式中 qs為海平面大氣壓;BMmax為最大彎曲力矩;λ1為約束項的拉格郎日乘子。

λ1滿足:

則協態變量應滿足方程:

3 上升段軌跡優化

將原系統狀態進行增廣，與協狀態組成新的狀態量為

做增廣方程:

對其實施改進的伴隨方法，得到系統前饋標稱輸入。取 ηh(tf)=［0 1 0 0 0 0］T，則

同理可得 Δθ、ΔλV，則由式(4)～ 式(6)可得到最優系統軌線。同時，由最優控制駐點條件及上述狀態變量，可求得最優攻角指令。

上升段軌跡優化流程:

(1)選取初值Z0(t);

(2)積分方程˙Z=F(Z，t);

(3)求取雅克比矩陣，構造輔助伴隨方程;

(4)取 ηh(tf)=［0 1 0 0 0 0］T，對輔助伴隨方程進行反向積分，可得到ηV(t);

(5)由 ηθ(tf)=［0 0 1 0 0 0］T及 ηλV(tf)=［0 0 0 1 0 0］T可確定另外2組條件;

(6)為計算考慮，為終端誤差增加調整因子，求解方程組:

(7)計算新的初始值:

(8)重新積分增廣狀態方程，如滿足精度要求，則結束;否則，返回步驟(2)。

4 算例

選擇垂直發射，到18 500 m時具有終端4°彈道傾角，并且達到最大能量的飛行任務，具體參數見表1。

表1 大氣層內上升段帶彎曲力矩約束仿真參數Table 1 Parameters for atmospheric ascent with bending moment constraints

在飛行過程中，帶有過程約束和末端零攻角約束以及彎曲力矩約束，選取無彎曲力矩約束及不同數值彎曲力矩約束曲線對比分析見圖1、圖2。整個飛行過程在沒有碰到約束邊界時變化不大，一旦觸及約束邊界，作為控制量的攻角強制發生變化，在具有彎曲力矩邊界約束的狀態及協狀態動力學方程作用下，各狀態及協狀態均發生變化，并由圖1和圖2可看出，在此類飛行器，此種飛行任務下，伴隨方法可智能的尋找最優約束，而非簡單的沿著約束邊界運動。究其原因在于哈密頓函數對于攻角不是單調函數，在最大攻角與最小攻角之間，哈密段函數存在極小值，且此極小值比邊界攻角上的哈密頓函數值更小。

5 結論

本文提出了一種改進型的伴隨方法，基于該方法對大氣層內高超聲速飛行器進行了高精度、快速軌跡優化;與直接參數化方法相比，改進型的伴隨方法具有收斂精度高、收斂速度快、控制變量平滑等特點，能避免局部極小值的產生;與傳統伴隨方法相比，減小了對協態變量初始值的依賴，增大了協態變量的收斂域，具有直接快速在線優化飛行器運動軌跡，實現閉環制導的潛力。同時，在約束條件存在條件下，伴隨方法仍能對上升段軌跡進行優化，且快速而有效。

圖1 彎曲力矩約束對高度、速度、彈道傾角及攻角的影響Fig.1 Effect of bending moment constraints on altitude，velocity，flight path angle，and angle of attack

圖2 彎曲力矩約束隨時間變化過程Fig.2 Bending moment history vs time

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