凝膠推進劑彎管流動特性的數值實驗研究①

夏學禮，強洪夫，周志清

(第二炮兵工程學院，西安 710025)

0 引言

在凝膠供應系統中，彎管是推進劑管路輸送系統中的常見組件，推進劑流經彎管時，由于存在向心力及壁面壓力梯度，運動狀態(tài)變得極為復雜［1－2］。考慮到凝膠推進劑的非牛頓流特性，考察其在這類管路中的流動過程，已成為推進劑輸送系統研究中需特別關注的內容。

國內外關于凝膠推進劑彎管流動研究的公開文獻少見報到，但關于非牛頓流體管道流動特性的研究有相關探索。楊偉東和張蒙正對凝膠推進劑模擬液在直圓管中的流動特性進行了理論分析和實驗研究［3］，考察了管長、管徑對流阻的影響，討論了流阻系數與雷諾數的關系;Rahimi和 Natan［4－5］通過編程計算了凝膠推進劑在收縮噴注器中的速度與粘度分布，認為推進劑平均表觀粘度在噴注器出口得到了明顯減小;Hwang和 Pal［6］、Deshpande 和 Barigou［7］對非牛頓流體的突擴突縮管件進行了實驗研究;Jure Marn［8］運用二次方程流變模型對剪切變稠的高濃度灰水混合物流經90°彎管進行了數值模擬;Sing和Mishra［9］在大彎徑比下提出非牛頓流體流經彎管的局部阻力系數公式;趙國華、陳良勇等［10］運用Herschel-Bulkley模型對水煤漿90°彎管的流動過程進行了數值模擬，得出了工程設計中最佳彎徑比與流速的關系。

本文采用管流法測量的冪率流變模型作為輸入參數，針對凝膠推進劑在90°圓管中的流動過程進行了三維數值實驗研究，考察了彎徑比同流量和壓降的關系，得到了壓力和速度分布、局部阻力系數公式，以及最大速度點在彎管內的變化規(guī)律。

1 數值模擬方法

1.1 控制方程

在柱坐標系下，對于三維、穩(wěn)態(tài)、不可壓等溫層流流動(?/?t=0，vθ=0，ρ=const)，其控制方程如下［11］:

流變模型:

連續(xù)性方程:

r方向動量方程:

同理，z、θ方向動量方程:

定義無量綱化量:

則有:

式中 r、z、θ為坐標方向;ρ、vi、p 、τij分別為流體的密度、速度分量、壓力和切應力分量;v0、L、η0、Re分別為入口平均速度、管長、入口平均粘度和雷諾數;有^符號和無^符號分別對應為無量綱化前后相應物理量。

1.2 邊界條件

(1)入口邊界

在入口處，沿軸向施加一速度，沿徑向速度分量為零:

入口的工況條件如表1所示。

表1 入口邊界工況條件Table 1 Inlet condition

(2)出口邊界

出口為充分發(fā)展的不可壓縮流:

(3)墻邊界

設墻面為無滑移、絕熱固壁邊界，有:

1.3 物理模型

入口邊界工況條件見表1，數值計算采用的彎管物理模型如圖1所示，具體尺寸見表2。其中Lu、Ld為彎管上、下游直管的長度，Rc為彎管的曲率半徑，D為彎管的直徑，α=2Rc/D為該彎管的彎徑比，該彎管為90°彎管，L為彎管長度。

圖1 90°彎管示意圖:D=8 mm，L=300 mm，Lu=LdFig.1 90°bending pipe:D=8 mm，L=300 mm，Lu=Ld

1.4 計算方法和網格

數值計算采用SIMPLEC算法，方程離散采用二階迎風格式，計算網格如圖2所示。在z軸方向上的數值傳遞盡量垂直，平行于z軸的網格剖分線盡量與可能的流線相似，在墻邊界處進行了局部加密，彎頭部分較直管部分網格要密，管道截面網格采用四邊形網格，由Grid生成。考慮到彎頭的長度不同，對不同彎徑比，彎頭部分在網格剖分時，盡量使其剖分密度相近，直管部分進行相應調整，整個管道軸線上節(jié)點數相近。

表2 不同彎徑比下彎管長度尺寸Table 2 Bending pipe length of various bend diameter ratio

圖2 90°彎管網格剖分示意圖Fig.2 Schematic diagram of 90°bend pipe mesh

2 流變模型的實驗確定

凝膠推進劑的流變模型有很多，普遍采用冪率模型來描述，其實驗測定方法可通過管流法實現其在管道內的恒定剪切流動，測量其壓降和流量，換算成名義剪切速率和壁面剪切應力。根據流動公式，由測得的實驗數據，采用最小二乘的多參數回歸擬合方法得出參數n、k，從而確定其流變模型。實驗在如圖3所示實驗系統中進行，實驗中被測管路水平置于兩接頭之間，接頭管徑與被測管徑相同，認為測壓點間為充分發(fā)展的層流流動。

圖4為該型凝膠推進劑在不同管徑的相同材料管道內測得的流動曲線。不同管徑下曲線并不重合，這是由壁滑移引起的，必須對壁滑移效應予以修正，修正后的模型為

圖3 凝膠推進劑管流實驗系統示意圖Fig.3 Sketch map on the experimental system of gelled propellant flow in pipe

圖4 流動曲線Fig.4 Flow curves in pipe

3 數值實驗結果及分析

3.1 壓力和速度分布

在3 種雷諾數工況(Re5=40.4、Re6=78.8、Re7=126.4)下凝膠推進劑流經彎徑比為2Rc/D=1.2的L=300 mm長度彎管的壓力和速度分布見圖5。

從圖5(a)可見，壓力的變化在彎頭的上、下游呈線性減小，而在彎頭部分呈非線性減小趨勢。這表明彎管彎頭部分上游是充分發(fā)展的流動條件，而當流動進入彎頭部分后，壓降變得非線性，且這種非線性隨著雷諾數的增大變得更加明顯，彎管的彎曲對流體在彎頭部分的流動有著極大影響。當流體流出彎頭部分后，彎頭下游部分的壓力梯度再次接近于Hagen-Poiseuile流，而且對于所有的雷諾數條件下，壓力充分發(fā)展條件出現在下游地區(qū)。

圖5 沿中心軸線壓力和速度分布Fig.5 Normalized pressure and velocity distribution along centerline direction

從圖5(b)可看出，速度在進入彎頭部分后呈先減小后增大恢復的過程，這說明流動在進入彎頭部分后，速度的最大點并不出現在中心軸線上，速度最大點連成的軸線與彎管的物理軸線并不重合，3.4節(jié)管道截面速度分布的圖10也從另一側面驗證了這一結論，截面速度最大點出靠近管壁外側，管壁外側速度高于截面平均速度，而內側速度則低于截面平均速度，在密度不變條件下，定性上保證了沿彎管橫截面的質量流量恒定。

圖6給出了凝膠推進劑在這3種雷諾數工況(Re5=40.4、Re6=78.8、Re7=126.4)條件下，流經同一彎管(彎徑比為1.2，管長為300 mm)的內、外壁壓力分布計算結果。

從圖6可看出，在彎頭部分內、外壁面的壓力分布是不一致的，這種不一致作用于流體上，勢必會產生向心力，其結果在管道截面上出現二次流。二次流作用在管道橫截面上會產生一個橫向輸運，相較于直圓管來說，這種附加的對流輸運勢必引起壓降的增大，圖7給出了這種由于二次流引起的壓降增大而產生的相較于直管的壓力損失。

從圖6中還能注意到，壓降開始偏離Hagen-Poiseuille流出現在彎管彎頭的入口部分，雷諾數越高，偏離越明顯，最大偏離大概出現在彎管彎頭部分的40°～45°之間。

圖6 彎管外壁面壓力分布Fig.6 Normalized pressure distribution along inner wall and outerwall of a pipe bend

圖7 彎管與直管沿中心軸線處的壓力分布Fig.7 Normalized pressure distribution along centerline for pipe bend and straight pipe

3.2 局部阻力系數

對于大彎徑比彎管，在充分發(fā)展流動條件下的軸向壓力梯度，過去大多數人是通過實驗方式考察fc與fp的經驗關系式來描述，而對于小彎徑比條件下的彎管流動，少見有文獻報到。Mishra-Gupta對于彎徑比大于12的管道進行了研究，提出了經驗公式:

式中 Δp為彎管出入口的壓降;ρ為流體密度;v為平均流速。

對于非牛頓流體雷諾數，根據凝膠推進劑的性質，采用基于壁面表觀粘度的雷諾數，用式(7)來表征:

式中 d為管徑;η為表觀粘度。

影響非牛頓流體流經彎管局部阻力系數的因素有很多，比如彎徑比、流速以及非牛頓流體本身的特性參數等。本文著重考慮彎徑比及流速(對于確定的管徑和特定的推進劑，即為流量)對阻力系數的影響，對管徑為8 mm的彎管，考察的彎徑比及彎管的幾何尺寸如表2所示，所經歷的雷諾數如表1所示，考察得到的凝膠推進劑流經90°彎管的局部阻力系數同雷諾數及彎徑比關系的數值實驗結果如圖8所示。

從圖8可看出，隨著雷諾數的增大，凝膠推進劑的局部阻力系數越偏離牛頓流體的局部阻力系數，且彎徑比越小，變化越明顯。

圖8 不同彎徑比局部阻力系數分布Fig.8 The ratio fc/fpvs lgDe for various bend diameter ratio

根據數值實驗所得到的數據，參照Mishra-Gupta對于彎徑比大于12的管道進行研究提出的經驗公式，采用最小二乘的多參數回歸擬合方法，得到凝膠推進劑流經小彎徑比條件下局部阻力系數同彎徑比及雷諾數的關系式如下:

3.3 最佳彎徑比

最佳彎徑比是相同流速下凝膠推進劑流經彎管產生的局部阻力系數最小時的彎徑比。對彎徑比(如表2所示)從1.2～4的各流速(如表1所示)下8 mm彎管進行數值實驗，得到各流速下局部阻力系數隨彎徑比的分布如圖9所示。

圖9 不同De數下局部阻力系數分布Fig.9 Ratio fc/fpvs 2Rc/R for various De numbers

圖8、圖9可看出，在小彎徑比條件下90°彎管，當De＜5時，存在最佳彎徑比，且出現在2左右;當De＞5時，彎徑比越大，局部阻力系數越小，凝膠推進劑越接近牛頓流體的流動。

3.4 管道截面速度分布

沿著管軸線方向，在彎曲不同部位截取面，圖10描述了彎徑比為12的8 mm管徑彎管分別在θ=0°、30°、45°、60°、90°截面，3 種雷諾數 Re5、Re6、Re7條件下無量綱速度沿半徑的變化分布。

圖10 彎管彎頭部分不同截面速度分布Fig.10 Normalized velocity distribution in a symmetry plane of a pipe bend inner，outer denotes the inner and outer wall

圖11描述了上述彎管在雷諾數分別為Re6、Re7條件下，彎曲部分出口截面的無量綱速度分布，并同時描繪出了同等條件下直管的速度分布。

圖11 彎頭出口截面速度分布Fig.11 Normalized velocity v/vindistribution at exit of a pipe bend

從圖10、圖11可看出:(1)流體流經彎管，由于向心力的作用，最大速度點并不像流體流經直管一樣出現在管徑的中心處，而是外側速度高，內側速度低，最大速度點出現在靠近彎管外壁;(2)沿著流動方向流經管道截面(分別為 0°、30°、45°、60°、90°)，最大速度點的偏離更加明顯;(3)流體的流動速度越大，最大速度點的偏離亦更加明顯;(4)最大速度點更偏離外側，說明彎曲管徑外側的剪切速率大，而內側小。因此，對于凝膠推進劑在小雷諾數條件下流動，可能需關注內側膠凝劑沉降現象的發(fā)生。

4 結論

(1)壓力和速度在彎管彎頭部分沿軸線分布呈非線性變化，且雷諾數越大，非線性越明顯。

(2)壓力在彎頭部分內、外壁面的不一致分布會產生向心力作用，使得在管道截面上出現二次流，結果產生在管道橫截面上的橫向輸運，從而引起相對于直管的壓力損失。

(3)通過數值實驗考察了局部阻力系數同速度與彎徑比的關系，得到了適合的經驗公式，認為在一定的雷諾數條件下存在最佳彎徑比，工程上取值在2左右較合適。

(4)凝膠推進劑在彎管內的流動，最大速度點出現在靠近彎管外壁，且沿著流動方向和增大流動速度，最大速度點的偏離更加明顯。因此，對于凝膠推進劑在小雷諾數條件下流動，需關注內側膠凝劑沉降現象的發(fā)生。

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