MICE超導耦合磁體冷質量應力有限元分析

潘 衡，王 莉，2，吳 紅，郭興龍

(1.哈爾濱工業大學低溫與超導技術研究所，150080哈爾濱，panheng@hit.edu.cn;2.上海應用物理研究所，201204上海)

MICE超導耦合磁體的線圈采用環氧樹脂膠濕繞技術，其線圈冷質量組件包括超導線繞組、骨架、緊固帶、絕緣系統和滑移面.因為具有較大尺寸和較高磁場，磁體經歷繞制、冷卻和勵磁過程之后，冷質量內部將產生較高的應力水平和復雜的應力分布.一方面，應力水平如果超過材料的許用應力，將會破壞磁體的結構安全;另一方面，大應力應變將使得線圈內的環氧填充物破裂或者線圈變形“位移”生熱而引發磁體失超或鍛煉.為了保證磁體的結構安全和運行穩定性，需要精確分析冷質量內部的應力分布并合理地優化結構設計.

采用有限元方法可以較精確計算線圈內部的應力分布情況，尤其是滑移面引起的幾何非線性問題.本文采用通用有限元軟件，基于多載荷步和單元生死技術對MICE超導耦合磁體的冷質量在繞制、降溫和勵磁3個階段進行模擬;采用有限元軟件內的接觸分析來模擬滑移面引起的幾何非線性問題，并根據模擬結果分析了磁體冷質量內的應力分布對機械穩定性的影響.

1 MICE超導耦合磁體冷質量有限元模型

1.1 MICE超導耦合磁體冷質量結構

MICE超導耦合磁體為單線圈螺線管磁體，其線圈冷質量組成如圖1所示.

圖1 MICE超導耦合磁體冷質量橫截面及滑移面

超導繞組為玻璃纖維布、環氧樹脂和超導線組成的復合結構，共繞制96層.線圈骨架采用6061－T6鋁合金，包括線軸、側板和蓋板.線軸和側板分別厚19、18 mm;蓋板由于要將氦冷卻管嵌入其中，厚度為 45 mm.緊固帶采用線徑為Φ1.3 mm的5356鋁絲，繞制厚度為27 mm，用于緊固線圈和保護超導線在蓋板焊接時不被燒壞.對地絕緣系統由不同厚度的G－10板組成.線圈與線軸之間和線圈與緊固帶之間的絕緣為1 mm厚G－10板;線圈與側板之間為兩層G－10板，分別厚3.0、0.5 mm;3.0 mm G－10板與線圈側粘在一起，0.5 mm G－10板與側板粘在一起，兩層G－10板之間允許相對滑動.滑移面允許線圈可以相對骨架移動以釋放因冷縮熱應力和電磁洛倫茲力引起的線圈與骨架之間的相互作用力，同時也減小了環氧破裂所釋放的應變能.線圈底部與G－10板之間有4層Kapton薄膜作為線圈與線軸之間的滑移面;因為0.5和3.0 mm厚的G－10側板可以相對滑動，因此G－10側板也作為滑移面使用.

1.2 建模

由于超導耦合磁體在結構上具有軸對稱性，在對其進行應力分析時可以簡化為冷質量橫截面內的平面應變問題.根據圖1采用通用有限元軟件對線圈冷質量建立二維軸對稱模型.為了得到精確的繞制初應力結果，將線圈部分按照實際的層數沿徑向劃分96層，緊固帶沿徑向劃分10層，在軸向上每匝為一個單元.采用單元生死技術和多載荷步方法來模擬繞制、降溫和勵磁過程中每層導體彈性變形的傳播.滑移面只能承受壓力和部分承受剪切力而不能承受拉力，因此滑移面的界面條件為不等式約束，在有限元模型中采用增廣Lagrange乘子法通過引入罰函數因子來定義接觸界面的法向約束，并采用彈性庫倫模型來定義接觸界面的切向約束.在接觸單元中根據實際G－10絕緣板的剛度和彈性壓縮變形情況設置接觸分析的罰剛度參數小于0.1;根據Kapton薄膜的摩擦系數設置接觸模型中的摩擦系數范圍為0.1～0.3［1］.

1.3 邊界條件和載荷

在有限元數值模型中引入如下假設:1)電流在線圈橫截面內均勻分布;2)降溫后冷質量溫度均為4.2 K;3)忽略磁體冷質量支撐的影響; 4)忽略MICE冷卻通道內其他磁體的影響.

冷質量受到的載荷較為復雜，包括:1)繞制預應力引起的磁體冷質量內部初始機械載荷，對導線和緊固帶均施加繞制預應力60 MPa;2)磁體由室溫降到液氦溫度時，冷質量各部件由于熱收縮系數差異導致的相互約束而產生的熱應力載荷;3)磁體自身電流與磁場相互作用產生的電磁力載荷，在每層導線平面內施加均勻的電流密度110.8 A/mm2;4)磁體在其余磁體失超時受到的軸向載荷或在自身失超時受到的電磁載荷和熱應力載荷.由于線圈冷質量由支撐承擔重力，因此在單獨分析冷質量內部應力分布時不施加重力載荷.對磁體冷質量的穩態應力分析，只施加前3項載荷.約束條件為僅對模型軸向中心面上的節點施加軸向位移約束為零，因為MICE超導耦合磁體受其他磁體在未失超時的電磁體影響很小，所以在靜力分析時該約束條件是合理的.

1.4 材料屬性

MICE超導耦合磁體線圈的層間絕緣為環氧樹脂膠和玻璃纖維布，匝間絕緣為環氧樹脂膠.因此線圈繞組在機械性質上存在各項異性.在有限元模型中，線圈部分采用各向異性的等效均質體來代替實際線圈的復合結構［2－3］，線圈的彈性模量沿環向、徑向和軸向分別為90、50和70 GPa，泊松比為0.30;6061鋁與5356鋁的彈性模量分別取70和72 GPa，泊松比分別為0.34和0.30; G－10彈性模量取 22 GPa，泊松比取 0.20.6061－T6的室溫抗拉強度約為320 MPa，20 K時的屈服強度約為500 MPa;當超導線在銅超比為4∶1，RRR＞70時，室溫抗拉強度大于350 MPa，20 K時的屈服強度＞230 MPa.各材料的平均線膨脹系數如圖2所示.

圖2 材料平均線膨脹系數與溫度的關系

2 模擬結果［4］及分析

2.1 繞制初應力模擬結果

磁體線圈繞制完成并在其外層繞制緊固帶后，磁體冷質量內部由于繞制預應力而產生初始的應力分布，圖3為線圈中心面z=0處沿徑向的應力分布.由于繞制過程中線圈無軸向受力，因此冷質量內部的軸向力很小，可以忽略.

圖3 緊固帶繞制結束時冷質量內部應力分布

繞制結束后的最大應力發生在線軸中心面內側，最大值為135 MPa，而6061鋁在室溫時許用應力為100 MPa左右;線圈內的最大應力發生在線圈最內層，最大值為109 MPa，導線在室溫下的許用應力約為150 MPa.線圈對鋁骨架的徑向壓力為5.8 MPa;最大環向壓縮應力發生線圈最內側，最外側的環向拉伸應力等于施加的預應力60 MPa.圖中兩個應力突變是由于底層G－10板與線圈和緊固帶之間G－10板導致的結構不連續.

圖4為磁體冷質量橫截面內的剪應力分布.由于導線截面內的預應力在徑向上產生向下的壓力，使得每層導線發生輕微彎曲，在線圈最內層的彎曲最嚴重，因此在線圈兩側會產生剪應力.剪應力數值關于線圈中心面對稱，最大剪應力發生在線圈橫截面內側底面與側面的端角處，有限元模擬結果為60 MPa預應力時最大剪應力為7.05 MPa，說明繞制預應力產生的橫向剪切力很小.

圖4 緊固帶繞制結束時冷質量內部剪切應力分布(MPa)

2.2 冷縮熱應力模擬結果

根據模型假設，MICE超導耦合線圈正常工作時平均溫度為4.2 K.在磁體的二維軸對稱模型中，其降溫過程的熱應力為自由邊界問題，各組件由于彈性模量、尺寸和熱收縮系數的差異使線圈冷質量內部各部件之間引起約束，為滿足變形協調要求從而產生附加機械應力.圖5為線圈中心面上降溫后的熱應力與繞制初應力疊加后的結果.

降溫后骨架與線圈內的最大應力依然發生在線軸中心面最內側和線圈最內層，但由于5356鋁緊固帶的熱收縮系數大于線圈，使線圈外層和緊固帶內的應力明顯增加(圖5);由于線軸收縮略大于線圈，因此線圈對鋁骨架的徑向壓力減小為4.5 MPa，但線圈與線軸并未脫離;由于受到兩側板的擠壓，在線圈內部的軸向應力為負值，且基本沿徑向呈線性關系，說明軸向應變基本為常數，這也與廣義平面應變假設的解析結果相符［5－6］.由于線圈自身收縮和受到緊固帶的壓力，線圈的環向應力在徑向上向壓應力方向變化，在線圈內層環向壓應力達到最大值.

圖5 磁體由300.0 K降溫到4.2 K時冷質量內部應力分布

圖6為降溫后磁體冷質量橫截面內的剪應力分布.相比無滑移面時，在線圈兩側及線圈底部，滑移面可釋放近一半的剪切力，但由于附加熱應力增加了每層導線的彎曲和線圈與其周圍的G－10之間的約束，因此在線圈周圍的界面處剪切應力與繞制結束后仍明顯升高.最大的剪切應力依然發生在線圈橫截面內側底面與側面的端角處，此時最大值為27.8 MPa;線圈外層端角處的剪切應力也達到約20 MPa.結合其余應力分量的分布，線圈最內層的端角處是應力較為集中的區域，盡管該區域內的應力水平小于材料的許用應力，但會使線圈的機械穩定性大幅降低.

圖6 磁體由300.0 K降溫到4.2 K時冷質量內部剪切應力分布(MPa)

2.3 電磁應力模擬結果

MICE超導螺線管磁體在勵磁之后線圈內的磁場呈空間分布，因此勵磁后的線圈繞組實質上是一個具有不均勻空間分布體積力的圓柱體結構.徑向磁場分量產生軸向壓縮力，由于線圈兩側的徑向磁場分量最大，因此位于線圈兩側的導線受到的軸向洛倫茲力最大，隨著軸向各匝導線軸向力的疊加，磁體中心平面處的總軸向壓應力最大;線圈內部的軸向磁場分量在徑向上壓縮線圈，但總的趨勢是由此產生的徑向洛倫茲力使線圈沿徑向向外膨脹，因為MICE超導耦合磁體的內徑較大而長度較小，因此徑向洛倫茲力為主要的體積力分量.圖7為線圈中心面上勵磁后的電磁力與降溫后磁體冷質量內的應力疊加的結果.

圖7 磁體勵磁到210 A時冷質量內部應力分布

徑向洛倫茲力使線圈試圖脫離線軸，因此勵磁之后線軸上和線圈內層的應力水平下降，而線圈外層和緊固帶的應力水平達到最大值.勵磁之后線圈的最大應力為114 MPa，而此時緊固帶的最大應力為140 MPa，主要原因為環向應力的大幅增加.直徑1.2 mm的5356鋁絲的室溫抗拉強度約為440～480 MPa;線圈對鋁骨架的徑向應力減小為－2.8 MPa，而軸向應力增加到－60 MPa，小于環氧樹脂的抗壓強度67 MPa.在線圈內層兩側的導線受到的軸向應力為－20 MPa，軸向力增加而徑向力減小，使得線圈內層且位于兩側的導線在軸向洛倫茲力下會產生向中心面移動的趨勢.

圖8為勵磁后磁體冷質量橫截面內的剪應力分布.由于徑向洛倫茲力沿徑向向外，因此在線圈底部抵消了部分降溫引起的附加熱應力，因而也減小了勵磁之后的剪應力水平.勵磁過程中線圈內層端角處單純由電磁載荷導致的剪應力變化約10 MPa，較無滑移面結果變化很小.因此MICE超導耦合磁體內的滑移面并不能明顯降低勵磁后的橫向剪切力，滑移面的主要作用是降低降溫后產生的應力水平.

圖8 磁體勵磁到210 A時冷質量內部剪切應力分布(MPa)

3 應力狀態對磁體機械穩定性的影響

磁體的機械穩定性研究的是研究磁體受到的機械擾動與磁體的失超和鍛煉效應之間的關系.發生在磁體內部的機械擾動主要為高應力下的環氧破裂和導線移動:環氧破裂將釋放該處的應變能;導線的快速移動會產生大量摩擦熱量.MICE超導耦合磁體的滑移面結構降低了線圈內層端角處的剪切力，從而降低了該處的應變能;而環氧的破裂模式一般是在由剪切力引起的在主應力方向上的拉裂［7］.由于采用Kapton做滑移面有較低的摩擦系數(0.1)，因此在電磁力載荷下，滑移面允許線圈在軸向和徑向移動并減小“粘滯滑動”，“粘滯滑動”會使導線受力超過粘滯摩擦力時突然竄動，從而釋放較大的能量.

MICE超導耦合磁體的最小失超能量(MQE)密度為3×104J/m3，如果摩擦耗散能量和環氧破裂引起的應變能釋放超過MQE密度，則表示磁體勵磁過程中將發生失超.

3.1 徑向和軸向應力對磁體穩定性的影響

在降溫和勵磁之后，在線圈最內層導線受到的徑向力與其他層相比始終最小，而該層的導熱條件最差，因此最容易產生正常區.該層兩端受到的軸向力在勵磁時為－20 MPa，因此該層兩端導線受到的軸向力與徑向力的比值為4.13，大于滑移面的滑動摩擦系數，因此線圈兩側導線會向線圈中心面移動.線圈移動中受到了線圈骨架的軸向摩擦力Ff，則線圈在移動過程中耗散的熱量為［8］

式中，Qs為滑移面上由于線圈與骨架之間的相對滑移而耗散的熱量(J)，μ為滑移面的摩擦系數，δi為線圈最內層第i匝導線的相對移動距離.處于線圈軸向最外端的導線相對移動距離最大，越靠近中心面的導線移動越小，每匝導線的相對移動距離近似呈與匝數相關的P級數(P=1)關系:δi=δ0/i，δ0為線圈軸向最外端導線的相對滑移距離.根據穩態應力模型對磁體降溫過程的模擬結果，δ0為15 μm，則線圈兩端導線同時移動時總的耗散能量最高約為27.5 J/m2，能量密度為2.8×104J/m3，低于MICE超導耦合磁體的最小失超能量密度和類似螺線管線圈的最小失超能量［9］.

3.2 剪切應力對磁體穩定性的影響

環氧樹脂在低溫下會變脆，其斷裂韌性降低.環氧的剪切強度為17 MPa，假設斷裂應力等于剪切強度，當環氧的最大剪應變超過0.2%時或最大拉應變超過2%即可發生破裂［7］，尤其是繞組端部與骨架之間或繞組內徑面與骨架表面之間的環氧樹脂粘接面.因此在剪切力集中區域環氧受到的主應力為

式中，I1，I2和I3分別為應力第一、第二和第三不變量.因此在剪應力集中區域的線圈內層端角處，環氧的第一主應力為22 MPa，而最大剪應力為50 MPa，對應于環氧的拉應變和最大剪應變分別為0.55%和2.00%，因此此處在勵磁時將發生環氧斷裂，破壞模式為剪切斷裂.一般脆性材料的裂紋長度為10－3～10－2mm［10］，在此尺度下假設端角處剪切力集中區域的應變能完全釋放，則在三軸應力下此處的應變能為

式中，E為環氧的彈性模量，ε為環氧的應變，ν為泊松比.此處的應變能為3.81×104J/m3，大于MICE超導耦合磁體的最小失超能量密度，因此線圈內層端角處將有可能會由于剪切力的原因產生失超或鍛煉效應.

4 結論

1)對MICE超導耦合磁體進行有限元分析的結果表明，最大的應力出現在降溫時的線軸中心內側，最大值為139 MPa，低于6061 T6鋁在4.2 K時的許用應力;線圈內的最大應力出現在勵磁結束后的線圈最外層，最大值為114 MPa，也低于超導線在4.2 K時的許用應力.

2)考慮到其余磁體失超時對耦合磁體產生的軸向力，但由于線圈側板面積很大，軸向力的影響很小，因此磁體冷質量結構是安全的.

3)應力分量對磁體的機械穩定性的分析表明，滑移面結構下線圈內層兩端導線在電磁載荷作用下的微移動不會造成磁體失超，而相同位置的剪切應力是影響磁體穩定性的關鍵因素.線圈內層端角處的剪切力集中使得該處環氧將發生破裂，從而部分應變能將轉化為熱能而引發失超或鍛煉，而采用滑移面可減小應力集中區域的應變能，從而減小失超的可能性或鍛煉次數.

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