基于核密度估計算法的飛機載荷譜統計技術

湯阿妮

(中國飛行試驗研究院，西安 710089)

基于核密度估計算法的飛機載荷譜統計技術

湯阿妮

(中國飛行試驗研究院，西安 710089)

受到實際條件限制，現階段的飛機載荷譜實測均采取小子樣實測方法，小子樣實測數據是取自真實母體的一個簡單樣本，很難保證數據的充分性、完整性.傳統的均值統計法無法對數據缺陷進行彌補.為了克服小子樣數據不足問題，將核密度估計技術用于載荷譜統計，取得了良好效果.介紹了核密度估計的相關理論基礎，并以某型機下沉速度譜的統計為例，詳細介紹了將核密度估計方法用于載荷譜統計的數學過程.結果顯示:核密度估計方法對還原載荷譜原貌、補充小子樣數據的不足問題具有良好作用.

核密度估計;載荷譜;統計;小子樣

為了驗證設計數據、改善并優化設計方案、確定機體結構使用壽命，近年來，多種飛機型號進行了載荷譜實測工作.由于條件所限，國內目前的載荷譜實測工作都是小子樣實測，即實測一架飛機一定飛行起落的使用載荷，以此代表整個機隊甚至整個型號飛機的使用載荷譜.這種方法化解了經濟和需求之間的關系，在一定程度上滿足了載荷譜實測需求.但由于是小子樣實測，難以保證數據的完整性，即實測的使用載荷譜是否能夠代表母體的基本特性問題.

在載荷譜編制方法上，采用了多種不同的處理方法以改善載荷譜的可靠度問題，如中值載荷譜編制技術、多代表起落譜技術等.但均值載荷譜依然是使用較多的方法之一，如起落架載荷譜、飛機操縱系統譜、重心過載譜、下沉速度譜等.均值譜的基本方法是對實測數據進行區間投放，對于實測數據的缺陷無法進行彌補.

另一方面，小子樣實測數據是來自母體的一個樣本，如何利用實測樣本最大程度地反映母體特性是數理統計技術要研究的課題之一.近年來發展起來的核密度估計技術在對隨機變量進行分布密度函數估計方面得到了較廣泛的應用，本文將這種方法用于飛機載荷譜的統計分析，大大改善了小子樣數據的不足，取得了良好效果.

1 核密度估計

1.1 一維核估計的定義

由給定樣本點集合求解隨機變量的分布密度函數問題是概率統計學的基本問題之一.解決這一問題的方法包括參數估計和非參數估計.參數估計又可分為參數回歸分析和參數判別分析.在參數回歸分析中，假定數據分布符合某種特定的性態，如線性、可化線性或指數性態等，然后在目標函數族中尋找特定的解，即確定回歸模型中的未知參數.在參數判別分析中，需要假定作為判別依據的、隨機取值的數據樣本在各個可能的類別中都服從特定的分布.經驗和理論說明，參數模型的這種基本假定與實際的物理模型之間常存在較大差距，這些方法并非總能取得令人滿意的結果.由于上述缺陷，Rosenblatt和Parzen提出了核密度估計方法.核密度估計方法屬于非參數估計方法，由于核密度估計方法不利用有關數據分布的先驗知識，對數據分布不附加任何假定，是一種從數據樣本本身出發研究數據分布特征的方法，在統計學理論和應用領域均受到高度的重視［1－3］.

在非參數估計方法中，直方圖技術是最為直觀、最簡單的方法，但直方圖很難給出較為精確的密度估計結果.核密度估計是在直方圖基礎上演變而來的具有良好統計性質的密度估計方法.

核密度估計的原理和直方圖技術比較類似，直方圖記錄了實測樣本中落在每個區間點的實際個數或頻率，可直觀地看出每個區間的大致分布趨勢.核密度估計則是在計算某一點周圍的數據分布時，充分考慮其統計特性，具體地，一維核密度估計的定義為:設X為隨機變量，X1，X2，…，Xn為來自X的一個實測樣本，則X的概率密度函數f(x)的核估計定義如下:

式中，X=(X1，X2，…，Xn);K(·)為核函數，是一個已知給定的概率密度函數，核函數應滿足對稱性、非負性;h為帶寬系數;n為樣本容量.

除一維核估計外，還有多維核估計.本文僅使用一維核估計，對于多維的概念不予介紹.

1.2 核估計精度

影響核密度估計結果的因素有兩個:①樣本本身;②所取的核函數K(·)和帶寬h.可以說，對任何統計方法，樣本本身對統計結果均起著決定性作用.在給定樣本后，核估計的精度則取決于K(·)及h的選取是否適當.一般的，當K(·)固定時，帶寬越大，估計的密度函數就越平滑，但同時帶來的后果是f(x)的某些特征被掩蓋;帶寬較小，估計的密度曲線和樣本擬合度較好，但增大了方差，f(x)有較大的波動.

對于在實際使用中應如何確定核函數，文獻［1］指出，當給定帶寬系數時，不同核函數對估計誤差的影響是很小的.理論上講，任何函數都可以作為核函數.但為了密度函數估計的方便性和合理性，通常要求核函數滿足以下條件:

下面列出的是幾種常用的核函數:

2)三角函數(Triangle):(1－|x|)I(|x|≤1);

帶寬h的選擇與樣本量n有關.樣本量較大時，h較小，反之，h應較大.h的確定還要考慮數據的密集程度，在數據密集區，h選小一點;在數據稀疏區，h選大一點.h的具體計算方法很多，可以參考相應文獻.

2 飛機疲勞載荷譜

疲勞載荷譜是飛機疲勞定壽的重要依據，載荷譜反映機體的使用情況，其實質是結構使用中各級載荷大小出現的頻數的排列.

載荷譜統計是飛機設計研制工作的重要組成部分，對確定飛機結構使用壽命起著非常重要的作用.在20世紀90年代以前，國內飛機載荷譜統計都是按均值譜編制方法;90年代以后，對機體載荷譜，采用了代表起落隨機載荷譜編制方法，而起落架載荷譜則仍然沿用均值譜編制技術.

均值譜編制方法的基本思想是把實測載荷進行分級，經計數處理后，各級載荷出現的頻數取重復實測次數的平均值，依次為依據編制載荷譜.均值譜編制通常以任務剖面或任務段為編譜單元，如起落架載荷譜以使用任務段為編譜單元.起落架載荷譜的編制是一個復雜的處理過程，包含計數處理、等壽命折算、等損傷折算等［4］，可參考相關文獻.

3 核密度估計應用于載荷譜統計

核密度估計方法可以估計出隨機變量在其取值范圍內某點的概率密度，這與載荷譜統計過程中均值譜統計的思路是一致的，因此可以將核密度估計方法用于載荷譜統計.一般情況下，均值載荷譜以1 000次飛行出現的頻次表示，是一個概率的概念，因此對核密度估計結果需要作進一步的計算處理.處理方法如下:

1)計算概率密度.根據給定的核函數和帶寬估計載荷的概率密度函數，計算公式如式(1).

2)計算概率.對概率密度估計結果進行數值積分，得到統計概率.可以得到以下兩種概率:

①區間概率，即載荷大小位于區間n1和n2之間的概率，計算公式如下:

區間概率的物理意義是一次飛行載荷大小出現在區間n1和n2之間的頻數;

②連續概率，即載荷位于最小值到n之間的概率，計算公式如下:

連續概率的物理意義是一次飛行載荷大小在n點的超越頻率.

3)計算載荷譜.根據概率計算1 000次飛行譜塊:

4)數據推斷.根據核密度估計結果推斷1000次飛行中可能出現的最大載荷.

推斷方法:將概率密度f=0.001代入式(1)求出x值.

4 實例

以某型機下沉速度譜(下沉速度譜是起落架載荷譜統計內容之一)統計為例.在某型機起落架載荷譜實測中，共實測125架次的著陸下沉速度值，其最大值為 1.412m/s，最小值為 0.137m/s，平均值為0.6774m/s.分別用傳統的均值統計法和核密度估計法編制該機的下沉速度譜.

4.1 均值統計結果

以0.1m/s為間隔，將下沉速度劃分為15個間隔，每個區間的統計結果見表1.以直方圖的結果顯示為圖1.將間隔更改為0.05m/s，對下沉速度重新統計，其結果見圖2.這兩種結果均為125架次實測下沉速度在不同間隔情況下的均值譜統計結果.從該結果可以看出增大間隔，統計結果有一定程度的改善.

圖1 著陸下沉速度實測統計譜(間隔0.1m/s)

圖2 著陸下沉速度實測統計譜(間隔0.05m/s)

但由于實測數據有限，下沉速度的分布情況比較離散，其改善程度是非常有限的，再更改間隔，還會得到不同的統計結果，很難得到下沉速度真正的分布情況.如果樣本數減少，離散情況將增大.且由于最大下沉速度僅達到1.412m/s，所以，1.412m/s以上的分布情況無法得到.對于整個機隊甚至整個型號飛機的使用情況，下沉速度大于1.412m/s是完全可能出現的，只是在測量的125架次中沒有遇到而已.這是小子樣實測數據無法避免的，同時也是均值統計法不能挽救的.當然，可以利用參數估計方法對其分布形式進行估計，但在樣本量較小的情況下，參數估計方法很難得到滿意的結果.

4.2 核密度統計法

同樣取0.1m/s為估計間隔，按照不同的核函數進行密度估計，結果見圖3.由此可見，不同核函數的估計結果差異較小，個別函數統計結果平滑性較差.比較后，選定高斯核函數進行核密度估計.分別取步長為0.05，0.15，0.2 進行計算，計算結果同時列在表1中，圖示結果見圖4.

表1 某型機下沉速度譜統計結果

圖3 不同核函數估計結果對比

從圖4可以看出，當取步長為0.05時，計算結果平滑度較差，較多地保留實測數據的原貌，步長增大到0.15時，數據結果比較平滑，再增大到0.2時，平滑度進一步增加.考慮到實際飛行結果，最后選定步長0.2作為計算步長.

圖4 不同帶寬核密度估計結果對比

與實測譜對應，分別選間隔為0.05和0.1進行統計，結果見圖5.可以看出，在選定步長和核函數后，核密度估計結果與間隔的劃分沒有關系，說明統計結果反映了母體的本質.

圖5 某型機著陸下沉速度核密度估計譜

4.3 均值譜與核密度估計譜對比

比較核密度統計譜與均值譜，可以看出，均值譜統計結果與間隔劃分關系較大，與樣本量的大小關系密切;核密度估計譜大大彌補了實測數據的缺陷，不依賴于數據間隔的劃分，體現了母體的真實特性.

同時，核密度估計方法可以很容易地進行數據推斷，從該計算結果直接得到了1 000次飛行中出現最大的下沉速度值為1.9m/s，出現次數為0.53.

5 結 束 語

核密度估計是近年來發展起來的非參數估計方法，在很多領域得到了廣泛應用.本文將該技術用于飛機載荷譜的統計分析，對于還原載荷譜原貌、解決小子樣數據缺陷問題起到了很好的作用.

載荷譜實測對確定飛機實際使用壽命、改進飛機結構設計有重要作用.近年來，國家大力發展航空事業，載荷譜實測任務逐年增多，由于經濟原因，目前的小子樣載荷譜實測方法將持續較長時間，因此對于新的統計技術研究是非常必要也是非常重要的.

References)

［1］陳希儒，柴根象.非參數統計教材［M］.上海:華東師范大學出版社，1993 Chen Xiru，Chai Genxiang.Nonparametric estimation［M］.ShangHai:East China Normal University Press，1993(in Chinese)

［2］ Epanechnikov V A.Nonparametric estimation of a multidimensional probability density［J］.Theory of Probability and Application，1969，14(1):156 －161

［3］ Scott D W.Multivariate density estimation:theroy practice and visualization［M］.New York:Wile-Blackwell，1992

［4］GJB67.6A—2008軍用飛機結構強度規范:重復載荷、耐久性和損傷容限［S］GJB67.6A—2008 Military airplane structural strength specication:repeated loads，durability and damage tolerance［S］(in Chinese)

(編 輯:李 晶)

Technique of aircraft loads spectrum statistics based on kernel density estimation

Tang Ani

(Chinese Flight Test Establishment，Xi'an 710089，China)

Restricted by real condition，small sample method is usually used to measure the aircraft loads spectrum.The small sample data is a simple sample from the realmatrix，which can'tensure the adequacy and the integrity of data.The traditional average statistics method which is the common method to be used to develop loads spectrum can't compensate for the defects of data.In order to overcome the shortage of small sample data，kernel density estimation was used to static loads spectrum，and better results were gotten.The basic theory of kernel density estimation was introduced and using the statistic of an airplane's sinking velocity spectrum as an example to describe the mathematical course of kernel density estimation method on load spectrum statistics datailedly.The results show that kernel density estimation method has a good effect for restoring the original appearance of the load spectrum and can make up the shortage of small sample data.

kernel density estimation;loads spectrum;statistics;small sample

V 215

A

1001-5965(2011)06-0654-04

2010-05-04

湯阿妮(1975－)，女，陜西潼關人，高級工程師，tangani@sohu.com.