基于半光程差的天線反射面型面精度檢測

周國鋒 李曉星

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

基于半光程差的天線反射面型面精度檢測

周國鋒 李曉星

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

型面擬合最小量的選取是天線面板型面檢測中的關鍵技術之一.天線表面各點半光程差的均方根是衡量天線型面精度的指標.根據圓錐曲面的幾何定義及其光學性質，提出了圓錐曲面天線面板半光程差的直接計算方法，給出了基于半光程差的非線性最小二乘曲面擬合算法.以旋轉拋物面天線面板為例，通過模擬和實際測量，對比分析了分別選取軸向誤差和半光程差作為最小量擬合計算結果.試驗驗證了選取半光程差作為最小量擬合的算法具有更高的數值計算精度及穩定性.

半光程差;圓錐曲面擬合;非線性最小二乘;反射面型面檢測

反射面天線的面型多采用旋轉拋物面等具有良好光學性質的圓錐曲面.而天線面板的型面精度直接影響天線的工作性能［1］.根據文獻［2］可知天線表面點的半光程差的均方根是衡量反射面天線精度的最佳指標.在實際應用中，通常通過測量天線面板上離散點三維坐標進行圓錐曲面擬合以獲取被檢測天線的型面精度情況.天線反射面的型面精度檢測可以歸結為求取型面參數及變換參數的非線性最小二乘問題，其中關鍵問題是采用何種最小量作為曲面擬合精度評價準則，文獻［3］提出了一種改進的拋物面天線變形誤差算法與評級方法，但該文章假設節點變形后的位置對擬合拋物面的法線和徑向方向余弦近似等于原設計拋物面上相應位置的法線和徑向方向余弦.文獻［4］提出分塊劃分變形反射面，并采用Coons曲面擬合每個子域，利用周向三角擬合曲線與徑向多項式擬合曲線來確定曲面片邊界條件，再利用擬合曲面的法向誤差評判該天線面板精度，該方法能反映反射面局部大變形，但文章利用擬合的Coons曲面的法向來代替口徑面相位差.文獻［5］對比分析了分別選取軸向、徑向、法向、焦距等4種不同的最小量進行曲面擬合的計算結果.以上文獻提出的方法和思路都能較好地評價型面的輪廓度，但都是利用其他量近似代替半光程差來衡量天線反射面精度.本文根據圓錐曲面的幾何定義及光學性質，推導了圓錐曲面天線面板半光程差的直接計算方法，提出了基于半光程差的曲面擬合的非線性最小二乘擬合算法.最后以旋轉拋物天線面板為例，通過模擬和實際測量，對比分析了采用軸向誤差和半光程差作為最小量擬合的數值計算精度及穩定性.

1 半光程差的直接計算方法

1.1 半光程差定義

20世紀70年代，Ruse等就提出反射面表面半光程差的均方根是衡量反射面精度的指標，并在文獻［2］中給出了計算半光程差的公式:

其中，Δz為軸向偏差;Δn為法向偏差;r為口徑面半徑;f為焦距.后來國內外的很多文獻也推導出半光程差的計算公式，這些計算方法大多是推導了半光程差與其他偏差量(如軸向偏差或法向誤差等)之間的計算關系.

圖1為以拋物面天線為例，從焦點F發出的波，經過反射在前方形成一個等相位面，即對理論面上任意點A和P1有:

圖1 拋物面半光程差

其中，Lop為從焦點到該等相位面的光程.對實際反射面而言，由于表面存在誤差會引起天線口徑面上各點電磁場產生相位差，使天線的旁瓣電平增高，增益降低.如在圖1中，假設反射面在P點處凸出(凹的情況類似)，則從焦點F點射向P點到達等相位面上的電磁波所經過的光程與Lop之間的差值就是所謂的光程差，記作2δ.半光程差δ就是光程差的一半，對拋物面而言，從圖1可得

1.2 圓錐曲面的半光程差

由于圓錐曲面良好的光學性能，在天線設計中經常采用拋物面作為主面，采用橢球面和雙曲面作副面.根據圓錐曲線的軌跡定義:到定點的距離與到定直線的距離之比為常數e的點的軌跡，可知，當e=1時為拋物線有(圖1):

又根據拋物線的光學性質:從拋物線的焦點發出的波，經過拋物線反射后，反射波都平行于拋物線的軸射出，可得到在凸出點P處有，代入式(4)和式(5)即可得到拋物面半光程差直接計算公式:

當e＜1時軌跡是橢圓(圖2)，其光學性質為焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上，即有，其中2a為橢圓的長軸，容易得

圖2 橢球面半光程差

而當e＞1時為雙曲線(圖3)，從雙曲線焦點發出的波，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到該雙曲線的另一個焦點上，且有:

圖3 雙曲面半光程差

可以得到雙曲面的半光程差計算公式為

其中，2a為雙曲線實軸長.

以上分析結合圓錐曲面的軌跡定義及光學特性，推導了拋物面等3種圓錐曲面的光程差的直接計算方法.

2 基于半光程差的擬合算法

2.1 坐標轉換

在反射面精度檢測過程中，型面測量點的三維坐標在測量坐標系下，因此進行曲面擬合時必須進行坐標轉換.現假設m個測量點在測量坐標系下的測量坐標為(Xp，Yp，Zp)，在對應的設計坐標系下的理論坐標為(xp，yp，zp)，則根據文獻［6］從測量點到理論點之間的轉換關系為

其中，x0，y0，z0為沿測量坐標系的 x，y，z三軸的平移量，和繞測量坐標系的x，y，z三軸的旋轉角α，β，γ并稱為坐標變換六參數且有:

2.2 誤差方程

如圖2所示，設拋物線軸向為z軸，繞其旋轉且焦距為f的二次拋物面理論方程為

其焦點理論坐標為(0，0，f)，其準線繞z軸旋轉成的平面為z=－f，按照半光程差平方和最小原則擬合拋物面，根據式(6)直接列出基于半光程差誤差方程為

同理根據式(7)可以得到繞z軸旋轉的橢球面光程差方程為

其中，2a為橢球長軸長.

根據式(9)可得繞z軸旋轉的雙曲面半光程差方程為

2.3 曲面擬合

其中，2a為雙曲線實軸長.

如是曲面擬合問題轉化為非線性最小二乘問題:

其中 x=(α，β，γ，x0，y0，z0，f)，f為焦距.采用Gauss-Newton法解決該非線性問題，主要迭代過程如下:

其中

得到解x*后，代入誤差方程即可計算所有測量點基于半光程差的面板型面精度:

文獻［5］分別以軸向偏差、徑向偏差、法向偏差、焦距等4種不同的最小量，對拋物面天線測量數據進行了擬合，其中以軸向偏差平方和最小的原則擬合拋物面誤差方程如下:

從計算結果可見采用4種不同最小量的擬合型面精度及轉換參數有一定的差別，同時文獻［7］研究結果表明以軸向偏差作為最小量的擬合算法對參數初值要求不嚴格，且計算速度快.故本文第3節將對比分析采用半光程差和軸向偏差作為最小量對某拋物面天線反射面進行試驗驗證.

3 試驗驗證

3.1 模擬試驗

設有繞z軸旋轉拋物面方程為式(11)，設其焦距f=4800mm，在其型面上按90m間距均勻取m=441 個采樣點記為(xp，yp，zp)T，其中:

將(xp，yp，zp)T按給定參數變換后對上述的每個采樣點增加服從三維正態分布的擾動σ=0.005mm，得到51組存在隨機誤差的旋轉拋物面的模擬采樣數據(Xp，Yp，Zp)T，p=1，2，…，51.按照第2節中介紹的方法計算型面精度，并將其中一組的計算結果列入表1，可以看出在擾動為σ=0.005mm的情況下，采用兩種不同最小量的擬合旋轉參數的相對誤差在0.000 5°量級，平移參數的相互偏差在0.1μm量級，且有最終采用軸向誤差計算的均方差為5.4μm，而采用半光程差計算的均方差為5.2μm.即在σ=0.005mm誤差擾動下，兩者計算精度差別很小.

表1 模擬計算結果對比

3.2 誤差分析

在反射面的實際檢測中，影響反射面精度的因素主要包括測量誤差和制造誤差［8］，兩種誤差最終都耦合到測量點的坐標值上，假設單點坐標的最終耦合誤差分別為Δx，Δy，Δz，根據多元誤差傳播計算公式，可以計算式(12)基于半光程差的單點處數值計算誤差為

同理可計算式(16)基于軸向偏差的單點計算誤差為

假設在Δx=Δy=Δz=σ的等精度條件下測量，其中σ為測量耦合誤差，如代入限制條件式(17)得且一般有 z?f，容易得到 Δδ1＜ σ ＜ Δδ2.故基于半光程差的算法有更好的數值穩定性.

根據誤差方程式(12)和式(16)，采用2.3節介紹方法擬合上述51組模擬采樣點，計算結果如圖4所示，可見在σ=0.005mm的等精度測量模型下，采用半光程差計算的最終均方差值比采用軸向誤差的計算結果小0.2μm左右.圖5表示擾動σ從0.005mm遞增到0.255mm下的采用兩種不同最小量的計算結果曲線，可見采用半光程差計算結果更接近隨機擾動誤差.同時發現當取σ=0.005mm時兩者擬合均方差相差0.19μm，當σ取0.255 mm時兩者擬合均方差相差11.7μm.

模擬試驗表明:采用半光程差作為最小量的擬合準則具有更高的數值計算精度，在 σ=0.255mm誤差擾動下，基于半光程差的算法具有更高的數值計算穩定性.

圖4 σ=0.005mm等精度模擬測量結果

圖5 變σ等精度模擬測量結果

3.3 反射面測量

北京航空航天大學研制的某型號高精度緊縮場，靜區直徑為2.5m，最高工作頻率為40GHz.反射面為旋轉拋物面，采用蜂窩夾層結構由多點柔性模加工而成［8］，反射面理論方程如式(11)，設計焦距 f=4 800 mm，單塊面板尺寸為2112mm×2048mm.采用Leica AT901-B激光跟蹤儀在反射面表面按90mm×90mm間距均勻采集n=5組測量點.

對測量數據分別選取軸向偏差和半光程差按照2.3節所述方法進行擬合處理，鑒于篇幅將其中3組數據的處理結果列于表2和表3.可以看出在實際的反射面精度檢測中，采用軸向偏差及半光程差兩者的擬合結果有一定差別，其中采用半光程差作為最小量擬合的型面擬合均方差值比前者小2μm，實際測量結果符合3.2節誤差分析的結論.

表2 基于軸向偏差反射面測量結果

表3 基于半光程差反射面測量結果

4 結論

本文根據圓錐曲面的軌跡定義及幾何光學特性，研究了基于半光程差的直接計算方法的反射面型面精度檢測方法，以旋轉拋物天線面板為例，通過數值模擬和實際測量，對比分析了采用半光程差作為最小量擬合的數值計算精度及穩定性，得到如下結論:

1)根據圓錐曲面的幾何特征及光學特性，可以得到圓錐反射面的半光程差直接計算方法;

2)誤差分析及模擬試驗表明，采用基于半光程差作為最小量進行曲面擬合，在誤差較大的情況下具有更好的數值計算精度;

3)實際測量表明，基于半光程差的檢測方法能更真實地反映面板的實際精度，在高精度面板的實際生產檢測及整體拼裝調整量計算及精度預估中有實際應用價值.

致 謝 感謝課題組何國瑜教授在論文撰寫過程中給予作者的大力支持.

References)

［1］ Anderson L J，Groth L H.Reflector surface deviations in large parabolic antennas［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1963，11(2):148 －152

［2］ Ruze J.Antenna tolerance theory:a review ［J］.Proceeings of the IEEE，1966，54(4):633 －642

［3］王從思，段寶巖，仇原鷹，等.一種拋物面天線形狀誤差的合理評價方法［J］.上海理工大學學報，2006，28(1):14 －18 Wang Congsi，Duan Baoyan，Qiu Yuanying，et al.Improved evaluation for calculating shape errors of parabolic antennas ［J］.Journal of University of Shanghai for Science and Technology，2006，28(1):14 －18(in Chinese)

［4］王從思，段寶巖，仇原鷹.大型天線變形反射面的新擬合方法［J］.西安電子科技大學學報，2006，32(6):839 －843 Wang Congsi，Duan Baoyan，Qiu Yuanying.A novel method for fitting the distorted reflector of a large antenna ［J］.Journal of Xidian University，2006，32(6):839 －843(in Chinese)

［5］陳繼華，李廣云.離散點拋物面擬合的算法研究［J］.天線技術，2005，35(4):39 －43 Chen Jihua，Li Guangyun.Research on discrete points parabolic fitting algorithm［J］.Radio Engineering of China，2005，35(4):39－43(in Chinese)

［6］ Butler B P，Forbes A B，Harris PM.Algorithms for geometric tolerance assessment［R］.Technical Report DITC 228/94，1994

［7］張曦，胡春華，陳五一.二次曲面擬合與擬合參數不確定度分析［J］.北京航空航天大學學報，2006，32(9):1091 －1095 Zhang Xi，Hu Chunhua，Chen Wuyi.Quadratic surface fitting and uncertainty analysis of fitting parameters［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006，32(9):1091－1095(in Chinese)

［8］周賢賓，陳連峰，李東升.反射器夾層面板精密成形原理［J］.北京航空航天大學學報，2004，30(4):296 －300 Zhou Xianbin，Chen Lianfeng，Li Dongsheng.Principle of precision forming for sandwich panel of Large antenna reflector［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2004，30(4):296 －300(in Chinese)

(編 輯:李 晶)

Base on semi-optical path difference of antenna reflector surface accuracy detection

Zhou Guofeng Li Xiaoxing

(School of Mechanical Engineering and Automation，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

The selection of minimum value of surface fitting is one of the key technologies refer to the antenna panel surface detection.The antenna surface root-mean-square of semi-optical path difference is an index of antenna surface accuracy.A direct calculation method of semi-optical path difference(OPD)was presented according to the geometric definition of conic surface and its optical properties.The nonlinear least squares curve fitting algorithm based on the semi-optical path difference was described.Employing a parabolic reflector panel as the sample，through simulation and actual measurements，the fitting results were contrastively analyzed while selected axial deviation and semi-optical path difference as minimum value respectively.The experiments verifying the fitting method based on semi-optical path difference is more precision and stability.

semi-optical path difference;conic surface fitting;nonlinear least squares;antenna surface detection

TN 820;TB 921

A

1001-5965(2011)06-0723-05

2010-07-08

北航D2025緊縮場研制項目

周國鋒(1982 －)，男，湖南瀏陽人，博士生，adian@me.buaa.edu.cn.