非完整鏈式系統(tǒng)的全局連續(xù) K指數鎮(zhèn)定

李明軍 馬保離

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

非完整鏈式系統(tǒng)的全局連續(xù) K指數鎮(zhèn)定

李明軍 馬保離

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

為非完整鏈式系統(tǒng)提出了兩種全局連續(xù)反饋控制律,即連續(xù)時變反饋控制律和動態(tài)時不變反饋控制律.第 1種控制律通過引入一個與狀態(tài)初值有關的指數衰減項,來保證控制律的連續(xù)性和漸近性.第 2種控制律通過引入一個可自由設定初值的輔助狀態(tài),來保證系統(tǒng)的可控性以及控制律的連續(xù)性和漸近性.這兩種控制律可以保證系統(tǒng)所有狀態(tài)以指數速度漸近地、連續(xù)地收斂到原點,克服了以往控制律不能同時具有連續(xù)性、漸近性和指數收斂速度的缺陷.所得控制律應用于移動機器人系統(tǒng)和一個 4維鏈式系統(tǒng)的鎮(zhèn)定,仿真結果表明:狀態(tài)軌跡和控制軌跡的光滑度和收斂速度都要優(yōu)于以往控制律.

非完整鏈式系統(tǒng);全局 K指數鎮(zhèn)定;連續(xù)時變控制;動態(tài)反饋控制;移動機器人

非完整鏈式系統(tǒng)的控制是近年來非線性控制領域的熱點問題,其原因有兩點:①很多帶速度約束的實際機械系統(tǒng)可以通過變換局部地或全局地轉換成非完整鏈式系統(tǒng)[1];②非完整鏈式系統(tǒng)不滿足文獻[2]中的必要條件,無法用靜態(tài)連續(xù)狀態(tài)反饋對其進行漸近穩(wěn)定.

為此,人們先后設計出不少控制方案.一種是時變反饋控制律.文獻[3]首次提出光滑時變反饋控制方法,并將其用于鏈式系統(tǒng).文獻[4]證明了無漂可控系統(tǒng)能夠通過光滑時變反饋達到漸近穩(wěn)定,文獻[5-6]對多輸入鏈式系統(tǒng)使用了時變反饋控制,但是文獻[4-6]的收斂速度僅為多項式.文獻[7]為鏈式系統(tǒng)提出的不連續(xù)時變控制律獲得了全局 K指數穩(wěn)定性,但它依賴于預定義時間點集和高頻振蕩函數.為獲得具有指數收斂速度的光滑時變控制律,文獻[8-9]分別為移動機器人運動學模型和鏈式系統(tǒng)引入指數衰減項,文獻[10-11]分別為鏈式系統(tǒng)和高階鏈式系統(tǒng)引入輔助狀態(tài).文獻[12]為鏈式系統(tǒng)提出動態(tài)級聯反饋線性化方法,獲得了漸近穩(wěn)定性,但未討論收斂速度.文獻[13]獲得了鏈式系統(tǒng)的全局一致漸近穩(wěn)定性,但未達到指數收斂速度.

另一種方法是不連續(xù)時不變控制方法.文獻[14]將 σ-過程運用于鏈式系統(tǒng),首次獲得了全局K指數穩(wěn)定,但控制律不連續(xù).文獻[15-16]將σ-過程運用于不確定性鏈式系統(tǒng),獲得了全局漸近穩(wěn)定性,但是沒有達到指數收斂速度.文獻[17]提出了一種不連續(xù)非正則反饋變換用于鏈式系統(tǒng),獲得了指數收斂速度,但不是漸近穩(wěn)定的.

在文獻[9-10]的基礎上,本文提出了兩種全局連續(xù)時變控制律,同時獲得了連續(xù)性、漸近穩(wěn)定性和指數收斂速度.

1 概念和引理

則稱系統(tǒng)為全局 K指數穩(wěn)定的.

與指數調節(jié)不同,K指數穩(wěn)定具有優(yōu)良特性:“初始狀態(tài)離原點越近,整個軌跡也離原點越近”[14].

引理 1 如果 n階矩陣 A的所有特征值的實部小于 -a(a＞0),則系統(tǒng)是全局K指數穩(wěn)定的,其中 ξ∈Rn,‖α(t)‖ ≤α0(‖ξ(0)‖ )e-bt,α0(· )是 K類函數,a＞b＞0.

證明 易知 Lyapunov方程:

有唯一正定對稱解陣 P.定義 Lyapunov函數 V=ξTPξ,則有 μ1‖ ξ‖2≤V≤μ2‖ ξ‖2,其中 μ1和 μ2分別是 P的最小、最大特征值.·V滿足:

證明 易知 Lyapunov方程:

有唯一正定對稱解陣 P.定義 Lyapunov函數 V=ξTPξ,則有 μ1‖ ξ‖2≤V≤μ2‖ ξ‖2,其中 μ1和 μ2分別是 P的最小、最大特征值.V的時間導數為

2 連續(xù)時變狀態(tài)反饋

考慮非完整單鏈系統(tǒng):

其中,n＞2;X=[x1,…,xn]T為狀態(tài);u1和 u2為控制輸入.式(1)的全局連續(xù)時變 K指數鎮(zhèn)定問題可以敘述為:設計連續(xù)控制律 u1(X,t)和u2(X,t),使得式(1)是全局 K指數穩(wěn)定的.

引理 3 對于式(1),控制律:

使得狀態(tài) x1(t)指數收斂到原點,其中 α(t)=α0(‖X(0)‖)e-λ1t;k1＞λ1＞0;α0(· )是某個 K類函數.

對于閉環(huán)子系統(tǒng) x·1=-k1x1+α(t),由線性系統(tǒng)理論可知,當 X(0)≠0時,有

定義向量:

當 X(0)≠0時,引入如下坐標變換和控制輸入:

其中,T(α)=diag(1,1/α,…,1/αn-2)為變換陣;K=[k2,…,kn]T為反饋系數.對式(5)兩邊進行微分,并利用式(1)和式(3),可得到如下閉環(huán)系統(tǒng):

其中

定理 1 選擇 k1＞λ1＞0,選擇 K使得 A1-B1K的所有特征值的實部小于 -k(k＞0),并令,則在式(2)和式(8)

作用下,式(1)是全局 K指數穩(wěn)定的.

證明

1)顯然,u1是連續(xù)的.易知:

其中,i=3,4,…,n,于是

因此 u2是連續(xù)的.

2)由式 (2)和式(8)可知,當 X(0)=0時,有u1(t)≡u2(t)≡0.結合式(1),可知 X(t)≡0.

由式(5)可知:

將式(9)～式(11)代入式(12),可得

由 α0的定義式可知是的 K類函數,且

定義函數:

因 0＜ε＜1/(n-2),故 κ2(· )是 K類函數.將κ2(· )和式 (14)代入式(13),即有

由引理 3和式(15)可知,式(1)的整個軌跡滿足:

其中,κ3(·)=κ1(·)+κ2(·)是 K類函數.

證畢

3 動態(tài)時不變狀態(tài)反饋

文獻[10]為式(1)添加輔助狀態(tài) x0,使得x·0=x1,并設計控制律 u1=-k1x1-k0x0使得子系統(tǒng)(x0,x1)指數收斂到原點.然后提取慢變模態(tài)e-bt(b＞0),用該模態(tài)施加光滑可逆的 σ-過程,得到帶指數衰減項的線性擾動系統(tǒng),再設計光滑時變控制律 u2,使得其他狀態(tài)(x2,…,xn)指數收斂到原點.與文獻[9]類似,文獻[10]沒有獲得 K指數穩(wěn)定性.改進措施就是用狀態(tài) x0和 x1的某個組合對其他狀態(tài)施加 σ-過程,使得狀態(tài)漸近地指數收斂到原點.這種改進的代價就是控制律 u2將僅僅是連續(xù)的,而不是光滑的.

式(1)的全局動態(tài)時不變狀態(tài)反饋 K指數鎮(zhèn)定問題可敘述為:設計連續(xù)動態(tài)反饋控制律u1(X,x0)和 u2(X,x0),使得式(1)是全局 K指數穩(wěn)定的.

引理 4 引入動態(tài)狀態(tài)反饋:

其中,x0為輔助狀態(tài);,則閉環(huán)軌跡(x0(t),x1(t))和控制輸入 u1(t)將指數收斂到原點.

證明 將式(16)代入式(1),可得閉環(huán)系統(tǒng):

設該系統(tǒng)的特征值被配置為 -λ1,-λ2(0＜λ1＜λ2).式(17)是引理 1的特例,故有

顯然,(x0(t),x1(t))和 u1(t)是指數收斂的.證畢

選取狀態(tài)(x0(t),x1(t))的如下組合:

根據式(17)的解的關系可得

式中

式中

與第 2節(jié)的控制方案類似,根據式(4)定義向量 x和 y,當 X(0)≠0時,根據式(5)和式(6)引入 y=T(α)x和 u2=-Ky,則由式 (1)和式(20)可得閉環(huán)系統(tǒng):

其中,A2,B2和 L2的形式與上文定義的 A1,B1和L1完全一樣,但是 A2中的 δ0和 L2(t)中的 δ1(t)由式(21)定義.

定理 2 按照引理 4選擇 k1和 k0,選擇 K使得 A2-B2K的所有特征值的實部小于 -k(k＞(n-2)λ1),并按照下式輔助狀態(tài)的初值:

其中,0＜ε＜1/(n-2),則在式(16)和式(24)

作用下,式(1)是全局 K指數穩(wěn)定的.

證明

1)同定理 1的 1).

2)由式(16)和式(24)可知,當 X(0)=0時,有 u1(t)≡u2(t)≡0,因此有 X(t)≡0.

3)將式(23)代入式(18),可得

4)假設 X(0)≠0.由式(23)可知:

由式(19)和式(23)可知

故‖x(0)‖ |α0|n-2的上界是‖X(0)‖的 K類函數κ5(r)

利用式(23),可得

定義函數:

因 0＜ε＜1/(n-2),故 κ6(· )是 K類函數.將κ6(· )和式 (28)代入式(27),可得

由式(25)和式(29)可知,系統(tǒng)的整個軌跡滿足:

其中,κ7(·)=κ4(·)+κ6(·)是 K類函數.

證畢

4 仿 真

4.1 連續(xù)時變狀態(tài)反饋

使用文獻[9]的控制律和初始狀態(tài)(x,y,θ)=(1,-1,π/4)和(1,-1,π/4)/100,仿真結果如圖 1所示.由圖 1可見,當初始狀態(tài)各分量絕對值縮為1/100時,角度 θ的振幅幾乎沒變.這說明文獻[9]的控制律的局部特性不佳,即當初始狀態(tài)非常靠近原點的時候,角度 θ仍然需要大幅度的改變之后才能回歸原點.

圖 1 文獻[9]的仿真結果

針對兩個初始狀態(tài)(1,-1,π/4)和(1,-1,π/4)/100,使用本文的控制律,結果如圖 2所示.由圖 2可見,當初始狀態(tài)各分量絕對值縮為1/100時,各分量的振幅隨之縮為 1/10左右.這說明本文控制律的局部特性優(yōu)于文獻[9],即初始狀態(tài)越靠近原點,只需要越少的調整,就能鎮(zhèn)定到原點.

圖 2 本文第1個控制方案的仿真結果

4.2 動態(tài)時不變狀態(tài)反饋

文獻[10]針對 4維鏈式系統(tǒng)進行了仿真,初始狀態(tài)為(x1,x2,x3,x4)=(0,-1,0.5,0.5),輔助狀態(tài) x0的初值為 x0=2,仿真結果如圖 3a所示.然后將初始狀態(tài)改為(0,-1,0.5,0.5)/100,但初值 x0=2不變,仿真結果如圖 3b所示.由圖 3可見,當初始狀態(tài)各分量絕對值縮為 1/100時,分量 x1的振幅幾乎沒變.這說明文獻[10]的控制律的局部特性不佳,即當初始狀態(tài)非常靠近原點的時候,x1仍然需要大幅度的改變之后才能回歸原點.

針對兩個初始狀態(tài)(0,-1,0.5,0.5)和(0,-1,0.5,0.5)/100,使用本文的控制律,仿真結果如圖 4所示.由圖 4可見,當初始狀態(tài)各分量絕對值縮為 1/100時,各分量的振幅隨之縮為 1/3左右.這說明本文控制律的局部特性優(yōu)于文獻[10],即初始狀態(tài)越是靠近原點,只需要越少的調整,就能鎮(zhèn)定到原點.

圖 3 文獻[10]的仿真結果

圖 4 本文第2個控制方案的仿真結果

5 結束語

針對非完整鏈式系統(tǒng),提出了兩種同時具有連續(xù)性、漸近性和指數收斂速度的反饋控制律,使得閉環(huán)系統(tǒng)被全局鎮(zhèn)定,改善了前人的研究成果.

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(編 輯:趙海容)

Global K-exponential stabilization of nonholonomic chained system s by continuous feedback

Li Mingjun Ma Baoli

(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

Two global continuous feedback control laws were proposed to stabilize nonholonomic chained systems,namely,the continuous time-varying feedback control law and the dynamic time-invariant feedback control law.The first control law achieved continuity and asymptotic ality by using an exponential decay term related to the initial state values,while the second achieved controllability,continuity and asymptotic ality by setting the initial value of the introduced assistant state variable.The two control laws could guarantee that all the states converged to zero continuously and asymptotically at exponential rates,which overcame the shortcomings that the previous control laws could notachieve continuity,asymptotic ality and exponential rates at the same time.The proposed control laws are app lied to the mobile robot and a four-dimension chained system.The simulation results show that the smoothness and convergence rates of the state/control trajectories are better than the previous works.

nonholonomic chained systems;global K-exponential stabilization;continuous time-varying control;dynamic feedback control;mobile robots

TP 13

A

1001-5965(2011)04-0452-06

2010-05-11

國家自然科學基金資助項目(60874012)

李明軍(1981-),男,湖南永興人,博士生,lim ingjun_8888@163.com.