索網結構初始平衡狀態的優化設計*

杜敬利 保宏 崔傳貞

(西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室，陜西西安710071)

采用優化策略進行求解，對于整個索網系統，為了使各控制節點盡量平衡在預定的位置上，可以得到如下的優化模型:

我國科學家提出的利用Karst盆地構建500 m口徑大射電望遠鏡的計劃正在進行中，利用盆地地形鋪設主動反射面是該計劃中極具創造性的部分.原方案中的主動反射面為機械分塊式結構，造價很高.在已有的可行性研究基礎上，文獻［1］中提出了索網主動反射面方案，采用單層索網結構作為反射面板的支撐系統.設計要求索網反射面的初始狀態平衡在半徑R=300 m的觀測球面上;系統觀測時，通過改變調整索的長度(或拉力)，使反射面的照明部分能夠實時地調整成瞬時拋物面，從而可用傳統的點饋源照明技術實現寬帶觀測.與分塊反射面方案相比［2］，索網主動反射面中控制節點的數目將大幅減少，從而極大地降低了工程造價.

文獻［1］中每個控制節點都采用3根調整索進行調整，故可在一定范圍內將控制節點定位到空間的任意位置.但這種設計方案需要精確地協調3根調整索的長度，微小的索長誤差都會導致調整索的牽引力發生顯著變化.此外，如果牽引力未進行適當規劃還會導致索網各處的應力分布差距很大，不但會降低系統剛度，而且增加了調整難度.因此，文中在每個節點處均采用單根調整索進行調整，在與調整索垂直的方向上節點運動不受控制，這樣有利于使索網系統平衡在一個應力分布較為均勻的狀態.

索網結構只有在具有一定應力的情況下才能夠承受外部載荷，因此必須確定一個具有某種預應力的初始平衡狀態，這個過程通常稱為找形［3］或初始平衡構型分析［4］.在大型現代化的索網設計中，提供一種高效、精確的初始平衡狀態的分析方法是至關重要的.索網結構初始平衡狀態確定時的常用方法是力密度法［5］，但它僅適用于線性索單元;另一種方法是動態松弛法［6］，可完成非線性結構的平衡態分析，該方法的主要思想是將靜力學問題轉化為動力學問題，故求解速度較慢.文獻［7］中通過對索網結構的平衡矩陣進行奇異值分解來完成結構的平衡狀態分析，但也只能用于線性索桿單元.也有一些學者采用優化方法進行求解［8］，但由于缺乏必要的敏度信息，故求解速度慢，計算量大.

索網結構分析時，常用的有限元法通常使用大量的索桿單元模擬單根柔索，計算量很大，并且容易出現數值收斂問題.為此，文中將使用精確的彈性懸鏈線解析表達式來完成單根柔索的力學分析以克服有限元法的不足.同時將結合索網反射面的具體設計要求，通過優化策略解決索網結構初始平衡狀態的確定問題，從而可以在給定索網形狀的前提下求解索段的初始長度及應力.

1 索網主動反射面的初始狀態

大射電望遠鏡中的主動反射面結構如圖1所示，其中索網索段的交匯點稱為控制節點，由調整索與地基相連，其長度(或拉力)決定了反射面的形狀.初始平衡狀態分析的目的就是尋找恰當的網面索段長度(對應特定的應力狀態)和牽引索張力，使得整個網面可以在給定位置處于平衡.

圖1 索網主動反射面示意圖Fig.1 Schematic plan of active cable-net reflector

索網主動反射面初始狀態的形狀是已知的，分析的目標是精確確定索段的初始長度和對應的應力狀態以及相應的牽引力，使得索網的控制節點能夠盡可能地平衡在指定位置.同時，索網的應力不能太大，以免索段發生破壞;而且，為避免結構剛度過低，牽引索也應具有一定的拉力.

由于反射面在工作狀態下的形狀精度要求很高，加之結構體系十分龐大，因此該結構初始狀態的確定成為工程設計中的技術難點之一.

1.1 球反射面網面形狀的確定

原型設計時采用初始六環三向索網，將球反射面劃分為6個對稱扇形曲面，網面的構成包括沿徑向的主索、環向副索和連接內外層的次索，它們將球面網面劃分成近似均勻的三角形網格，其俯視圖如圖2所示.這種形式的索網加工不太復雜，索網應力也比較均勻，整體性能較好.

圖2 索網主動反射面俯視圖Fig.2 Top view of active cable-net reflector

1.2 索段初始長度及應力狀態的確定

索段初始長度的精確確定是保證索網張拉成形后應力狀態滿足設計要求的關鍵，為此，分析時可以將索網中各索段的初始長度作為設計變量.考慮到初始長度與受力后的實際長度及應力狀態是相互對應的，且將受力后的實際長度作為設計變量分析時更加方便，故文中將索段的實際長度作為設計變量.假設索網中共有n根索段和m個控制節點，記索段的實際長度為

平衡時索網的應力狀態為L的函數.

文獻［9］中指出懸索的最大應力不應該超過許用應力(［σ］)的60%.因此認為平衡時索段c(c= 1，2，…，n)的應力σc應滿足

式中，ˉσ為允許的應力上限值.

1.3 調整索張力的確定

每個控制節點上均采用單根調整索垂直網面向外牽引.為保證索網具有足夠的剛度，牽引力應達到一定的強度.設牽引力Ti表示連接控制節點i的調整索的張力，則Ti應滿足

2 初始平衡狀態的優化模型

初始平衡時控制節點在索網內力和牽引索張力共同作用下的合力應為零.選取索網中的某一控制節點i(i=1，2，…，m)，共有Ni根索段匯交于該節點，調整索將節點i與地基上的A點相連，由A指向i的單位向量記為si，如圖3所示.

圖3 索網中的某一控制節點iFig.3 A control node i of the cable-net structure

設交匯于i點的索段c(c=1，2，…，Ni)的兩端節點分別為(其中一個為i)，由節點指向的向量在水平面內的投影單位化后記為a，同時c將沿坐標系Z軸方向的單位向量記為z.索段c對控制節點i的作用力可以表示為

式中，Hc為索段c的水平張力，分別為索段c的I和J端所受的豎直向上的拉力.于是，索網對該節點i的合力沿si方向的投影Pi可以表示為

根據平衡關系，有Ti+Pi=0.而垂直于si方向的分量，即橫向不平衡力Qi，可以表示為

為避免開方運算，對Qi的模取平方有

考慮到柔索的最大張力一般發生在索端節點而不是中間某點，故僅將索段位置較高的端點對應的張力進行校驗即可.為避免開方運算，將式(2)兩端平方，得

式中，

Ac為懸索c的橫截面積.

這樣，為了使節點i保持平衡，應滿足

采用優化策略進行求解，對于整個索網系統，為了使各控制節點盡量平衡在預定的位置上，可以得到如下的優化模型:

3 柔索靜力學模型與敏度分析

3.1 柔索的靜力學模型

索網結構分析時選擇恰當的柔索力學模型是非常重要的.柔索受力后會伸長，并且呈現出高度的非線性特性，在長度上出現0.1%的誤差將會導致柔索張力的偏差在50%以上［10］，為此，分析時使用彈性懸鏈線解析表達式以考慮索段的彈性變形.

假設索段是完全柔性的，無扭轉剛度且只能承受拉應力，所用材料滿足虎克定律.考慮如圖4所示的柔索在自重作用下保持平衡，其彈性模量為E，橫截面積為A，變形前單位長度的重量，即索的線密度為w0，初始長度為Lu，受力后的實際索長為L.定義重力的方向沿Z軸負向.

圖4 柔索在自重下作用的平衡Fig.4 Equilibrium state of a cable with self-weight

整根柔索的水平張力保持不變，設為H，在兩個端點I和J處分別受到豎直向上的拉力FZ，I和FZ，J.設端點I和J之間的水平跨距為l，豎直方向的高度差為h，此時柔索各物理量之間滿足如下關系［11-12］:

式中，

當柔索兩端固定時，h、l均為已知量，可以得到實際索長L與η之間的非線性函數:

將式(16)對η求導得

這樣，應用單變量的 Newton-Raphson方法求解式(16)就可以得到與給定索長L對應的η，進而可由式(13)求得柔索的水平張力H.索段端點I和J處豎直方向的作用力FZ，I和FZ，J可表示為

3.2 敏度信息的推導

由式(16)可得η關于L的導數為

對式(18)求導可得

將式(4)對索段c的實際索長Lc求導可得

將式(7)對Lc求導可得

將式(6)對Lc求導可得

將式(8)對索長Lc求導，得

模型中各量及其梯度信息均已得到，采用序列二次規劃(SQP)法［13］優化即可獲得索段的實際長度L及其對應的索端張力，代入式(14)便可獲得各索段的初始長度.

4 數值算例分析

該算例以50m模型中的相應參數為依據，要求索網節點不能太多以便于建造，同時還要具有一定數目的節點，以便能夠直觀地觀察到瞬時拋物面從一個位置變化到另一位置.為此，將反射面按1∶10縮小，所用參數為:基本球面半徑R=30m，口徑D= 52m，網面環數Nm=6.索網中各索段的物理參數均相同:彈性模量E=2.058×1011Pa，橫截面積A= 5.539×10－5m2，密度ρ=9.521021×103kg/m3.

在基本球面球心處建立直角坐標系O-XYZ，Z軸豎直向上，初始設計時假設各環主索對應的圓心角都相等，為Δθ=θ/(2Nm)，其中θ=120°.這樣，對于第e環的索段，對應的節點構成邊數為6e的正多邊形，其半徑為re=Rsin(eΔθ).

根據索網的對稱性進行變量歸并，其中的主索將索網分割成6個對稱部分，每一部分中索長和調整索牽引力的歸并如圖5所示，共有30個獨立的索長變量(圖5中1－30)和12個獨立的調整索牽引力變量(圖5中(1)－(12)).

圖5 索長及牽引力的變量歸并Fig.5 Classification of variables for cable length and drag force

優化時取Ti=150 N，［σ］=150 MPa，初始值取實際索長為相應弦長的1.0001倍.目標函數的迭代過程如圖6所示，經過75次迭代后達到291.87N2，此時控制節點上的最大橫向不平衡力為3.8N.靜力學分析平衡后索網節點的最大位移不超過0.62mm，完全滿足精度要求.

圖6 目標函數的收斂過程Fig.6 Convergence history of objective function

優化后的索段初始長度在表1中列出，對應的索網張力分布如圖7所示，此時各調整索牽引力在圖8中給出，所有索段的應力均未達到規定的上限值.圖7中索網索段的最大張力(1139.9 N)是最小張力(231.2N)的4.93倍，分別出現在索段1和索段6上，這是由于在網面的不同位置，三角形網格的形狀相差較大，從而導致索力分布不均勻.為解決這一問題，可以將柔索張力的均勻性也作為目標函數同時進行優化.

表1 索段的初始長度Table 1 Initial length of cable segment

圖7 索網的索段張力分布Fig.7 Tension distribution of cable segment in cable-net structure

圖8 調整索的牽引力Fig.8 Drag force of adjustable cables

要使調整索具有一定的拉力，索網應具有一定的應力.從圖7中可以看出，索網均處于張緊狀態，索段6和26的張力最小，因為在相同的張力作用下，索段26沿X方向的投影要比索段13大得多.

圖8中調整索牽引力的差別不大，最大牽引力(502.90N)是最小牽引力(185.36N)的2.71倍，分別作用在節點1和節點5上.索引力的平均值為312.1N.

對比表1中的索段1和6，二者對應的弦長相等，索段1比索段6的初始長度僅減小了0.045%，但張力卻增加了493.02%.這表明此時結構處于高度非線性狀態，初始長度的精確確定是保證索網具有特定應力狀態的關鍵.

5 結語

空間索網應力狀態的確定是大型索網設計中的一個難點.文中建立了確定索網反射面初始平衡狀態的優化模型，并推導出了優化所需的敏度信息.數值算例表明，采用該優化方法能夠快速完成索網結構初始平衡狀態的求解.

優化目標中的節點不平衡力是針對索段逐個疊加求解的，故可有效避免因結構整體剛度矩陣奇異而帶來的數值收斂問題.這樣，使用文中方法總可以得到最接近于給定形狀的結構構型，同時還可進一步將索網應力狀態的均勻性作為目標函數，從而得到更為理想的平衡狀態.

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