理想模型不宜運用的場景

韓靜波

（浙江省路橋中學 浙江 臺州 318050）

物理習題一般以理想模型開展分析，以理想模型擬合現實場景，分析解決實際問題．但有些場景會出現按照理想模型分析得出的結論和實際情況不符的矛盾．這是由于理想模型的使用是有其局限性和適用范圍的．這類問題場景和理想模型的理想化條件本身存在沖突，因此不能以理想模型來求解．但此類問題場景屢見不鮮，甚至在高考題中也曾出現，導致師生分析時糾纏不清、混亂致錯．如何分析和對待這類問題值得探討．通過列舉一些常見的理想模型不宜運用的場景，以引起大家關注模型的適用條件．

1 彈簧模型

【例1】（1987年高考廣東卷試題）如圖1，一重物m懸掛在彈簧下，再用一細繩把彈簧固定在天花板上．整個裝置平衡靜止后，用火燒斷細繩．在繩斷開的瞬間，重物m的加速度a（忽略彈簧質量和空氣阻力）是

圖1

A．a＜g，方向向下

B．a＝g，方向向下

C．a＞g，方向向下

D．a＜g，方向向上

答案為選項B．

當上面的細繩被燒斷的瞬間，細繩對彈簧的拉力瞬間消失，彈簧的上端失去約束，彈簧瞬間恢復原狀．下面重物m不再受彈力作用．所以燒斷細繩的瞬間，重物m只受重力，其加速度為g，方向向下［1］．

【例2】（1999年高考上海卷試題）如圖2所示，豎直光滑桿上套有一個小球和兩根彈簧，兩彈簧的一端各與小球相連，另一端分別用銷釘M，N固定于桿上，小球處于靜止狀態．設拔去銷釘M瞬間，小球的加速度的大小為12 m／s2．若不拔去銷釘M而拔去銷釘N瞬間，小球的加速度可能是（取g＝10 m／s2）

A．22 m／s2，豎直向上

B．22 m／s2，豎直向下

C．2 m／s2，豎直向上

D．2 m／s2，豎直向下

圖2

答案為選項B和C．

在拔去銷釘M的瞬間，對于上面的彈簧上端由于失去約束，彈簧發生長度突變，即突然恢復原狀，彈力變為零．而小球由于有一定質量，具有慣性，瞬間還停留在原來的位置；下面的彈簧兩端有外部條件限制，沒有條件發生長度突變，所以彈力不變．拔去銷釘N瞬間道理相同．

圖3

【例3】（2010年高考全國卷Ⅰ）如圖3所示，輕彈簧上端與一質量為m的木塊1相連，下端與另一質量為M的木塊2相連，整個系統置于水平放置的光滑木板上，并處于靜止狀態．現將木板沿水平方向突然抽出，設抽出后的瞬間，木塊1，2的加速度大小分別為a1，a2．重力加速度大小為g．則有

A．a1＝g，a2＝g

B．a1＝0，a2＝g

C．a1＝0，a2＝

D．a1＝g，a2＝

答案為選項C．這是關于彈簧的彈力不能突變比較常見的一道題．

一般來說，只有當輕質彈簧兩端同時受其他物體（或力）約束時，彈簧才不會發生突變．在高中階段，輕質彈簧是不計彈簧質量的理想化模型，這在現實中是不存在的．因此關于此類理想彈簧的習題場景必須是相對有質量物體而言，才有它的相對不計的理由，而例1和例2已缺失了此先決條件，使得理想化條件被破壞，從而出現了輕彈簧突變的結果．

但筆者認為輕彈簧突變仍是不正確的，由牛頓第二定律F＝ma，由于m0，a∞，彈簧收縮所用的時間t0．而瞬間是t很小很小．這里的矛盾是瞬間是否就已經完成了收縮，能否說正收縮到一半，可否說這個瞬間太短，比很快的收縮時間還短．這里的實質是兩個無窮小量的比較，哪個更小，其實難有定論．物理實際質量哪怕很小也不可能為零，故而收縮肯定需要一定時間，因此瞬間也不應該突變為零．如果這樣分析，則又回到不發生突變的結論．通過這段翻來覆去的推理，筆者要闡發的意思是，這些情況下理想化條件已經出現問題，繼續進行的討論雖然符合數學邏輯，但已經不符合物理實際．在這樣的前提下討論這類習題是沒有意義的．

可以從兩個角度去對待這種習題：學生初學階段避免出現；到一定程度后可以用來討論分析．其目的是以此來認識理想化的適用條件，更加準確地把握物理這門學科理論聯系實際的重要原則，切忌只進行拋棄物理實質的數學推理而得出一些似是而非的結論．

2 光線模型

圖4

【例4】如圖4，水平光線射到一個直角玻璃磚上．畫出光線在兩條直角邊上的折射、反射情況．

這是簡單的習題，但問題是圖4所示的第二條剛好射在直角頂點上的光線會發生怎樣的折射？對此有人認為略向上一點則發生和上面光線一樣的折射和反射；略向下一點則發生和下面光線一樣的折射和反射；而直角位置是空缺的．另外有些人認為這一點光線發生散射．

光線是表示光的傳播方向的直線，光線是一種幾何的抽象，光線是不存在的，因為光是電磁波，可見光波波長為400～700 nm．把光看成線是反映光的直線傳播這一性質的理想化做法，反映這一種性質的光學稱為幾何光學．它研究宏觀層面上關于光的一些規律．實際上光具有波粒二象性，當光通過的狹縫小到1 mm左右時，光的波動性——衍射現象便顯現出來．縫再小下去，光作為波的性質越顯現出來．所以不能還按照光的直線傳播的規律討論光在直角頂點折射、反射問題．

3 單擺模型

【例5】如圖5，細繩拴著一個圓錐形漏斗，其中裝滿沙子，在漏沙子的過程中，擺的周期如何變化？

圖5

答案是周期先長，后短，最后復原成最初的周期．

將此裝置視為單擺，其擺長為頂點到沙漏的重心位置的長度．周期先變大是因為沙子漏出去，重心降低，擺長增長；后變小是因為沙子完全漏出去后，漏斗的重心又回到幾何的中心，擺長恢復為原來的長度．

以上是通常的解釋．其計算結果和實驗結果也相差不大．但這樣處理是不妥的．歷史上在研究擺的重心升降問題時，惠更斯便發現和探討了物體系的重心問題與轉動慣量問題．即考慮到重心變化的單擺已不是單擺，而是復擺．單擺的周期

而復擺的周期是

其中J為擺對軸的轉動慣量，l為復擺質心到轉軸的距離．

即使本題的情況與近似處理為單擺計算結果比較一致，但考慮重心升降是復擺的特性，再處理為單擺，容易造成誤導．

4 質點模型

【例6】2004年雅典奧運會上，“飛人”劉翔勇奪110 m欄世界冠軍．下列說法正確的是

A．劉翔在飛奔的110 m中，可以看成質點

B．教練為了分析劉翔動作要領，可以將其看做質點

C．無論研究什么問題，均不能把劉翔看成質點D．是否將劉翔看作質點，決定于所研究的問題質點是一個理想的物理模型．物體能否看成質點，關鍵要看所研究問題的性質．當物體的大小和形狀對所研究問題的影響可以忽略不計時，可視物體為質點．本題是一個看上去十分基礎的習題，但對于選項A，是否成立卻有爭議．當物體本身的長度遠小于其運動距離時，通常可以看成質點．但在國際比賽中，短跑運動員到達終點的時刻十分接近，國際田聯的規則是：在田徑比賽中，所有賽跑項目參賽者的名次取決于其身體軀干（不包括頭、頸、臂、腿、手或足）抵達終點線后沿垂直面為止時的順序，以先到達者名次列前．通常的比賽都會回放錄像精準分析確定名次，因此運動員是不能看成質點的．同樣的110 m欄比賽，若非大賽將運動員看成質點似乎也沒有關系，可方便問題研究．

為什么同樣的110 m欄，有時候可以看成質點有時候不能，當沒有必要考慮其形狀大小時候就可以看成質點，必須要考慮其形狀大小時就不能看成質點．必要和不必要有時候很清楚，但有時候卻剛好是必要和不必要的過渡階段．因此比較好的處理方式是，避免分析這類不明確的問題．

5 電容模型

對于一些帶電粒子在電場、磁場及復合場中的運動，通?？雌饋頉]有問題，但只要連接成一個循環，就會發現，粒子能量可能無限增大，成了永動機．如圖6所示，平行板電容器在中心處挖一個小孔，裝置置于真空中，電荷不會逃走，可不考慮重力．挖了小孔后的平行板電容器內的電場分布基本不變，裝置固定不動．把帶正電的小球放在A處，在電場加速下到達B點，通過絕緣的光滑軌道C，繞回到A處；再次被加速，每循環一次能量增大一次，屬第一類永動機．永動機是不存在的，這些粒子的能量是從哪里來的呢［2］？

我們通常認為電容器的電場只存在于兩極板之間的狹窄區域，這樣處理是基于電容器內部的電場遠大于外部這一前提，在多數情況下，可簡單處理為外部電場為零．但本問題這樣處理，便出現了能量不斷產生的永動機．實際上電場分布當如圖7所示，電場內部，粒子從A到B，場強較大，路徑較短，電場力對小球起加速作用．而通過弧︵BCA場強雖小，路徑卻長，電場為對小球起減速作用，兩個作用的效果大小相等．電場力對從A－B－C－A的環路積分肯定為零［2］．

圖6

圖7

6 總結

物理模型是物理規律和物理理論賴以建立的基礎．模型不是實際存在的物體，它是實際物體的一種理想化的近似反映，是為了研究問題的方便而進行的科學抽象．它突出了事物的主要特征，抓住了主要因素，忽略了次要因素，使所研究的復雜問題得以簡化，是一種重要的科學研究方法．但模型有其適用的條件，不能離開物理模型的適用條件絕對化地使用．物理學中的某些佯謬和錯誤討論就在于沒有恰當地明確適用條件．

但這類習題經常出現在輔導資料甚至高考題中．在教學中，要讓學生明確理想化是一種重要的科學方法，與真實有一定差距，要注意其適用的范圍和條件．

1 余良術．彈簧的彈力會發生突變嗎？ 物理通報，2008（1）：61～62

2 韓靜波．能量不會憑空產生．物理通報，2008（9）：18～20