“微元法”在物理教學中的運用

■武漢市羅華平名師工作室 趙永紅

“微元法”在物理教學中的運用

■武漢市羅華平名師工作室 趙永紅

新課程要求把學科思想方法滲透貫穿于整個教學過程，物理學有很多特有的思想方法，如理想模型法、控制變量法、微元法、類比法、等效法、對稱法等，這些思想方法在新教材中都有充分的體現，其中“微元法”多次使用。所謂微元法，是指在處理物理問題時，將研究對象或物體的運動過程無限細分成微小的單元，每個單元稱為一個微元，再從中選取一個微元進行研究，最終達到解決整體問題的方法。近年來，“微元法”在物理高考中的常常應用，既說明微元法的重要性，也體現了新課程理念的要求。

一、在教學中深入挖掘教材中的“微元法”素材

1．在物理概念教學中滲透微元法思想

高中《物理》（必修1）課本第16頁對瞬時速度概念界定第一次運用了微元法的思想，文中寫到“為了使描述精確些，可以把△t取得小一些，物體在從t到t+△t這樣一個較小的時間間隔內，運動快慢的差異就小一些，當△t非常非常小時，就可以認為△x/△t表示的是物體在時刻t的瞬時速度”，這里時間非常非常短,也可理解為位移非常非常小，其中滲透了時間微元或位移微元的思想。雖然高中《物理》（必修1）課本第26頁提出瞬時加速度概念和高中《物理》（必修2）課本第56頁做一做中提出瞬時功率概念時，課本沒有再深入討論，但教師如果能夠將這些概念的建立與瞬時速度概念的建立進行類比，對時間進行微元，不僅能讓學生加深對概念的理解，還能為學生再次領會微元法思想提供機會。

2．在物理規律教學中滲透微元法思想

（1）對物理量進行微分再積分求和

高中《物理》（必修1）課本38頁第一次采用了先微分再求和的方法得出勻變速直線運動位移與時間關系的公式。借助v-t圖像中面積代表位移的物理含義，將運動過程劃分為很多很多的小段，很多很多小矩形面積之和就能非常準確的代表物體的位移了，求出梯形面積就得出從0到t這段時間間隔的位移，學生能體會到用“微元法”求變速運動位移的方法。類似的高中《物理》（必修2）課本第62頁探究彈性勢能表達式中，又對如何計算大小不斷變化的彈力做功進行了論述，還提出了讓學生結合F—△x圖像計算彈力所做的功。通過對彈簧伸長量△x進行微元，計算出彈力所做的功，學生可以掌握“微元法”的求解變力做功的方法。高中《物理》（選修3-1）課本第32頁用傳感器觀察電容器的放電過程，教材設計先微分再求和的方法計算電容器帶的電量。教材給了一個電容器放電的I-t圖像，教師引導學生采用微元法的思想，通過對時間進行微元，結合此處面積的含義，學生應該不難得出放電過程中釋放的電荷量。

（2）對物理過程進行微分

高中《物理》（必修2）課本第59頁重力勢能做功研究中，文中指出:“先將整個路徑分為很多的間隔，每一段都很小，可以近似地看做一段傾斜的直線，成功“化曲為直”，設每段小斜線的高度差分別是△h1，△h2，△h3…則對應重力所做的功分別為mg△h1，mg△h2，mg△h3…物體通過整個路徑時重力所做的功，等于重力在每小段上所做功的代數和，即W=mg△h1+mg△h2+mg△h3+…=mgh1-mgh2。”高中《物理》（選修3-1）課本第16頁靜電力做功計算中，文中指出：“我們可以用無數組跟靜電力垂直和平行的折線來逼近曲線ANB”，再次“化曲為直”，求出靜電力所做的功。對運動軌跡的微分為我們理解“在力的方向上的位移”提供思路，這種方法更可遷移到“動生電動勢”及“安培力”中有效長度L的理解中去。高中《物理》（必修2）課本第53頁文中指出:“當力與位移垂直時不做功。”高中《物理》（選修3-1）課本第99頁文中指出:“洛侖茲力不對帶電粒子做功。”這兩個結論同樣是利用微分軌跡得出在每一小段過程中力與位移垂直不做功,然后得出整個過程不做功的結論。

二、在應用中深刻領會微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復雜的物理過程用熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。“微元法”應用可分為兩大類，即“將研究對象微元化”和“將過程微元化”。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，往往可以將曲線轉化為直線，將曲面轉化為平面，將變量轉化為常量，將非理想模型轉化為理想模型，使復雜的問題變得簡單，常選取的微元有長度元△x、面積元△S、體積元△V、質量元△m、電荷元△q、時間元△t。這樣，只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題得到解決。

（1）將物理運動過程微元化

例1.如圖2所示，某個力F=10N作用于半徑R=1m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向保持任何時刻均與作用點的切線一致，則轉動一周，這個力F做的總功為多少？?

分析：由于力F的方向與作用點的速度方向一致，因此力F做功不為零，且此力不為恒力。可以考慮把圓周劃分為很多“微元”來研究。如圖所示，取一足夠小的弧長△s為微元，求出力F作用在此弧長過程中做的功，全過程“化曲為直”，等效于將本是曲線的圓周拉直。在這里，力F所做的功相當于力和物體運動路程的乘積。

（2）將物理研究對象微元化

例2.由高壓水槍豎直向上噴出的水柱，將一個質量為m的小鐵盒開口向下倒頂在空中。已知水（密度ρ已知）以恒定速率v0從橫截面積為s的水槍中持續噴出，向上運動并沖擊小鐵盒后速度變為零。求穩定狀態下小鐵盒距水槍口的高度。

解析：由于水的連續流動性，與小鐵盒作用的水在不斷發生變化，但在穩定時，水與小鐵盒的相互作用力F的大小是不變的，設水與鐵盒作用前速率為v，對鐵盒由力的平衡可得

F=mg…(1)

對水可選取△t時間內噴出的質量△m為研究對象，有

△m=ρsv△t…(2)

這部分水與鐵盒作用前后動量變化大小為，

△p=△mv=ρSv2△t…(3)

小水柱的重力△mg忽略不計，據動量定理F=△p/△t=ρSv2…(4)

將“微元法”巧妙合理的引入物理解題中，在求變力做功的問題上、在求解瞬時速度和電磁感應綜合應用等方面都有著很廣的運用，雖然高中生對微元法的學習可能會感到困難，但只要教師利用好教材所提供的素材，在平常的教學中把學生的探究活動開展好，潛移默化、逐步引導，拓展學生的思維，一定會讓學生體會到“微元”思想的奧妙，最終掌握“微元”思想方法。

責任編輯 王愛民