“微元法”在物理教學(xué)中的運(yùn)用

■武漢市羅華平名師工作室 趙永紅

“微元法”在物理教學(xué)中的運(yùn)用

■武漢市羅華平名師工作室 趙永紅

新課程要求把學(xué)科思想方法滲透貫穿于整個(gè)教學(xué)過程，物理學(xué)有很多特有的思想方法，如理想模型法、控制變量法、微元法、類比法、等效法、對(duì)稱法等，這些思想方法在新教材中都有充分的體現(xiàn)，其中“微元法”多次使用。所謂微元法，是指在處理物理問題時(shí)，將研究對(duì)象或物體的運(yùn)動(dòng)過程無限細(xì)分成微小的單元，每個(gè)單元稱為一個(gè)微元，再從中選取一個(gè)微元進(jìn)行研究，最終達(dá)到解決整體問題的方法。近年來，“微元法”在物理高考中的常常應(yīng)用，既說明微元法的重要性，也體現(xiàn)了新課程理念的要求。

一、在教學(xué)中深入挖掘教材中的“微元法”素材

1．在物理概念教學(xué)中滲透微元法思想

高中《物理》（必修1）課本第16頁對(duì)瞬時(shí)速度概念界定第一次運(yùn)用了微元法的思想，文中寫到“為了使描述精確些，可以把△t取得小一些，物體在從t到t+△t這樣一個(gè)較小的時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異就小一些，當(dāng)△t非常非常小時(shí)，就可以認(rèn)為△x/△t表示的是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度”，這里時(shí)間非常非常短,也可理解為位移非常非常小，其中滲透了時(shí)間微元或位移微元的思想。雖然高中《物理》（必修1）課本第26頁提出瞬時(shí)加速度概念和高中《物理》（必修2）課本第56頁做一做中提出瞬時(shí)功率概念時(shí)，課本沒有再深入討論，但教師如果能夠?qū)⑦@些概念的建立與瞬時(shí)速度概念的建立進(jìn)行類比，對(duì)時(shí)間進(jìn)行微元，不僅能讓學(xué)生加深對(duì)概念的理解，還能為學(xué)生再次領(lǐng)會(huì)微元法思想提供機(jī)會(huì)。

2．在物理規(guī)律教學(xué)中滲透微元法思想

（1）對(duì)物理量進(jìn)行微分再積分求和

高中《物理》（必修1）課本38頁第一次采用了先微分再求和的方法得出勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間關(guān)系的公式。借助v-t圖像中面積代表位移的物理含義，將運(yùn)動(dòng)過程劃分為很多很多的小段，很多很多小矩形面積之和就能非常準(zhǔn)確的代表物體的位移了，求出梯形面積就得出從0到t這段時(shí)間間隔的位移，學(xué)生能體會(huì)到用“微元法”求變速運(yùn)動(dòng)位移的方法。類似的高中《物理》（必修2）課本第62頁探究彈性勢能表達(dá)式中，又對(duì)如何計(jì)算大小不斷變化的彈力做功進(jìn)行了論述，還提出了讓學(xué)生結(jié)合F—△x圖像計(jì)算彈力所做的功。通過對(duì)彈簧伸長量△x進(jìn)行微元，計(jì)算出彈力所做的功，學(xué)生可以掌握“微元法”的求解變力做功的方法。高中《物理》（選修3-1）課本第32頁用傳感器觀察電容器的放電過程，教材設(shè)計(jì)先微分再求和的方法計(jì)算電容器帶的電量。教材給了一個(gè)電容器放電的I-t圖像，教師引導(dǎo)學(xué)生采用微元法的思想，通過對(duì)時(shí)間進(jìn)行微元，結(jié)合此處面積的含義，學(xué)生應(yīng)該不難得出放電過程中釋放的電荷量。

（2）對(duì)物理過程進(jìn)行微分

高中《物理》（必修2）課本第59頁重力勢能做功研究中，文中指出:“先將整個(gè)路徑分為很多的間隔，每一段都很小，可以近似地看做一段傾斜的直線，成功“化曲為直”，設(shè)每段小斜線的高度差分別是△h1，△h2，△h3…則對(duì)應(yīng)重力所做的功分別為mg△h1，mg△h2，mg△h3…物體通過整個(gè)路徑時(shí)重力所做的功，等于重力在每小段上所做功的代數(shù)和，即W=mg△h1+mg△h2+mg△h3+…=mgh1-mgh2。”高中《物理》（選修3-1）課本第16頁靜電力做功計(jì)算中，文中指出：“我們可以用無數(shù)組跟靜電力垂直和平行的折線來逼近曲線ANB”，再次“化曲為直”，求出靜電力所做的功。對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的微分為我們理解“在力的方向上的位移”提供思路，這種方法更可遷移到“動(dòng)生電動(dòng)勢”及“安培力”中有效長度L的理解中去。高中《物理》（必修2）課本第53頁文中指出:“當(dāng)力與位移垂直時(shí)不做功。”高中《物理》（選修3-1）課本第99頁文中指出:“洛侖茲力不對(duì)帶電粒子做功。”這兩個(gè)結(jié)論同樣是利用微分軌跡得出在每一小段過程中力與位移垂直不做功,然后得出整個(gè)過程不做功的結(jié)論。

二、在應(yīng)用中深刻領(lǐng)會(huì)微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。“微元法”應(yīng)用可分為兩大類，即“將研究對(duì)象微元化”和“將過程微元化”。在使用微元法處理問題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，往往可以將曲線轉(zhuǎn)化為直線，將曲面轉(zhuǎn)化為平面，將變量轉(zhuǎn)化為常量，將非理想模型轉(zhuǎn)化為理想模型，使復(fù)雜的問題變得簡單，常選取的微元有長度元△x、面積元△S、體積元△V、質(zhì)量元△m、電荷元△q、時(shí)間元△t。這樣，只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題得到解決。

（1）將物理運(yùn)動(dòng)過程微元化

例1.如圖2所示，某個(gè)力F=10N作用于半徑R=1m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向保持任何時(shí)刻均與作用點(diǎn)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周，這個(gè)力F做的總功為多少？?

分析：由于力F的方向與作用點(diǎn)的速度方向一致，因此力F做功不為零，且此力不為恒力。可以考慮把圓周劃分為很多“微元”來研究。如圖所示，取一足夠小的弧長△s為微元，求出力F作用在此弧長過程中做的功，全過程“化曲為直”，等效于將本是曲線的圓周拉直。在這里，力F所做的功相當(dāng)于力和物體運(yùn)動(dòng)路程的乘積。

（2）將物理研究對(duì)象微元化

例2.由高壓水槍豎直向上噴出的水柱，將一個(gè)質(zhì)量為m的小鐵盒開口向下倒頂在空中。已知水（密度ρ已知）以恒定速率v0從橫截面積為s的水槍中持續(xù)噴出，向上運(yùn)動(dòng)并沖擊小鐵盒后速度變?yōu)榱恪Ｇ蠓€(wěn)定狀態(tài)下小鐵盒距水槍口的高度。

解析：由于水的連續(xù)流動(dòng)性，與小鐵盒作用的水在不斷發(fā)生變化，但在穩(wěn)定時(shí)，水與小鐵盒的相互作用力F的大小是不變的，設(shè)水與鐵盒作用前速率為v，對(duì)鐵盒由力的平衡可得

F=mg…(1)

對(duì)水可選取△t時(shí)間內(nèi)噴出的質(zhì)量△m為研究對(duì)象，有

△m=ρsv△t…(2)

這部分水與鐵盒作用前后動(dòng)量變化大小為，

△p=△mv=ρSv2△t…(3)

小水柱的重力△mg忽略不計(jì)，據(jù)動(dòng)量定理F=△p/△t=ρSv2…(4)

將“微元法”巧妙合理的引入物理解題中，在求變力做功的問題上、在求解瞬時(shí)速度和電磁感應(yīng)綜合應(yīng)用等方面都有著很廣的運(yùn)用，雖然高中生對(duì)微元法的學(xué)習(xí)可能會(huì)感到困難，但只要教師利用好教材所提供的素材，在平常的教學(xué)中把學(xué)生的探究活動(dòng)開展好，潛移默化、逐步引導(dǎo)，拓展學(xué)生的思維，一定會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到“微元”思想的奧妙，最終掌握“微元”思想方法。

責(zé)任編輯 王愛民