多跳頻脈沖的高效測向算法

王永明，王世練，張爾揚

(1.國防科技大學 電子科學與工程學院，湖南 長沙 410073;2.解放軍94973部隊，浙江 杭州 310021)

跳頻通信具有寬頻帶、低截獲概率、良好的抗干擾及較強的組網能力等優點，在現代軍事通信中得到廣泛應用.為了在復雜電磁環境下獲取信息優勢，對跳頻信號的偵察已成為當前一項緊迫而艱巨的任務.對跳頻信號的偵察分為跳頻檢測、參數估計、網臺分選、信號解調等內容，其中網臺分選是采取后續分析與對抗措施的必要前提，而每個跳頻脈沖(定義跳頻信號的每一跳為一個跳頻脈沖)的方向信息是分選的重要參數之一.

近年來，時頻分析在跳頻信號分析與參數估計［1-3］，以及非平穩信號測向［4-5］方面得到廣泛應用.利用跳頻信號的時頻能量聚集性，文獻［6］提出在時頻域分離出跳頻脈沖，利用相位干涉原理和TF-MUSIC［4］的測向方法.該方法能夠處理“頻率碰撞”的跳頻脈沖，展現了良好的信號選擇性、干擾和噪聲抑制以及過載能力.但是采用短時傅里葉變換(STFT)與魏格納分布(WVD)組合構造空間時頻分布矩陣時的巨大運算量限制了其實際應用.

本文針對多跳頻脈沖測向提出一種基于時頻域矩陣分解的高效方法.采用計算高效的SPW分布［7］計算參考陣元與其他陣元的互時頻分布來構造時頻域陣列模型，選擇時頻面上跳頻脈沖能量聚集的時頻點構造空間時頻分布(spatial time-frequency distribution，STFD)矩陣，對矩陣進行奇異值分解并運用ESPRIT思想估計方向.該方法在矩陣構造和時頻分布計算兩方面都具有較低的運算量，并且具有解相干的能力，可應用于同頻干擾和多徑環境.仿真結果驗證了算法的有效性.

1 時頻域陣列模型

1.1 信號模型

設M+1元均勻線陣的陣間距為d，參考陣元位于原點.P(P＜M)個入射信號與陣列法線夾角為q1，q2，…，qp.參考陣元外的M個陣元的陣列輸出為

式中:A(θ，t)=［a(θ1，t) … a(θp，t)］是M×P維的方向矩陣，a(θi，t)=［e(－j2pfc－1dsinθ1)…e(－j2pfc－1Mdsinθi)］T，(i=1，2，…，P)，f為瞬時頻率，c為光速;x(t)=［x1(t)x2(x) … xM(t)］T為數據向量;s(t)=［s1(t)s2(t) … sp(t)］T為信號向量;n(t)是方差為σ2高斯白噪聲向量.定義數據矩陣［8］:

式中:M=2n或2n+1，M－n＞P，n＞P.則

方向矩陣Al=A(1∶M－n，1∶P)，Ar=A(1∶n+1，1∶P).D(θ)=diag(D(θ1)，…，D(θp))其中D(θi)= e(－j2πfc－1dsinθi).Rs(t)=diag(s1(t)，s2(t)，…，sp(t))，N(t)為噪聲矩陣，定義無噪聲數據矩陣為 Y= AlRs(t)AT

r.

1.2 STFD矩陣

定義參考陣元輸出為x0(t)=y0(t)+n0(t)，y0(t)為信號項，n0(t)為噪聲項.類似于文獻［4］，定義STFD矩陣為X(t)與參考陣元輸出x0(t)的互時頻分布，用Cohen類時頻分布表示為

式中:y0和n0分別表示參考陣元的輸出信號和噪聲.DYy0(t，f)、DNy0(t，f)、DYn0(t，f)、DNn0(t，f)均為(M－n)×(n+1)矩陣，分別表示Y與y0、N與y0、Y與n0、N與n0的互時頻分布.假設陣列噪聲為零均值空時白噪聲，各陣元的噪聲互不相關，噪聲與信號不相關，則 E［DNy0(t，f)］、E［DYn0(t，f)］和E［DNn0(t，f)］均為零.DXx0(t，f)的期望為

式中:

式(4)～(6)對所有時頻點都成立，并且易知rank(E［DXx0(t，f)］)=rank［DRsy0(t，f)］.矩陣Al和Ar都包含方位信息，把信號時頻分布DRsy0(t，f)映射為數據時頻分布DXx0(t，f).實際中用時頻平面上某個能量聚集區域的時頻均值代替E［DXx0(t，f)］［4］.

用陣元m=1，2，…，M做參考陣元時，噪聲項某條反對角線上元素的期望值非零，即E［DNnm(t，f)］ij=E［DNnm(t，f)］ji=σ2，i+j=m+1.因此可以先估計σ2然后對消.當m=1或M時E［DNnm(t，f)］中只有一個非零元素，對矩陣結構的影響最小.

采用計算高效、交叉項少的SPW來構造STFD矩陣.xi(t)和xj(t)的互SPW的離散形式為［7］

式中:Pd(i)是離散頻率窗，Xi(n，k)是xi(n)的STFT.

用式(7)計算時頻分布不需要過采樣，同時利用STFT無交叉項、檢測性能穩健的優點，對譜圖累積均值進行恒虛警檢測和形態學濾波［9］處理還可以估計出時頻平面上的多個能量聚集區Ri.限于篇幅，不具體討論能量區域估計的詳細過程，而重點闡述測向算法.

2 ESPRIT測向

令Z=［In×n|0n×1］，Q=［0n×1|In×n］構造2個子陣 DX1x0(t，f)=DXx0(t，f)ZT，DX2x0(t，f)= DXx0(t，f)QT，定義

令Ar2=ZAr，則

易知rank［C］=rank［DRsy0(t，f)］=P.對C進行奇異值分解(SVD)，根據ESPRIT思想［10］，其P個最大特征值對應的特征向量構成信號子空間E，且存在P×P階可逆陣T，使得

式中:E1、E2均為(M－n)×P階矩陣，記ψX=T－1D(θ)T，由式(10)得E2=E1ψX，用最小二乘方法最小化E2和E1ψX的差可得

對ψX做特征值分解得對角陣D(θ)中各元素Di(θ)的估計值(θ)，則方向估計值為

對多跳頻脈沖測向算法總結如下:

1)由陣元輸出xi(t)得Xi(n，k)，再用譜圖累積均值估計各跳頻脈沖能量聚集區Ri;

2)用式(7)計算矩陣元素 Dxix0(n，k)= DSPWxix0(n，k);

3)用區域Ri內的NRi個時頻點構造STFD矩陣元素，生成矩陣

5)由式(11)和式(12)估計信號方向.

3 性能分析

3.1 能量聚集區

噪聲譜圖|Ni(n，k)|2服從指數分布，均值為σ2，方差為σ4.假設各陣元噪聲互不相關，則噪聲的累積譜圖服從自由度為2M的中心x2分布，均值為Mσ2，方差為Mσ4.則的均值為σ2，方差為σ4/M，方差是噪聲譜圖的1/M.信號譜圖累積平均后其值可認為是不變的，因此，累積后的時頻圖信號時頻特征更明顯，便于檢測.

能量聚集區包括信號自項、交叉項以及疊加了多個時頻域不可分辨的自項和交叉項的混疊項.譜圖中，不重疊的2個信號交叉項為零［12］，因此，累積后檢測出的能量聚集區只包括自項和混疊項.

3.2 信號選擇性與去相干

設混疊項區域Rq由q (q＜P)個跳頻脈沖組成，設si(t)，i=1，2，…，q為Rq內的跳頻脈沖信號.

當q個脈沖不相干時，

當q個跳頻脈沖相干時，設 ain為衰落系數，通常不為零.所以

所以DXx0也可分辨q個相關脈沖的方向.

式(13)、(14)表明，單個脈沖能量聚集區內其他脈沖的干擾大大降低，具有較強的信號選擇性.另外，跳頻脈沖“碰撞”概率很小，并且通常有效的多徑分量較少，因此脈沖能量聚集區內通常能滿足特征子空間類算法中信號數目小于矩陣維數要求.

3.3 抗噪聲性能分析

設截獲帶寬B內的跳頻脈沖s(t)時長為T，能量聚集區RD的面積為SD.噪聲能量均勻分布于整個時頻面，總能量為En=σ2BT，RD內的噪聲能量為=σ2SD，通常BT?SD.由于RD內外的信號能量不變，所以在能量聚集區內信噪比大大提升.

3.4 計算復雜度分析

表1為經典方法［4-5］與本文方法在構造STFD矩陣方面的計算量比較，經典方法中解析WVD的時間窗長為2N+1，本文方法中SPW的時間窗長為N，頻率窗長為2L+1(通常N?L).可以看出，本文方法構造矩陣的計算量要低得多.

表1 STFD矩陣構造復雜度比較Tabel 1 Comparison of STFD matrix computational complexity

4 仿真結果分析

對帶寬1.6 MHz內的4個等功率、同跳速的跳頻信號進行仿真，跳周期0.5 ms、跳頻駐留時間［11］為跳周期的90%，基帶跳頻圖案如圖1所示.陣元數M為8，陣間距為中心頻率的半波長，s1(t)、s2(t)、s3(t)和s4(t)的來波方向分別為－8°、8°、10°和25°.s1(t)和s2(t)為相干信號，不相關信號s3(t)和s4(t)在基頻0.4 MHz上“碰撞”.帶通采樣率為1.6 MHz，SPW的時間窗長(FFT點數)為64，頻率窗長2L+1為5.

圖1 跳頻圖案Fig.1 Frequency hoping graph

仿真1 累積前后的時頻圖.

與圖1對應，圖2為信噪比(SNR)為－10 dB、陣元M=8時，譜圖累積前后的對數等高線.可以看出累積后的信號特征更加明顯.圖中Ra為2個不相關脈沖的“碰撞”區域，Rb為2個相干脈沖區域，Rc為單個脈沖區域.后續仿真均在這3個有代表性的區域進行.

圖2 累積平均譜圖的等高線Fig.2 contour of cumulated spectrogram

仿真2 信號可分辨性.

圖3為采用外部參考源時，信噪比為0 dB時對區域Ra、Rb的30次測向結果.可以看出，空間很近的信號s2(t)和s3(t)分別在不同的聚集區Ra、Rb內測向進行分辨;Ra內的非相關“碰撞”信號s3(t)、s4(t)以及Rb內的相干信號s1(t)、s2(t)均能正確分辨.

圖3 2個區域測向結果Fig.3 DOA estimation of two reigns

仿真3 均方根誤差(RMSE)性能.

分別以外部陣元0和內部陣元M為參考陣元對各區域測向性能進行仿真，Monte-Carlo仿真次數為100.圖4為不同SNR時3個區域的RMSE.

圖4 均方根誤差性能Fig.4 RMSE versus SNR

采用內部參考陣元時，一個噪聲元素對測向性能的影響較小，實際使用內部參考陣元、并且不估計和抵消噪聲項也能獲得較好的性能.單信號區域Rc的測向性能最好，因為由于受到的干擾最小;受相干干擾的影響，相干區域Rb性能低于單信號區域;“碰撞”區域Ra在低信噪比性能最差，一是受同頻帶干擾影響，二是該區域內信噪比低于其他2種情況.

仿真4 去相干能力比較.

經典方法采用TF-MUSIC［4］，并對STFD矩陣進行空間平滑處理.圖5給出了在區域的RMSE.圖中SW表示采用WVD的平滑TF-MUSIC，SS表示采用SPW的平滑TF-MUSIC，MD為本文算法.結果表明:本文算法與采用SPW的平滑TF-MUSIC性能相當，二者優于采用WVD的平滑TF-MUSIC.因為SPW的交叉項比WVD少，所以采用SPW的算法性能優于采用WVD的算法.

圖5 不同方法的性能比較Fig.5 RMSE Comparison of different methods

5 結束語

基于時頻域矩陣分解提出一種高效的多跳頻脈沖測向方法.除了具備良好的信號選擇、較強的干擾和噪聲抑制能力以及過載能力之外，時頻分析采用基于FFT實現的SPW計算，不需要過采樣，STFD矩陣構造只需計算參考陣元與其他各陣元的互SPW.算法在時頻分布的計算及矩陣構造2方面都具有較低的運算量，并且采用ESPRIT估計角度，不需要角度搜索，所以非常適合硬件實時處理，易于工程實現.同時該方法還具備解相干能力，適用于同頻干擾和多徑信號環境下的跳頻測向.

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