二維傳播算子DOA估計的改進算法

刁 鳴，陳 超，楊麗麗

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

目前，在陣列信號處理領域，對二維波達方向估計方法的研究已經涌現了很多的成果，傳統的二維MUSIC算法需要在整個參數平面上進行譜峰搜索，計算量巨大，難以應用于工程實際，ESPRIT方法不需譜峰搜索，與MUSIC方法相比，具有較好的實時性，但是它存在一個參數配對的問題.文獻［1］提出的DOA矩陣法可以避免譜峰搜索而直接計算出二維DOA參數，且參數能自動匹配，在一定程度上解決了上述問題，但存在相位模糊;文獻［2］提出的基于L型陣列的波達方向估計算法，無相位模糊，解決了信號方位角和俯仰角的配對問題，但需計算多個相關矩陣后再對大矩陣進行特征分解，計算量仍很大;文獻［3］基于雙平行線陣列的特點，對子陣進行合并求解，使得協方差矩陣中不再含有冗余數據，但仍不可避免協方差矩陣特征分解帶來的復雜計算.傳播算子算法［4］利用線性運算代替特征分解，在解決計算量問題上有著巨大優勢.文獻［5］中Tayem等人提出的一種基于雙L陣的二維DOA估計的傳播算子算法，為了提高估計精度，需要進行2次方位角估計，文獻［6］采用了空間三平行線陣列結構的傳播算子算法，以增加一條均勻線陣來提高算法的估計精度.本文將數據共軛重排［7］的思想引入到傳播算子算法，基于雙平行線的陣列結構，提出一種改進的傳播算子二維DOA估計方法，該方法在不增加計算量和陣元數的前提下，通過接收數據的共軛重排再利用，可以減少信源間的相關性，并且提高算法在快拍數有限及低信噪比條件下的估計性能.

1 陣列結構和信號模型

陣列結構由如圖1所示的2個平行均勻線陣構成.其中，以位于原點的陣元為參考點，Y軸上共有M+1個陣元，前M個陣元組成子陣列L1，后M個陣元組成子陣列L2，X-Y平面上的M個陣元組成子陣列L3，且X軸方向和Y軸方向的陣元間距均為d，d的取值為1/2信號波長.

圖1 雙平行線陣的陣列結構Fig.1 Structure of two parallel ULAs

假設空間有D個同中心頻率的遠場窄帶信號入射到天線陣上，第i個入射信號的方位角和俯仰角分別為θi和φi(i=1，2，…，D)，各陣元輸出的噪聲是統計獨立、均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲，噪聲與信號不相關.則L1、L2、L3接收到的信號分別表示為

式中:

式中:λ為波長，d為天線陣列中2個相鄰陣元的距離，Xi(t)和Ni(t)分別為第i個子陣列在第t個快拍時刻的接收數據和接收到的噪聲數據.這樣Φ(θ，φ)和Ψ(θ，φ)分別反映了子陣列L2和子陣列L3相對于子陣列L1的旋轉不變關系.

2 改進算法的原理及性能分析

不考慮噪聲影響，將X1、X2、X3按式(4)所示構造矩陣X:

將A和C分別進行分塊處理:

式中:

假設C1為非奇異矩陣，即C1的D行互相獨立，那么C2是C1的線性變換，有

式中:P定義為傳播算子，P的求解需要信源方位信息，可以由空間協方差矩陣求解傳播算子的估計值.

對Rx進行分塊處理:Rx=［Rx1，Rx2］，其中，Rx1、Rx2的維數分別為3M×D和3M×(3M－D).由式(7)易推得

由于噪聲的影響，使數據模型和實際情況有所偏差，因此，式(9)不能嚴格相等，可通過最小化求得傳播算子的估計值.

為進一步提高估計性能，將接收數據共軛重排的思想推廣到傳播算子算法的二維DOA估計中，提出傳播算子算法的二維DOA估計改進算法.

式中:JM代表副對角線上元素為1，其余元素均為0的M階方陣.可見，Rx和Rx均可以劃分成9個M×M維的子矩陣，將這些子矩陣按式(12)進行重排相加求平均:

觀察矩陣R中的第1個M×M維子矩陣:

式中:

對于獨立的信號源，協方差矩陣RS應為實對角陣，即RS=，又根據Q*，R，QT3個對角陣相乘可交換順序進行計算，并且Q*QT=I，可以推導出:

同理可推得矩陣R中9個M×M維子矩陣的2個相加項分別相等，因此，利用Rx估計傳播算子和利用R估計傳播算子應得到相同的.由于R將接收數據共軛重排再利用了一次，使協方差矩陣的估計更準確，當信噪比較低，快拍數較少時，使用R進行估計可以獲得比Rx更好的性能.

式中:P1，P3，P5的維數與A2的維數相同，P2，P4的維數與A1的維數相同.根據式(5)～(7)可得

由式(17)、(19)可知，Φ和Ψ的對角線元素分別對應于P2、P4的特征值.在實際情況中，對P2和P4的特征分解是分別進行的，因此不能保證其特征值是一一對應的，在此可以采用快速配對算法［8］來解決參數配對問題.對P2進行特征分解得到其D個特征值分別為［λ1λ2… λD］，相應的特征向量分別為W=［w1w2… wD］，與P2的第i個特征值λi相對應的P4的特征值λi'應為

式中:yik是矩陣Y第i個列向量yi的第k個元素.

由此可得，Φ和Ψ的對角線上第i個元素分別為λi和λi'，結合Φ和Ψ的表達式，可以估計入射信號的方位角和俯仰角分別為

在MUSIC和ESPRIT算法中，對協方差矩陣進行特征分解的時間復雜度近似為O(M3)階，而估計傳播算子的時間復雜度為O(DM2)階［4］.可見，傳播算子算法與MUSIC和ESPRIT算法相比，有著計算量小的優勢.本文所提出的改進算法，在PM(propagator method)算法的基礎上僅增加了取共軛和子矩陣換位相加的運算，用很少的計算量換取了較高的估計性能.

3 仿真實驗

為驗證方法的正確性及有效性，采用如圖1所示的陣列結構進行了計算機模擬仿真實驗，各子陣陣元數M=4，信號的中心頻率f=50 MHz，陣元間距d為1/2個信號波長.

實驗1:本例給出了方位角和俯仰角在0°～90°范圍內變化的估計性能.實驗中使俯仰角以5°為間隔，從0°變化到90°，對應每個俯仰角，方位角亦以5°為間隔在0°～90°變化，快拍數200，信噪比5dB，對應每個入射角度做300次獨立的仿真實驗.圖2給出了仿真結果，其中均方根誤差定義為

圖2 方位角和俯仰角在0°～90°之間變化的均方根誤差Fig.2 RMSE of estimation with azimuth and elevation angle varying from 0°to 90°

實驗2:基于圖1所示的雙平行線陣，本例對常規傳播算子算法和文中提出的修正傳播算子算法的估計性能進行了對比.2個等功率的遠場窄帶信號入射到圖1所示天線陣列，信號源相互獨立，二維入射角度分別為［35°20°］和［45°70°］.

圖3所示為估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線，快拍數為250，信噪比從0 dB變化到25 dB，對應每個信噪比做1 000次獨立的仿真實驗.圖4所示為均方根誤差隨快拍數變化的曲線，信噪比固定為5dB，快拍數從100變化到1 000，對應每個快拍數做1 000次獨立的仿真實驗.

由圖3及圖4可以看出，在對非相干信源進行DOA估計時，修正的傳播算子算法在信噪比較低和快拍數較少的情況下明顯優于常規傳播算子算法.可見，采用數據共軛重排的修正傳播算子算法可以提高非相干信源的DOA估計性能.

圖3 本文算法與常規傳播算子算法對比(均方根誤差隨信噪比變化曲線)Fig.3 Comparison between normal propagator method and thealgorithm proposed in thispaper (RMSE varying with SNR)

圖4 本文算法與常規傳播算子算法對比(均方根誤差隨快拍數變化曲線)Fig.4 Comparison between normal propagator method and thealgorithm proposed in thispaper (RMSE varying with snapshots)

4 結束語

本文在基于雙平行線陣的基礎上，將數據共軛重排的思想成功的引入到傳播算子算法的二維DOA估計中，理論分析和仿真結果表明，改進的算法相當于對協方差矩陣進行了一次前后向平滑，具有平均的意義，可以減少信源間的相關性，提高對非相干信源的估計能力.該方法在低信噪比，小快拍數的條件下仍能獲得較好的估計性能，并且有著計算量小的明顯優勢，具有較好的實用性.

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