一類連續線性切換系統的H∞濾波

宋艷榮，王興平，姚立強，張術東

（海軍航空工程學院基礎部，山東 煙臺 264001）

在復雜的控制工程中，往往會同時出現連續變量動態系統和離散事件動態系統，這兩種系統相互混雜和作用，形成統一的動態系統——混雜系統。隨著計算機科學和控制理論結合以及控制系統的智能化發展，混雜系統的概念越來越重要，成為新的研究熱點。切換系統是一類重要的混雜系統，可以看作是由一組子系統和一個切換策略組成的。其特點是系統離散動態行為表現為系統在一組連續系統進行切換的切換策略。切換系統在生產過程中是廣泛存在的，傳統的繼電器控制是典型的切換系統問題，最優控制中著名的bang—bang 控制問題也是切換系統的一個特例。在復雜的化工系統、電力系統、交通控制系統中都涉及到切換系統。近些年，對切換系統的研究引起了國內外控制界的關注。

對切換系統的研究包含很多典型的控制問題，如文獻[1]利用共同Lyapunov函數方法研究了一類切換線性廣義系統的穩定性問題；文獻[2]基于線性矩陣不等式，研究了一類不確定線性切換系統的H∞魯棒控制問題；文獻[3]則研究了不確定線性切換系統在任意切換規則下的極點配置和H∞魯棒控制問題。作為重要的濾波問題，也有文獻研究。文獻[4]研究了一類不確定時滯離散切換系統在任意切換規則下的H∞濾波問題；文獻[5]利用切換Lyapunov函數方法，研究了時滯離散切換系統的H∞濾波器的設計問題。

系統的濾波問題就是研究如何在受干擾的系統輸出信號中檢測出系統狀態的問題，這是控制系統中一個重要的問題[6-7]。目前，用來研究狀態估計問題的許多方法中，Kalman濾波方法和H∞濾波方法是比較常用的方法。Kalman濾波方法的特點是要求系統的干擾具有已知的統計特征，相較之下，H∞濾波方法則不要求系統的干擾信號的統計特性，只要求干擾的能量有界，同時，H∞濾波方法還對系統的結構不確定具有較好的魯棒性。正是由于H∞濾波方法的這兩個優點，使得人們對H∞濾波產生了極大的興趣[8-9]。從文獻看，切換系統的H∞濾波問題主要集中在離散切換系統，對于連續切換系統的H∞濾波器問題，較少有人研究。

本文主要研究一類連續線性切換系統的H∞濾波器的設計問題。由于濾波器是建立在系統的輸出端的，無法實現對系統的切換規則的要求。因此，濾波器的設計是在切換系統是任意切換這一前提下進行的。本文首先基于共同Lyapunov函數方法，給出了切換系統存在H∞濾波器的充分條件；其次，利用線性矩陣不等式技術，把這個條件變成一組線性矩陣不等式(LMIs)的可行解存在問題，進而根據LMIs的可行解給出了H∞濾波器的一個構造性的設計方法；最后，給出的實例驗證了用這一方法設計H∞濾波器的有效性和可行性。

1 問題描述及準備工作

考慮如下切換系統

式中：x ∈Rn為系統狀態；w ∈Rp且w∈ L2(0,+∞)為能量有限的外部擾動；y ∈Rq為測量輸出；z ∈Rm為待估計的信號向量，σ∶[0,+∞) →Λ={1,2,…,N}為切換信號，σ (t)的每一次取值的變化表示一次切換，σ (t)=i ∈Λ表示在t時刻切換系統的第i個子系統在運行；Ai、Bi、Ci、Di、Li(i ∈Λ)為第i個子系統對應的系數矩陣，它們具有相應的維數。

一般系統的H∞濾波問題的提法是：根據系統的測量輸出y，給出待估計的信號向量z的估計值z?，使得系統在無外部干擾的情況下穩定；在干擾存在，零初始狀態條件下，從干擾能量w到估計誤差 z?的信號能量的增益小于預先給定的正數γ。對于切換系統(1)，由于系統的狀態在不同時刻可能服從不同的動態方程，對系統狀態的估計是和各個子系統相關的，所以對系統(1)進行濾波器設計應該對每個子系統都進行濾波器設計，這些濾波器連接在對應子系統的輸出端，保證系統在切換時能有效地給出系統的狀態估計。

于是對切換系統(1)，本文的目的就是對每一個子系統設計濾波器

使得式(1)、(2)組成的復合系統在任意切換規則下滿足：

1)w=0時，系統漸近穩定；

設計切換系統(1)的濾波器(2)的問題，其實就是確定式(2)中的系數矩陣Afi、Bfi、Cfi、Dfi，使得設計目標中的條件1)、2)成立。

將系統(1)和濾波器(2)組合起來，可得如下濾波誤差動態系統

這樣，濾波的目的改變為設計恰當的濾波器(2)，即尋求合適的使得濾波誤差動態系統(3)滿足如下性能：

1)w=0時，系統(3)漸近穩定；

為了方便后面的敘述及證明，引入下面的定義、假設和引理。

定義：如果且則稱序列是由切換策略 σ(t) 生成的切換序列。

假設：切換系統的每個子系統總是運行一段時間后才切換到其他的子系統，即每個運行的子系統總有一定的駐留時間。

引理1：[10](Schur 補引理)對于給定的對稱陣其中 S11和S22是方陣，以下3個條件是等價的：

1) S＜0；

引理2：[11]設M1和M2是具有適當維數的矩陣，則對任意正數β，均有

2 主要結論

下面給出關于切換系統(1)的H∞濾波器(2)存在的充分條件。

定理1：對于給定的正數γ，如果存在對稱正定陣P，使得下列N個矩陣不等式成立

則切換系統(1)存在濾波器(2)，使得濾波誤差動態系統(3)滿足性能1)和2)。

證明：根據引理1，式(4)可以整理為

即

根據切換序列的定義、假設，可知在時間段[tk,tk+1)上，系統(3)的第ik個子系統運行，即系統(3)的切換策略 σ (t)在該時間段上恰好選擇第ik個子系統運行。不妨令 ik=i，也就是σ(t)=i,t ∈ [tk,tk+1)。則在時間段 [tk,tk+1)上，當w=0，由式(6)，有

由式(5)可知，在時間段 [tk,tk+1)上，

總結上面的推導，可以看到當w=0時，在時間段 [tk,tk+1)上，由切換策略 σ (t)選擇運行的子系統i對應的同理，在其他的時間段上，由切換策略 σ(t)選擇運行的子系統也能保證使得成立。因此，當w=0時，在時間段[0,+∞)上，總是成立，即濾波誤差動態系統(3)滿足性能1)。

下面證明濾波誤差動態系統(3)滿足性能2)。

在零初始狀態條件下，有

根據式(6)，上式整理為

這說明濾波誤差動態系統(3)滿足性能2)。結論得證。

注：本定理提出的條件是基于切換系統具有共同Lyapunov 這一前提給出的，根據文獻[12]中的結論，一個線性切換系統如果在任意切換策略下是一致指數漸進穩定的，則所有切換子系統存在一個齊次的共同Lyapunov函數。這就是說，為了保證濾波器能滿足性能指標 1)，假定系統具有一個共同Lyapunov函數是合理的。

定理中的不等式(4)是關于矩陣變量 P、Afi、Bfi、Cfi的一個非線性矩陣不等式，很難求出可行解。為了克服這一困難，我們提出定理2。定理2借助于線性矩陣不等式(LMIs)給出了一個與定理1等價的濾波器存在的充分條件。

定理2：對于給定的正數γ，如果存在對稱正定陣X、R和矩陣 Zi、Mi、Ni，使得矩陣不等式(8)和(9)成立，則系統(1)存在H∞濾波器(2)。

式中：i ∈Λ={1,2,…,N}；?表示對稱位置矩陣的轉置。

證明：由定理1可知，如果存在對稱正定陣P使得(4)成立，則系統(1)存在H∞濾波器(2)，即濾波誤差動態系統(3)滿足性能1)和2)。

根據P是對稱正定陣，有

由于PP?1=I，可得

令

將式(13)代入，得到

令

將式(15)代入式(14)，則式(14)整理為式(8)。

另一方面，由于定理1 中的P是正定陣，即P＞0，有

根據式(10)、式(15)和式(16)知道P＞0與式(9)等價。結論得證。

上面的推導表明定理2是與定理1 等價的濾波器存在的充分條件。

進一步，若X、R、Zi、Mi、Ni(i ∈Λ)是線性矩陣不等式(8)和(9)的可行解，根據式(11)和式(15)，利用I?R?1X的奇異值分解得到滿秩矩陣 P12、S12，由式(13)和式(15)即可求得H∞濾波器(2)的系數矩陣為

3 仿真實例

考慮如系統(1)的切換系統(N=2)

選取γ=0.2，采用本文方法設計H∞濾波器。

首先，利用Matlab的LMI 工具箱求解線性矩陣不等式(8)和(9)得：

然后，通過滿秩分解求得：

最后，利用式(17)得到構造H∞濾波器所需的系數矩陣為：

根據求得的濾波器參數，進一步通過仿真來驗證本文定理的正確性。

具體做法是，將上面求得的各種參數代入系統中，選取強度為5的白噪聲作為能量有限的干擾w，采樣時間為0.1 s，在10 s時間內，任意選取切換策略，這里選取的切換策略是

由該切換策略 σ(t)生成的切換序列是{(0,1),(3,2),(8,1)}，即切換系統在初始時刻進入子系統1 運行，運行3 s后切換到子系統2 運行，子系統2 運行5 s后又切換回到子系統1，運行2 s。

分析得到的待估計信號z和估計信號?z的變化曲線，可得如圖1所示的切換系統(1)的濾波跟蹤圖，圖中，虛線表示切換系統(1)的待估計信號z的變化曲線，實線表示估計信號?z的變化曲線。

圖1 切換系統(1)的濾波跟蹤圖

通過仿真實例結合得到的仿真圖形可以知道，當切換系統(1)在我們隨意選取的切換策略下運行時，H∞濾波器(2)可以很好地跟蹤估計信號向量。事實上，可以驗證對于任意的切換策略，設計的濾波器都能很好地跟蹤估計信號向量。因此，本文設計的H∞濾波器符合要求并且性能良好。

4 結束語

本文針對一類連續線性切換系統研究了H∞濾波問題，給出了H∞濾波器存在的充分條件并將該條件轉化為一組線性矩陣不等式的可行解問題。同時，借助線性矩陣不等式的可行解，給出了H∞濾波器的設計方法。最后通過仿真實例說明用該方法設計H∞濾波器的可行性。

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