關于一般q-李代數的普遍包絡代數U(Lq)的研究

劉孝磊，李 沫，劉曉燕，馬翠玲

（海軍航空工程學院基礎部，山東 煙臺 264001）

隨著在物理領域對李代數應用的深入，人們對這種代數結構的研究越來越廣泛。隨之出現了一些廣義李代數如李超代數、τ -李代數、ε -李代數等，并在量子物理等很多領域得到了重要應用。

本文在李代數進行的另外一種拓展——q-李代數的基礎上，對q-李代數所蘊含的深層的代數性質進行剖析，研究了一般q-李代數的普遍包絡代數U(Lq)及其重要的代數性質，證明了普遍包絡代數U(Lq)的PBW定理，并給出了 U(Lq)的一組基。

1 預備知識

首先引入普遍意義上的張量代數。

取定數域K 上的一個向量空間V，T0V=K，個)，定義：并且我們引入一個結合乘積：

定義在T (V)的齊次生成元上，這使 T (V)成為一個含幺的結合階化代數，它由1以及V的任意一組基所生成，我們稱之為V 上的張量代數。

有了張量代數的定義后，再加上q-李代數Lq的定義，就可以把q-李代數Lq看成向量空間，從而對Lq也就有了它的張量代數T (Lq)。另外，我們還給出 Lq的一個雙邊理想 Jq，它是由元素：生成的，從而就可以定義商代數為q-李代數Lq的普遍包絡代數，記為U(Lq)。

因為有嵌入映射 i∶Lq→T (Lq)以及典范映射π∶T (Lq) → T (Lq) Jq=U(Lq)，我們就可以把這兩個映射合成起來，記為σ=π· i：Lq→U(Lq)，稱σ為從q-李代數Lq到普遍包絡代數U(Lq)的典范映射。

另外，

2 U(Lq)的泛性質及其PBW定理

首先給出 U(Lq)的泛性質。

定理假設σ為從q-李代數qL到普遍包絡代數U(Lq)的典范映射，A為一個含幺的代數。進一步假設?是一個從qL到A的線性映射，滿足

?xi∈ Li，則存在惟一一個從 U(Lq)到A的同態?/′，滿足 ?/′(1)=1且? ′·σ=?。

證明：由定義知普遍包絡代數U(Lq)能由1以及 σ(Lq)生成，從而得到?/′是惟一的。

另一方面，由張量代數T (Lq)的泛性質，我們知道存在惟一的一個從 T (Lq)到A的同態，設為φ，它是?的擴展，且φ (1)=1，對于 ?xi∈ Li，有

因此 φ(Jq)=0，而通過作商的過程，φ就定義了一個從U(Lq)到A的同 態?/′，滿足 ?/′ (1)=1且? ′·σ=?.

注在U(Lq)中，李括積的雙線性，可以這樣來理解：

接下來我們尋找 U(Lq)的一組基。

首先固定qL的一組有序齊次基：滿足 xik∈ Ln，其中n ∈ N。用{Lq}來表示包絡代數T (Lq)中單項式的集合，并定義單項式 xj1? xj2? …? xjn的一個(正)排序：當jl＜jk時，有 xjl＜xjk。我們給出{Lq}中2個多項式集合的一個偏序：B＜C是指B中的單項式長度比C 中的更短些，或者B中的單項式是C 中單項式的置換排序，但是要滿足給出的正排序。顯然，若B＜B′，則有 A?B?C＜A?B′?C，其中A,B,B ′,C∈{Lq}。

引理J (xi,xj,xk)∈。

證明：注意到在J (xi,xj,xk)表達式中的每一個單項式都＜xk? xj? xi。下面證明 J (xi,xj,xk) ∈ Jq。

由于

從而

故

另外，對每個?∈ S，我們用??來表示 U(Lq)上的一個映射A ? W?? C → A ? f?? C，在此映射中，不包含W?的那些多項式不變。記 ?S={??|? ∈ S}。

定理(q-PBW)

證明：令

因為{,}q是反對稱的，并且是雙線性的，所以由 W?xy?f?xy生成的理想恰好是前面定義的

又由于每個 ??把A ? W?? C 映成A ? f?? C。所以在??的作用下，對某個固定的單項式在U(Lq)中的像也恰好是所對應的基。

當給出 xi,xj,xk滿足 xi＜xj＜xk時，利用上面所定義的映射去作用之后，將最終落在下面我們來計算

推論σ 從q -李代數qL到普遍包絡代數的典范映射σ是單射。

3 結論

本文中我們給出了一般q-李代數的普遍包絡代數U(Lq)，對 U(Lq)的相關性質進行了討論，證明了 U(Lq)對應的q-PBW定理，并給出了它的一組基。至此，對一般q-李代數的研究就較為完善了，在此基礎上，我們就可以仿照研究一般意義下量子群的方法，來進一步地研究由一般q-李代數所引入的量子群理論。

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