基于灰色關聯系數改進的加權TOPSIS法及其應用

王硯羽，張 卓，王正新

(南京航空航天大學 經濟與管理學院，江蘇 南京 210016)

一、引 言

TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Solution)翻譯為逼近理想解的排序方法，是一種常用的有限方案多屬性決策分析法。基本原理為：通過構造多目標決策問題的“理想解”和“負理想解”對各可行方案進行排序，以確定其優劣。因此TOPSIS法又稱雙基點法，該方法具有計算簡便、評估結果合理、便于理解、應用較為靈活的特點，目前已廣泛應用于社會經濟和工程技術等領域［1-2］。

然而Topsis理論本身的不足之處不容忽視：經典TOPSIS方法采用歐式距離公式計算備選方案與理想解屬性之間的差異，使得屬性與其效用之間呈現線性的變化關系。這種距離測度方法所得到的是一個剛性的解，現實中方案屬性值的效用及其邊界效用并不總是線性變化的。因此，經典TOPSIS方法往往并不能給出滿意的解釋；另外傳統的TOPSIS方法不強調各決策指標的偏好程度，因此在實際應用該方法時權重或者事先給出，或者經過各種決策矩陣計算，不同的賦權方法對評價結果的影響較大。

已有的研究中，對傳統TOPSIS方法的改進主要針對方法體系本身和賦權方法兩個方面展開。目前解決TOPSIS方法本身問題的主要思路有：(1)替換歐式距離，如文獻［3］將理想解點與負理想解點視為確定不確定系統中相互對立的集合，在考察目標方案與理想解點或負理想解點的聯系度時，引入了聯系向量距離。但是這種方法當負理想點中出現為零的指標值時按照非負有理數的同一度將造成嚴重的信息丟失，此時需要重新定義，這反映出集對分析法的局限性。類似關于替換歐式距離的還有文獻［4-5］，分別從矩陣范數和立體幾何垂面距離的角度進行創新性的研究。(2)排序方法上改用偏序，如文獻［6］提出在解決某些實際問題時應放棄全序而采用偏序能更合理地反映出方案的優劣性。但這種方法往往導致無評價結果的情況。(3)定義新的貼近度，如文獻［7-8］將貼近度定義為目標方案與理想解點和負理想解點的夾角余弦，從而尋找出新的評價依據；對權重確定方法的探討方面：有關權重確定方法的文獻很多，賦權方法大多注重科學性、系統性和集成性。如文獻［9］根據決策單元（DMU）模糊偏好來分別獲取TOPSIS方法下基于理想點和負理想點的偏好權重，構造最優化模型，使得現實偏好與名義模糊偏好pik方差最小，通過構造拉格朗日函數，解得權重。文獻［10］又對這一權重確定方法進行了改進，將權重確定為然而從研究的趨勢來看，對于權重計算的探討越來越依賴于數據的獲取和方法的集成，可操作性和簡化性受到了忽視。

鄧聚龍教授提出的灰色關聯分析［11］是衡量曲線形狀相似性的一種柔性測度方法，這種方法計算量小，不需要典型的分布規律［12］，可以較好地反應序列之間的非線性關系，這恰好可以彌補TOPSIS法剛性解的不足。因而，將灰色關聯分析引進，能夠達到剛柔相濟的效果。綜上所述，本文利用灰色關聯分析和TOPSIS這兩種方法各自的優勢，著眼于替換歐式距離的思路，將灰色關聯系數引入TOPSIS法中，同時提出一種可操作性強并簡單易行的賦權方法——Group-AHP法，適用于根據大范圍問卷調查的結果進行賦權的情況。最后，將該方法運用到我國9大航空客運公司服務質量的評價中。

二、經典TOPSIS方法和灰色關聯分析方法

(一)經典TOPSIS方法

定義 1： 設有 m 個 方 案 A1,A2,???,Am,n個指 標C1,C2,???,Cn； xij為方案 Ai在指標 Cj下的指標值（i=1,2,???,m;j=1,2,???,n）； ωj為指標 Cj的權重，其中 ωj∈[0,1] 且；目標決策問題初始矩陣為X=(xij)m×n。

在目標決策中，不同量綱的指標直接比較是沒有意義的，因此根據指標的性質［13］（效益型，成本型，中間型）選擇適當的方法對初始矩陣進行標準化Z=(zij)m×n。計算加權矩陣： R=(rij)m×n，其中rij=ωjzij,i=1,2,???,m;j=1,2,???,n。之后確定理想解點S+與負理想解點S-：

對于效益型指標：

對于成本型指標：

計算各方案到正負理想解的歐式距離。方案Ai到理想解和負理想解的距離分別為：

各方案的相對貼近度為：

ci越小，方案越接近理想點。

(二)灰色關聯分析方法

灰色關聯分析法（GRA）是灰色系統理論的重要分支，是對系統發展變化事態的定量描述和比較的方法［14-15］。它的基本思想是通過確定參考數列和若干比較數列集合曲線的接近程度來判斷其聯系是否緊密，并用灰色關聯度來反映曲線間的這種相關程度，大者則關聯程度大。

定義2：設系統行為序列

對于ρ∈(0,1)，令

則ζ(X0,Xi)滿足灰色關聯四公理。ζ(X0,Xi)稱為X0與Xi的灰色關聯度，ζ（x0(k),xi(k)）稱為灰色關聯系數，其中ρ稱為分辨系數。

三、基于灰色關聯系數改進的加權TOPSIS方法

灰色關聯系數改進的加權TOPSIS方法首先對規范化的決策矩陣進行加權，計算灰色關聯系數，之后求解理想解和負理想解，將貼近度作為評價的依據。具體計算步驟如下：

(1)確定比較數列（評價對象）和參考數列（評價標準）。設評價對象為m個，評價指標為n個，則比較數列為：xi={xik|i=1,2,…,m,k=1,2,…,n}，用矩陣表示為：

其中，xik為第i個評價對象第k個指標的評價值。

(2)指標值的規范化處理。為了消除不同指標不同量綱的影響，方便各指標之間的比較，需要針對不同類型的指標采取不同的規范化方法，將其規范化為隸屬于區間[0,1]區間上的數。具體做法是：

對于效益型指標，可采用如下公式：

對于成本型指標，可采用如下公式：

(3)運用適當的方法計算決策指標的權重ωi。對y按公式zik=ωiyik加權，得到如下矩陣：

取每個指標的最理想值為參考數列z0的實體，則有參考數列z0={z0k|i=1,2,…,n}，即z0=(z01,z02,…,z0n)。

(4)計算灰色關聯系數 ζi(k)。利用公式 （4），設Δi(k)= |z0k-zik|，則

其中，Δi(k)表示z0與zi在第k項指標處的絕對差，ζi(k)為關聯系數；ρ為分辨系數。ρ在公式中非常重要，它不僅僅可以調節ζ的大小，而且還可以控制關聯系數的變化區間。通常ρ的取值范圍在[0,1]區間，根據經驗，在此ρ取0.5。關聯系數矩陣形式表示為：

(5)以灰色關聯系數矩陣ζ為新的決策矩陣構造理想解模型，確定正理想方案和負理想方案：

正理想方案：

負理想方案：

(6)計算第i個項目到正理想方案和負理想方案的距離，利用公式（1）計算到正理想方案的距離：

利用公式（2）計算到負理想方案的距離：

(7)利用公式（3）計算各項目的相對貼近度，之后進行優劣的判斷。相對貼近度越小的指標越優。

四、權重的確定：群組——層次分析法

在求得矩陣（10）的過程中權重的確定是影響評價結果的另一個重要因素。通常有三種賦權法：主觀賦權（如層次分析法）、客觀賦權（如熵權）、組合賦權（主客觀方法加權）。其中層次分析法是一種定性定量相結合的方法，在實踐中廣為應用。但是在判斷矩陣獲取的過程中容易出現如下問題：①由于判斷矩陣的建立是基于人的思維的邏輯推理，因而在實際應用中容易受被調查者主觀原因的影響，造成判斷矩陣不一致，從而產生信息浪費；②對于收集到的判斷矩陣代表了不同的專家意見，判斷矩陣中的數值是相對數，而如何將不同的意見（即相對數）匯總為一個綜合的判斷矩陣，對于層次分析法來說也是一個難題。

群組決策特征根方法對被調查者的要求較低，能夠解決Satty判斷矩陣在實踐中的問題：各專家只需按習慣方式打分就可得到群體對目標的最優排序結果；它是一種綜合專家意見法，能夠利用所有的已知信息，避免信息的浪費，但是不可避免也會出現不一致的問題。將群組決策方法與層次分析法相結合，對所得權重進行一致性的檢驗，得到群組——層次分析法（G—AHP），具體實現步驟如下：

(1)建立原始矩陣。由S1,S2,S3,???,Sm組成的m個專家群組決策系統G，評價n個對象B1,B2,???,Bn，其中第i個專家Si對第 j個被評目標B的評分值記為aij∈[I,J](i=1,2,???,m;j=i=1,2,???,n)。 aij的值越大，目標Bj越重要。Si及其群G的評分組成n維列向量ai和m×n階矩陣A。

引理［16］1式中 λmax為矩陣F=ATA的最大特征根。

引理［16］2設 A是m×n階矩陣， B是n×m階矩陣，則AB與BA有相同的(包括重數)非零特征值。

(2)計算F=ATA。

(3)計算F的最大特征值λmax，可通過matlab等軟件直接算得。

(4)計算F的最大特征值所對應的特征向量并進行單位化，記為B，B即為各因素之間的相對重要性權重。

五、我國航空客運服務質量評價實證研究

航空客運是我國基礎產業中最引人關注的部分之一。一方面隨著航空公司激烈的價格戰使得航空客運從奢侈品逐漸平民化；另一方面航空客運業具有極大的復雜性，利潤鏈條涉及多個行業多個環節。我國的航空客運業目前存在服務項目雷同，帶有被動性、盲目性或功利性，產品缺乏活力和合力，缺乏核心競爭力的問題［17］。當前我國乃至世界航空客運業面臨的最大壓力是盈利不足，這與內部員工優越感強，服務意識和危機意識淡薄形成鮮明的對比。

民航客運是一種典型的服務產品，核心產品是時、空、位移。乘客是利潤價值鏈的核心環節，乘客所感知的服務質量是核心競爭力的體現。貝里用一句非常簡潔的話給服務下了定義，認為服務是“一個行動，一次表演”和“一項努力”［18］。向服務要利潤已經成為目前航空業發展的目標，尤其是在當前航空服務管理網絡化和乘客需求多樣化的市場趨勢下，航空企業競爭的根本是乘客滿意，只有乘客滿意才能創造出源源不斷的現實和潛在利潤，才能使企業價值最大化。

Parasuraman,Zeithaml and Berry（1988）對其在1985年提出的服務質量評價工具SEVRQUAL中的十大評定因素作了修正，指出對服務質量的評價可以從五個角度或標準進行。即：可靠性、有形程度、回應性、保證性和移情性，簡化了服務質量的評價標準與方法［19］。

Christopher H·Lovelock（2001）從顧客與服務企業之間相互作用的性質和服務網點的數量兩個維度把服務劃分為六種類型［20］。航空公司的服務屬于多網點，由顧客到企業接受

從旅客創造價值角度出發，航空客運服務價值鏈如圖1［22］。服務的類型。

圖1 航空客運服務價值鏈

航空公司服務質量是航空公司通過與民航其他單位協作而提供服務的使用價值是否滿足旅客安全、準時、方便、舒適地從始發地到目的地的旅行需要的程度［21］。對航空企業服務質量的準確測度有利于提高乘客滿意度、忠誠度，對于提高企業核心競爭力具有重要的現實意義和理論意義。

此價值鏈從旅客開始接受航空客運服務的訂票服務開始一直到一次航行的結束，并延伸到后續的服務，較為全面地對航空客運服務的各個環節進行了分解。限于篇幅的限制，本文將空中服務這一環節作為算例，實踐基于灰色關聯改進的加權Topsis方法。價值鏈的其他環節的計算過程同理，最終形成對航空公司服務質量完整的測度體系。

根據上文提到的服務業的特點，參考相關文獻，將航空公司客運服務按照可靠性、有形程度、回應性、保證性和移情性，細化為乘務員的精神面貌等14個維度，以海航、南航、東航、國航、上航、深航、廈航、川航和山航九家航空公司的網上調查數據作為原始數據，調查結果見表1。

表1 航空公司服務質量網上評價匯總

(一)權重的確定

利用上述計算權重的方法，首先組織專家調研，針對上述14個服務質量評價指標，對九家航空公司高管及高校相關研究專家進行問卷調查，以服務質量中的第一項“乘務員的精神面貌”為例，設計五個等級，“很不合理、不合理、合理、很合理、非常合理”五個等級分別對應1、2、3、4、5分。綜合14項指標得分，得到F=ATA。之后應用matlab軟件直接計算F的最大特征值λmax，以及其所對應的特征向量并進行單位化，得到相對重要性權重。再對所得結果進行一致性檢驗，最后得到我國航空客運服務質量指標的權重為：

(二)計算灰色關聯系數

由于資料數據都是同一標準的，因此不需要再進行標準化，加權之后如下：

尋找參考數列：

由于對服務質量的打分越高越好，因此所選的參考數列為 每 一 項 的 最 大 值 ， 之 后 通 過 Δi(k)=|z0k-zik|，計算灰色關聯系數，得到灰色關聯矩陣，結果見表2。

表2 灰色關聯矩陣

(三)Topsis法進行最終測度

首先挑選出正理想解和負理想解，計算到正理想解的距離：

到負理想解的距離：

得到我國航空客運服務質量的綜合排序，按服務質量由好到差的順序為：海航、國航、東航、南航、山航、上航、廈航、深航、川航。用經典TOPSIS方法對我國航空公司客運服務質量的評價結果與本文所建立的方法結果對比如表3。

表3 兩種方法評價結果對比

本文所建立的方法測度結果同國際航空運輸服務質量評級權威機構SKYTRAX對世界航空公司的服務質量的星級排名結果完全吻合。2009年，該機構通過大規模顧客與專家評價的方法對于上述航空公司的星級評價是：海航和國航服務質量為四星級，東航、南航、山航、上航、廈航、深航和川航服務質量為三星級。從結果來看，基于灰色關聯改進的加權TOPSIS方法的測度結果更加準確，從方法來看，本文所建立的測度方法則更加明確地揭示了乘客對于航空公司服務質量的偏好，以及航空公司服務質量結果的成因。這對于航空公司提高服務質量具有更加明確的指導意義。

首先，改進的方法為權重設置提供了切實可行的方案，致使評價的結果與簡單平均方法不同，關鍵指標如安全性、正點情況、乘務員的精神面貌、飛機起降的感受等對于航空公司服務質量的總體評價具有更重要的影響。例如海航、東航、南航在這些關鍵指標中都具有相對的優勢，因此奠定了其服務質量排名的基礎。

第二，改進的方法具有TOPSIS法和灰色關聯分析法的優點，又彌補了各自的不足，即既具有剛性的特征，又反映了柔性的需求，評價中體現為對指標平穩性的要求。乘客對航空公司服務質量的感知往往是綜合性的，各項指標的平穩性在最終評價中起到重要作用。例如川航和深航，各項指標得分的波動性較大，盡管兩者的平均得分并不低，但在綜合比較中卻失去了優勢，其原因就是出現了個別指標嚴重低于其平均值的情況。而排名較前的幾家航空公司得分相對平穩或略高于平均分，這一點對于其最終排名起到了重要的作用。這對于航空公司的啟示是，一項令顧客感到不滿意的服務對企業的損失是巨大的。

六、結束語

現有的評價方法中傳統TOPSIS法只計算相對距離而忽視曲線趨勢，而傳統灰色關聯法只關注曲線形狀而忽視數據序列之間的相對關系。本文提出的基于灰色關聯系數改進的加權TOPSIS法針對以上兩種方法的各自的特點，優勢互補，通過計算灰色關聯系數的相對貼近度對方案進行綜合的評價研究。在評價過程中，提出了采用Group-AHP方法增加權重確定的可實施性，簡化了權重確定在實際操作中的難度。

本文對具體案例的研究表明基于灰色關聯系數改進的加權TOPSIS法與經典TOPSIS方法相比對于評價我國航空客運服務質量管理具有更好的適用性，評價的結果與實際情況基本吻合，該方法考慮了各項指標的不同權重，同時以指標得分的穩定性作為衡量服務質量的重要因素，符合服務業注重顧客感知質量及顧客滿意度的特點。同時該方法為航空公司提高客運服務質量和乘客滿意度提供了定量的依據。

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