時滯微分方程弱解的最終可微性

王惠玲， 王文彧

（山西農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，山西晉中 030800）

考慮如下形式的時滯微分方程:

其中

和

雖然（ADDE）弱解的最終可微性看起來是一個自然的問題，但在這個課題的研究上，僅發(fā)現(xiàn)了幾篇文獻(xiàn)[1-4]。而文獻(xiàn)[2-4]都作用在Lp空間上，考慮了在標(biāo)準(zhǔn)X值函數(shù)空間上T（t）是解析和Φ是無界（但在某些意義下關(guān)于 A相對有界）的情況。而文獻(xiàn)[5]是作用在C（[-1，0]，X）空間上，且較文獻(xiàn)[2-4]而言，在 Φ上有較強(qiáng)的假設(shè)，即Φ有界，但在T（t）上的條件卻是最優(yōu)的。它利用A的預(yù)解式顯得表達(dá)出了半群VΦ的生成元的預(yù)解式，再根據(jù)文獻(xiàn)[6]的定理2.4.7得到VΦ的最終可微性，進(jìn)而由 VΦ的最終可微性推出（ADDE）弱解的最終可微性。

文中繼續(xù)探討（ADDE）弱解的最終可微性問題，也就是相應(yīng)于任一初始值f，（ADDE）的弱解是否在[t0，∞）對某個t0是（ADDE）的古典解。文中仍然假定Φ有界，但T（t）立刻可微和Φ的值域R（Φ）?D（A）中，在這些條件下，直接利用可微性的定義來討論（ADDE）的弱解u（t）對某個t0的最終可微性。

考慮時滯微分方程（ADDE），假定A生成X上的一個C0半群{T（t）:t≥0}，Φ:C（[-1，0]，X）→X是一個有界線性算子。

為了通過半群的方法解決（ADDE），我們引入相應(yīng)的C（[-1，0]，X）空間上的時滯微分算子（BΦ，D（BΦ）），定義為:

定理 1[7]定義（1）中的算子 BΦ生成C（[-1，0]，X）空間上的強(qiáng)連續(xù)半群{VΦ（t）:t≥0}。

半群{VΦ（t）:t≥0}有下面的平移性質(zhì):

下面的命題總結(jié)了VΦ與（ADDE）弱解之間的關(guān)系，并證實了（ADDE）是適當(dāng)?shù)摹?/p>

命題1[5]f∈C（[-1，0]，X），定義

1）u是（ADDE）的唯一弱解。

2）如果 f∈D（BΦ），那么u是（ADDE）的一個古典解。

3）如果u′（t）對某個t≥0存在，那么u（t）∈D（A）且u′（t）=Au（t）+Φ ut成立。

定理2 時滯微分方程（ADDE），A生成X上的一個立刻可微半群{T（t）:t≥0}，Φ:C（[-1，0]，X）→X有界，且Φ的值域R（Φ）?D（A），則時滯微分方程（ADDE）的弱解最終可微。

證明:由命題知（ADDE）的弱解為:

下面考慮t＞0的情況，由式（2）和式（3）有:

T（t）可微，得到

由于Φ的值域R（Φ）?D（A）

下面證明，當(dāng)h→0時

當(dāng)h→0時，s→t，t+h-s→0，故當(dāng)0≤h＜δ時，由T（t）的強(qiáng)連續(xù)性，有

又由 Φ，VΦ的有界性有，當(dāng)0≤h＜δ時

所以

故

所以

因此，時滯微分方程（ADDE）的弱解最終可微。證畢。

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