基本數學活動經驗研究述評

羅朝陽 張宏斌

(1. 昌吉學院數學系 新疆 昌吉 831100；2.喀什疏附縣第二中學 新疆 喀什 844100)

2005年，我國基礎教育數學課程改革反思研究提出的新術語“基本數學活動經驗”體現了當前數學教育研究的新進展和新趨勢，是對我國數學教育研究工作的進一步深化。同年，國家教育部組織數學與數學教育界有關專家開始進行《全日制義務教育數學課程標準》(實驗稿)的修訂工作。翌年，史寧中提出把數學教學中的“雙基”，發展為“四基”，即在基礎知識和基本技能的基礎上再加基本思想和基本活動經驗。2007年，張奠宙指出：“基本數學思想我們已經提倡多年，現已成為中國數學教育的特色之一。那么,什么是‘基本數學活動經驗’呢？如何加以界定？這似乎還需要做一個基礎性的研究。”[1]

1 基本數學活動經驗的內涵

1.1 經驗與學習經驗

通常認為經驗是源于感官知覺的觀念和來源于反思的觀念。杜威指出“教育就是經驗的改造和改組，這種改造和改組既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力”。本文僅限于討論學習經驗，正如泰勒所指出的“學習經驗是學習者與他對做出反應的環境中的外部條件之間的相互作用。學習經驗的獲得取決于學習者的學習行為，是生成的和情境的。教師的職責是為每個學生提供有意義的經驗”。[2]

1.2 數學活動與數學活動經驗

由于經驗是在與環境的相互作用中產生的，因此數學經驗主要來源于數學活動。而學生的數學活動主要是指學生在教師指導下開展的以實物、模型、數學語言、數學思想、方法和策略為操作工具，以完成特定的數學任務為目標，通過多種形式，涉及知、情、意、行全面參與的學習和應用數學的行為、思維和情感活動相互交織的活動集合體。[3]

目前對于數學活動經驗的認識在我國數學教育界并未達成一致。我國基礎教育數學課程標準中認為“數學活動經驗是數學知識”。[4]曹才翰和蔡金法等指出“數學活動經驗不同于數學知識，是個體的感受和體驗”。顧泠沅和馬復等認為“數學活動經驗是一種認識，這種認識中必然伴隨著個體的價值判斷和情感成分”。[5]史寧中認為“數學活動經驗是指學生親自或間接經歷了數學活動過程而獲得的經驗”。張奠宙等則指出 “數學活動經驗是指學生在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。”[6]孔凡哲指出“數學活動經驗是圍繞數學課程的特定教學目標，學生經歷與數學學科相關的各類基本活動之后，所留下的直接感受、體驗和感悟。它是學生與數學課程的學習活動相互作用的結果。”[7]其它關于數學活動經驗內涵的理解見文[2]、[3]和[11]。

1.3 基本數學活動經驗

基本數學活動經驗應是學生在特定的數學教學目標的指引下，在進行數學探究和發現活動整個過程中形成的，并經學生自我反思的對多數學生均能起到指導其思維和操作進程的最為核心的知識經驗、操作經驗(技能性經驗)、情感體驗、思考經驗和應用意識等。它隸屬于數學活動經驗，是數學活動經驗中最為基礎、最為關鍵的部分，是其它數學活動經驗的出發點和基礎。其主要作用是有助于學生以數學的眼光發現問題、思考問題、形成猜想，同時發展學生的合情推理能力和應用創新意識。其中，應用意識應是基本數學活動經驗的核心成分。也就是說基本數學活動經驗的外延小于數學活動經驗的外延，更多的是直觀經驗和準直觀的經驗或認為是初步的抽象經驗。

2 基本數學活動經驗的研究內容與分類

一般地，“基本活動經驗包含體驗性內容、模式方法性內容和策略性內容等成分。”[8]張奠宙等將數學活動經驗概括為直接數學活動經驗、間接數學活動經驗、專門設計的數學活動經驗和意境聯結性數學活動經驗。[9]另外，仲秀英指出“數學活動經驗包括認識經驗、選擇經驗、決策經驗、判斷經驗、推廣經驗、交流經驗、協調經驗和問題解決經驗等。”[10]王新民等認為“數學活動經驗的最基本成分是演繹活動經驗和歸納活動經驗。”[11]

孔凡哲提出基本數學活動經驗主要包括：基本的數學操作經驗(即基本的代數、幾何操作經驗等)；基本的數學思維活動經驗(包括代數歸納的經驗，數據分析、統計推斷的經驗，幾何推理的經驗等)；發現、提出、分析和解決數學問題的經驗以及進行數學思考的經驗等方面。[12]我們認為，應將義務教育階段的基本數學活動經驗概括為：基本數學情感體驗(指對數學的好奇心和求知欲、在數學學習中獲得的成功體驗、對數學嚴謹性，數學結果的確定性的感受和對數學美的欣賞以及‘數學有用’的信念、應用數學知識的信心、科學態度和理性精神等的一種原初的價值判斷和經驗意識等)、由生活情境生成的數學經驗(包括由日常生活情境和社會科學文化情境生成的數學經驗等)、基本數學操作經驗(應增加基本數學技術操作經驗，其它成分同上)、基本數學思維活動經驗(應增加對基本算理理解的經驗，其它成分同上)和發現提出數學問題的經驗等五個方面。因為，數學活動中必然伴隨一定的情感體驗，并以學生已掌握的日常生活中的常識性知識體驗和認知情境作為新內容的認知依據。提出基本數學活動經驗的主要目的是為了解決義務教育階段數學課程三維目標中的過程性和情感性目標難以落實的問題。而思考的經驗可納入發現、提出數學問題的經驗之中。分析和解決數學問題的經驗則應視為一種綜合性數學活動經驗。

3 基本數學活動經驗的特征

數學活動經驗是個體為達成一定數學目標而主動學習的結果；它來源于日常生活經驗，又高于日常生活經驗，是人們的數學經驗最貼近現實的部分；它是指對具體形象的事物進行具體操作和探究所獲得的經驗；它的習得需要經歷數學化的過程并和探究性學習相聯系。[13]黃翔等認為數學活動經驗具有主體性、實踐性、發展性、多樣性等四個特征。[14]李長會等把數學活動經驗概括為主體性、實踐性、內隱性、多樣性、指導性和過程性等特征。[15]武江紅則提出數學活動經驗具有主體性、實踐性、社會性和遷移性。[16]

考慮到基本數學活動經驗特定的課程目標指向和基礎教育階段數學課程的特點以及學生的年齡特征與認知水平。基本數學活動經驗的主要特征應概括為：個體差異性(不同的學生所獲得的基本活動經驗和掌握、運用它們的水平程度也不同)、社會探究性(即學生參與數學活動要和不同個體，不同領域進行表述、交流和協商。該過程中充滿了不斷的探索、發現和精確化)、過程內隱性(基本數學活動經驗是一種內隱的緘默性知識，學生必須經歷數學活動的過程，才能通過體驗、感知和反思獲得之)和發展遷移性(即基本數學活動經驗更多表現為原發的、直覺的、非嚴格理性的、可變的和隨著學生認知水平，智力發展和數學活動經驗的日益豐富而不斷完善的。同時，學生已有的數學活動經驗，在一定的情境下受到激勵就易被激活，從而影響當下情境的數學活動)。

4 基本數學活動經驗水平的界定

從活動的內容角度，數學活動可分為經驗材料的數學組織化，數學材料的邏輯組織化和數學理論的應用三個層次。從數學學習的角度，數學活動可分為：水平數學化和垂直數學化兩個層次。[17]學生對數學活動的感知水平與反思能力直接決定著其基本數學活動經驗水平的高低。因此，我們可將基本數學活動經驗水平概括為：原初經驗水平、再生經驗水平、再認經驗水平、概括性經驗水平和經驗圖式水平。[18]對基本數學活動經驗水平的界定有助于我們把握學生獲得數學活動經驗的進程，并對其已經形成的基本數學活動經驗進行評估分析，在實際教學中根據學生的具體情況采用相應的策略和方法，不斷提高教學過程的有效性，使學生的數學活動經驗水平逐步從較低層次向較高層次發展。

5 基本數學活動經驗對數學課程教學的作用

學生獲得的基本數學活動經驗可以極大地促進其對基礎知識、基本技能的理解與掌握。如數學思想是怎樣產生的？數學結論是怎樣被發現的？基本方法是怎樣被運用的？基本原理是怎樣被驗證的？等等。基本數學活動經驗既包含學生進行知識技能學習過程中思考的經驗和體驗，也包含學生對于知識技能的自我詮釋。所以獲得基本數學活動經驗是實現新課程三維目標中“情感、態度、價值觀”目標的必要前提。

數學思維活動經驗中關于思考的活動經驗往往可以誘發學生慎思明理、辯證地處理問題，進而形成嚴謹務實的思維習慣。[19]如通過歸納、演繹、類比、計算、建模、隨機抽樣、數據處理等獲得的基本數學活動經驗，從本質上講是關于數學活動的緘默性知識，它儲存于人的潛意識中，對數學直覺思維的產生有重要作用。特別是學生已有的關于歸納的基本數學活動經驗對于發現真理有重要的啟示作用。

基本數學活動經驗的獲得有助于學生在經歷和體驗問題解決的過程中進一步豐富和發展自己已有的數學活動經驗，并掌握和領會進行數學活動的思想、策略和方法。對于其做數學和開展數學活動，建構新知識的心理意義和形成合理的數學認知結構都有至關重要的作用。基本數學活動經驗中蘊含著的基本策略性成分(如一般化、特殊化、直觀化、抽象概括、推廣引申等)和基本方法模式性成分(如消元法、待定系數法、迭代法、計算的模式、推理的模式、處理隨機現象的模式、統計的模式等)對于學生開展創新活動具有十分重要的奠基作用。基本數學活動經驗的習得有助于學生形成應用意識和創新意識，樹立進行數學探究活動的信心。也有助于培養學生的科學態度和理性精神，形成良好的情商。

6 落實基本數學活動經驗的要點

6.1 通過數學活動形成良好的基本數學情感體驗

對數學的強烈好奇心與求知欲；對數學過程與結果的經歷、體驗和感受；對數學美的欣賞；對學習數學知識的信心等基本的數學情感體驗屬于個體的非智力因素范疇，有需要不斷完善使之趨于穩定心理特征的趨勢。基本的數學情感體驗和數學活動經驗一樣都屬于緘默性知識，這種知識更多的是在活動中，通過教師的顯化，學生經歷、意會、體驗和感悟而得。因此，只有個體充分參與和經歷豐富的數學活動，才能積累足夠的數學活動的原初體驗和經驗。而這種原初體驗和經驗必然伴隨著學生的價值觀和情感成分于其中，經不斷進行個體感悟，由量變到質變，從而在獲得相應的數學活動經驗的同時形成良好的基本數學情感體驗，并不自覺地將這些情感體驗和認知體驗一同遷移并運用于個體的后續學習與元認知。所以數學活動中應力求使學生保持一種旺盛的求知欲和愉悅的認知情感體驗。

6.2 通過數學活動積累由生活情境生成的數學經驗

在基礎教育階段，許多數學內容的認知學習都需要學生具備一定的關于生活情境或社會文化情境的個體體驗。教學中要關注學生的與數學相關的生活常識性經驗和社會文化情境經驗，更要格外關注學生的通過直接聯系日常生活經驗所獲得的和通過創設實際問題背景，構建數學模型所生成的那些源于生活情境的基本數學活動經驗的形成和積累。如在人教版高中數學(必修一)《幾類不同增長的函數模型》的教學時，可設計現實生活中諸如銀行利息、人口增長、投資回報等教學情境，指導學生開展數學探究活動，積累相應的數學活動經驗。[20]通過不同生活情境的創設和問題解決過程的經歷以及探究活動的開展和方法策略的運用，學生才可從該數學活動中體會到直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長函數模型的實際意義。從而確保學生在與數學相關的該生活情境中積極主動地獲取比較現實的基本數學活動經驗。

6.3 通過數學活動強化學生的基本數學操作經驗

基本數學操作經驗包括基本的幾何操作、代數操作、概率統計操作和數學技術操作經驗等。基本的幾何操作經驗包括測量的經驗、畫圖的經驗、作圖的經驗、折紙的經驗等。例如，學生通過“拼圖”活動，可以獲得有關圖形的平移、旋轉、軸對稱等圖形運動的活動經驗。學生在“折紙”、“測量”、“作畫圖”等幾何操作活動中可以理解幾何概念的內涵和直觀地驗證幾何結論的真偽等。例如，“用一張紙如何折出平行、垂直的一組線？”的活動，可以深化學生對“平行”和“垂直”這兩個基本幾何概念的理解和認識。[21]基本的代數操作經驗包括對數的運算、式的變形、代數方程與代數不等式的求解和函數圖像繪制的直接操作經驗等等。基本的概率統計操作經驗包括隨機試驗、數據的調查、搜集、整理和統計圖表的繪制等實際操作經驗。基本數學技術操作經驗主要包括運用幾何畫板、Geogebra4.0、圖形計算器等數學軟件的基本功能開展相應數學探究活動從而形成的基本操作經驗。這應該是信息時代以數學實驗和探究活動為載體培養公民信息素養至關重要的組成部分。課程應設計大量豐富的，諸如測量、實驗、調查、搜集數據等探究活動，使學生在活動中經歷數學結論的發現、探究過程，發展學生的探究意識、應用意識和活動認知水平。

6.4 通過數學活動豐富學生的基本數學思維活動經驗

基本的數學思維活動經驗包括代數歸納、理解算理、幾何推理、數據分析、統計推斷的經驗等。代數思維是義務教育數學課程數與代數內容的主要特點，其中代數歸納經驗的習得是讓學生親歷由具體數值計算到抽象符號表達的過程，獲得相應的代數歸納經驗。教學中應引導學生對許多代數公式、原理和法則通過特殊情況歸納發現規律，再通過一般性的推理，驗證得出結論，在此過程中感悟獲得代數歸納經驗。在代數推導過程中對算理的理解經驗可以有效提高學生掌握和運用相應的公式法則的熟練程度，因此教學中也是要十分關注的基本數學活動經驗成分之一。基礎教育數學課程中的推理主要包括以歸納、類比為主的合情推理和以邏輯推斷為主的演繹推理。通常有不完全歸納推理、借助圖形直觀的操作活動和典型的演繹證明三種推理方式。通過這三種數學思維活動學生所獲得的關于幾何推理的直接活動經驗，對于其掌握幾何推理的技能、形成推理能力，具有十分重要的促進作用。另外，教學中只有使學生經歷實驗、猜測、收集、整理、描述和分析處理數據的全過程，他們才能在新的問題情境中，根據數據分析的結果做出合理的統計推斷，才能真正掌握統計的有關內容，理解統計思想，形成統計觀念。才能夠體會到統計的思維方式和活動特點，積累統計活動的直接經驗，進而促進學生數據分析意識的形成。[22]

6.5 通過數學活動培養學生發現和提出數學問題的經驗

發現和提出數學問題的經驗應該包括思考的經驗、進行數學探究時對所采用的模式、策略和方法的直覺判斷經驗等等。思考的經驗主要指在思維操作中開展活動而獲得的經驗。比如，歸納、類比等合情推理的經驗、驗證的經驗等。數學探究是基于問題解決展開的建立在運用已有的一種或幾種基本策略、基本模式和基本方法等經驗基礎上的數學活動。數學探究時對所采用的模式、策略和方法的直覺判斷經驗是在這樣的活動中產生和積累的一種集成行為操作和思維操作為一體的問題解決的直接經驗，而不是間接的、純粹思維層面的活動。教學中應該以能使學生積極參與充分交流、能充分體現數學的本質、能提供良好學習環境和問題情境、能為學生獲得更多的基本數學活動經驗提供廣闊的探索空間的數學活動為載體，培養學生發現和提出數學問題的經驗。

7 亟待解決的問題

近年來，雖然關于基本數學活動經驗方面的研究成果不斷涌現。但迄今為止，在理論研究層面的相關成果多數是抽象的分析和概括；關于基本數學活動經驗與教學實踐的整合方面的研究成果也均是一些教學經驗的膚淺總結；而關于學生基本數學活動經驗在教和學中的具體操作策略與方法等問題的研究還相對較少。在課程實施層面，為了解決過程與方法目標在具體的數學教學中難以實際落實的窘境，勢必將基本數學活動經驗的習得作為數學課堂教學的具體目標之一。因此就要對如何判斷學生是否真正獲得所要求的基本數學活動經驗？如何對學生基本數學活動經驗的水平層次進行合理的評價？如何評判學生基本數學活動經驗習得的外部表征和內部機制？等問題進行積極思考和深入研究。這些問題的解決無論從理論層面還是具體教學實踐操作層面來講都具有十分重要的價值。在教學實證研究層面，能否采用課堂觀察，學生訪談，測試，問卷調查等方式判斷出學生對基本數學活動經驗的掌握情況，這些都有待于進行相應的實證研究。

參考文獻：

[1]張奠宙,趙小平.需要研究什么是“基本數學活動經驗”[J].數學教學,2007,(5).

[2][10]仲秀英.學生數學活動經驗的內涵探究[J].課程·教材·教法，2010,30(10)：52-56.

[3]宋運明.論數學問題提出和數學活動經驗的關系[J].數學教育學報，2010,19(6):34-36.

[4]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)[S].北京：北京師范大學出版社，2001.

[5]馬復.論數學活動經驗[J].數學教育學報，1996,5(4):22-25.

[6][9][13]張奠宙，竺仕芬，林永偉.“基本數學經驗”的界定與分類[J].數學通報,2008,47(5):4-7.

[7][8][19][21]孔凡哲.基本活動經驗的含義、成分與課程教學價值[J].課程·教材·教法,2009,(3):33-38.

[11][17]王新民，王富英，王亞雄.數學“四基”中“基本活動經驗”的認識與思考[J].數學教育學報，2008,17(6)：17-20.

[12][22]孔凡哲,張勝利.基本活動經驗的類別與作用[J].教育理論與實踐,2009,(5).

[14]黃翔，童莉.獲得數學活動經驗應成為數學課堂教學關注的目標[J].課程·教材·教法，2008,28(1): 40-43.

[15]李長會,吳立寶.數學基本活動經驗的特征分析[J].數學教學通訊,2009,(24):3-4.

[16]武江紅,數學活動經驗的內涵及特征探析[J].河北師范大學學報(教育科學版),2009,11(2):107-109.

[18]章飛.數學活動經驗的教科書實施[J].課程·教材·教法，2010,30(12):45-49.

[20]黃加衛,姚云翔.議“數學基本活動經驗”在高中教學中的價值審視[J].數學教學研究,2010,29(02):22-25.