周期邊界條件下2×2 Sturm-Liouville算子特征值的秩

婁珍珍 ,李靈曉

(1.凱里學院數理系,貴州凱里 556000;2.河南科技大學數學與統計學院,河南洛陽 471003)

0 前言

對于常型常微分算子的特征值問題的討論,已經知道可以轉化為一個整函數零點的討論[1-5]。本文研究了2×2 Sturm-Liouville周期邊界條件問題,闡明了特征值的秩與其相應函數零點重數是相一致的,該結論的給出對于特征展開定理和跡公式的計算有著重要的意義。

1 問題的提出

記

考慮下面周期邊界條件下的特征值問題:

設φi=(φ1,φ2)T,(i=1,2,3,4)是4個滿足式(1)中第1式的解,分別在x=0處滿足

顯然,Wronsky行列式W[ф1(x),ф2(x),ф3(x),ф4(x)]=1,4個解線性無關,可以構造一個基礎解系。設

是特征函數,則y(x)一定滿足式(1)中第2式的邊界條件,即

此式可依次寫成以下齊次線性組:

由方程組有非零解知,系數行列式為零。記

命題1 記

(i)λ0為問題(1)的特征值的充分必要條件是ω(λ0)=0。

(ii)R(λ0)+R(Ω(λ0))=4。

命題2 設Ψi(x,λ)(i=1,2,3,4)是4個滿足方程(1)第1式的解,記為

記ai=(ai1,ai2,ai3,ai4)T,i=1,2,3,4,其中ai≠0,如果ω(λ0)=0,且ΩTai=0,則(i)Ψi(x,λ0)是問題(1)的特征函數,且滿足

其中,i=1,2,3,4;j=1,2。

(ii)式(5)中極大線性無關組中的個數為R(A)。

由Lagrange恒等式及文獻[6]可得:

引理1 設Ψi(x,λ0)是式(5)所給的特征函數(i=1,2,3,4),λ0是特征值,簡記Ψi(x,λ0)為Ψi;記一元函數Ψ(π,λ)在λ=λ0處的取值為:

其中,i=1,2,3,4;j=1,2;k=1,2。記兩矢量函數ψ,ф內積為 ＜ψ,ф＞,其定義為:

可得到16個恒等式,矩陣形式如下:

2 問題的解決

定理1 設λ0為問題(1)的特征值,其秩記為R(λ0),則R(λ0)=r(r=1,2,3,4)的充分必要條件是ω(i)(λ0)=0(i=0,1,…,r-1),且ω(r)(λ0)≠0。其中“(i)”代表ω(λ)=0關于λ的i次導數。

證明 由命題2的結論(2),以下按r=4證明定理的結論。

(i)R(A)=4,λ0對應4個特征函數Ψi(x,λ0),r=1,2,3,4。

(ii)R(A)=3,ω(λ0)=ω(λ0)=ω(λ0)=0,ω(3)(λ0)≠0。

R(A)=2,ω(λ0)=ω(λ0)=0,ω(λ0)≠0。 R(A)=1,ω(λ0)=0,ω(λ0)≠0。

類似(i)的步驟可證明以上結論,因篇幅有限,本文不再贅述。

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