三視圖能否正確而完整表達簡單形體的探討

(西南石油大學(xué)機電工程學(xué)院，四川 成都610500）

對于學(xué)習(xí)機械制圖者來說，三視圖是需要掌握的一種最基本的視圖表達方法[1-2]，因為其可反映實形、作圖簡便、利于圖示和圖解，并且在一個形體按正確的方位擺放好后，其基本的三視圖是唯一確定的，不象向視圖、剖視圖等可能會有多種表達方式。此外，在生產(chǎn)實踐中，三視圖是應(yīng)用最為廣泛的一種視圖方法。正是由于三視圖使用的廣泛性，在人們的直觀印象里，覺得單從完整性上考慮，任何一個形體好象都可以用三視圖來完全表達。筆者查閱了相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)書籍文獻并沒有對三視圖的唯一確定性進行具體說明，基本上都是一筆帶過，如 “有些機件的外形和內(nèi)形都較復(fù)雜，僅用三視圖和‘可見部分畫粗實線，不可見部分畫細虛線’的方法不可能完整、清晰地把它們表達出來[3]。”這種簡單的描述顯然不能說明三視圖就不能唯一表達一個形體。換句話說，給出一組三視圖，根據(jù)視圖構(gòu)想出的形體是否唯一，還沒有得到理論性的證明。要想證明上述問題，最簡便的方法是找出一個反例。下面，筆者對三視圖能否正確而完整表達簡單形體進行討論。

1 問題的提出與討論

1．1 關(guān)于該問題的相關(guān)說明

如果在一組三視圖中，如果能找出2種或2種以上的形體完全符合這組三視圖，那就可以證明三視圖不能完整而唯一表達一個形體。筆者認為，這種找尋只能從簡單形體入手。因為較為復(fù)雜的零件圖或裝配圖也許用三視圖不能完全表達，但這種說明極其繁雜，將零件圖或裝配圖改成三視圖更是難上加難。所以，研究重心應(yīng)該是簡單形體。對于點、線、面這些最基本的元素甚至更多簡單形體，僅用2個視圖就可以完全表達。根據(jù)2個視圖，可以找出另外1個視圖。上述過程涉及到許多幾何方法，如 “長對正，高平齊，寬相等”或者其他特殊的方法(換面法）等[1-2]。即使是很復(fù)雜的曲線投影如相貫線的投影，利用三視圖來表達也是唯一的，只是其度量稍顯復(fù)雜[4]。所以，利用三視圖來表達已經(jīng)相當完備。筆者嘗試從視圖的 “盲區(qū)”來找切入點，即讓左視圖的外輪廓線把 “后面”的線遮掩住，使得視圖所表達出的形體有多解。筆者終于在解題過程中發(fā)現(xiàn)了一個反例。下面，對該例題進行簡要分析。

1．2 例題分析

圖1所示為例題圖。從圖1可以看出，最左邊的上下2個視圖分別是三視圖中的主視圖和俯視圖。該題的主視圖和俯視圖完全相同，都是正方形里面加兩條豎線。右邊4個選項分別是這個形體可能出現(xiàn)的4種左視圖。該例題的要求是根據(jù)4種左視圖找出三視圖所表達的4個形體。

圖1 例題圖

很明顯，該例題想說明僅用2個視圖有時并不能完全表達一個形體，比如該題中僅給出主視圖和俯視圖，左視圖就可能會出現(xiàn)多種情況。

對于圖1中A、B、C選項所表達的形體，直接給出其實體圖，如圖2所示。

圖2 ABC選項的立體圖

需要說明的是，對于C選項，其實還可以延伸出其他幾種情況。該選項的圓弧是右上凹的，其實還可以右上凸。同時，虛線也可以轉(zhuǎn)為實線。這幾種情況均滿足主視圖和俯視圖，都能表達出不同的形體。

對圖1中的D選項進行重點分析，因為通過D選項可以找出反例。首先，從左視圖上來看，其復(fù)雜程度要略高于其他3個選項，可以采用分割的辦法進行分析。該形體從主視圖和俯視圖上來看，可以分為3個部分。按由近及遠的順序可以看出，第1部分為1個直角三棱柱，第2部分也是1個直角三棱柱，只是擺放方式不同，導(dǎo)致第2部分的上半部分會被第1部分遮擋，從而出現(xiàn)虛線。對于第3部分，直角三棱柱和長方體都滿足要求而形成獨立的形體(見圖3），因而三視圖的確不能完整唯一表達一個形體。

圖3 D選項的2種實體圖

絕大多數(shù)形體都可以用三視圖完全表達，為何出現(xiàn)上述情況呢？要解釋該問題，可以對D選項左視圖中的頂點和交點加以編號，如圖4所示。

圖4 D選項分析圖

圖4是一個從左向右看的視圖，研究者僅僅只是將從該角度看到的圖形繪制成圖，后面看不見而未被粗實線遮擋的地方用虛線表示。所以，在投射過程中，如果后面的線條被前面的粗實線所遮擋——也就是后遇到投射線，則該線條為不可見，在圖中不能表現(xiàn)出來。比如第3部分的圖形為三棱柱時(見圖3（a）），投影出來應(yīng)該是一個三角形，而圖4中的CD邊即為該三角形的可見部分，另外2條邊被CB邊和BD邊所遮擋，為不可見。所以在該情況下，第3部分的加入，僅僅追加了一條粗實線(線段CD）而已。

如果第3部分是長方體，投影出來的應(yīng)該是正方形。圖4中CD邊即為正方形的可見部分，而正方形的另外3條邊全被遮擋。從結(jié)果上看，第3部分的加入仍然只是多出了一條粗實線而已，因而上述2種情況同時滿足主視圖和俯視圖的要求。

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致該三視圖有多解的癥結(jié)在于視圖的可見與不可見。有關(guān)視圖的可見與不可見的問題涉及到機械制圖中的一個相當重要的概念，即重影點，與此相關(guān)的概念是重影線。

2 重影點及重影線的分析

重影點的基本定義是當空間2點位于垂直于某投影面的同一條投射線上時，2點在該投影面上的投影重合，則該2點叫做重影點。在投射過程中，重影的2點中先遇到投射線者為可見，后遇到投射線者被前者遮擋，為不可見。

應(yīng)用重影點可以判斷2條直線的相對位置，是相交還是交叉[5]，分別如圖5和圖6所示。

圖5 2直線相交圖

圖6 2直線交叉圖

由圖5可知，如果AB、CD2條直線相交，那么H面和V面中的2個交點k和k′的連線應(yīng)該垂直于投影軸OX軸。由圖6可知，如果AB、CD2條直線交叉，則1′、3點連線不垂直于OX軸，視圖中的2個交點均為重影點。通過重影點，可以很清晰地判斷2條直線在另一個投影面上的前后關(guān)系。

重影點還可以應(yīng)用于直線與平面的位置關(guān)系以及平面與平面的位置關(guān)系中。

當點排列成為線時，根據(jù)重影點的概念，可以衍化出重影線的概念，即空間中的2條直線，只要其中有一條直線上的任意一點都能在另一條直線上找到唯一并且不同的點，這2點同時通過投射線，則2條直線被稱為重影線。如上述反例就可以用重影線來進行說明。反例中提到的2種可能情況，都是因為在左視圖上無法判斷有無重影線。因為重影線只有先遇到投射線者可見，所以 “后方”的直線成為 “盲區(qū)”，導(dǎo)致最終產(chǎn)生了多種不同情況。因此，無法判斷出重影線的有無才是導(dǎo)致三視圖不能完全唯一表達一個形體的根本原因。

3 結(jié) 語

從基礎(chǔ)視圖方法三視圖中所產(chǎn)生的問題出發(fā)，引出實際例題，對該例題進行了詳盡的分析，說明三視圖不能完全唯一表達一個形體。同時，對該命題所延伸出的內(nèi)容進行分析，闡述了重影點和重影線，并由此說明無法判斷有無重影線才是三視圖不能完全唯一表達一個形體的關(guān)鍵。

[1]鄭孫輝．淺談學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法在制圖教學(xué)中的應(yīng)用 [J]．教育與職業(yè)，2009（26）：148-149．

[2]王曉雪．工程制圖課的教學(xué)模式探討 [J]．教育理論與實踐，2009（29）：49-50．

[3]唐克中，朱同鈞．畫法幾何及工程制圖 [M]．北京：高等教育出版社，2009．

[4]劉朝儒，吳志軍，高政一，等．機械制圖 [M]．北京：高等教育出版社，2006．

[5]姜勇，李善鋒，謝衛(wèi)標．Auto CAD機械制圖教程 [M]．北京：人民郵電出版社，2008．