不動點定理的相關應用

劉 波, 李承耕

(韓山師范學院數學與信息技術系, 廣東 潮州 521041)

不動點定理的相關應用

劉 波, 李承耕

(韓山師范學院數學與信息技術系, 廣東 潮州 521041)

主要介紹了Banach 不動點理論及其在數學分析、積分方程、微分方程中的應用，應用不動點理論證明了閉域套定理、積分方程和微分方程解的存在唯一性。

不動點；不動點定理；應用

1 Banach不動點定理

定義1[1]設X是給定的集合，T:X→X為X到自身中的映射，如果?x0∈X使得Tx0=x0，則稱x0為映射T的一個不動點。

定義2[2]設X=(X,d)是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個數a，0

d(Tx,Ty)≤αd(x,y)

(1)

則稱T是壓縮映射。

定理1[3]設X=(X,d)是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點。

2 閉域套定理的證明

證明設{Dn}是R2中的閉域列，p1,p2是閉域Dn中的2個點，坐標為p1(x1,y1),p2(x2,y2)，定義距離d(p1,p2)=|x1-x2|+|y1-y2|，則閉域Dn顯然是完備的度量空間。

對?p(x,y)∈Dk，設ak=min{x|(x,y)∈Dk}，bk=max{x|(x,y)∈Dk}，ck=min{y|(x,y)∈Dk}，dk=max{y|(x,y)∈Dk}，作映射：

對?p(x,y)∈Dk，有Tp(Dk)?Dk，所以Tp是Dk到自身的一個映射。

現證T是壓縮映射，任取p1,p2∈Dk，滿足：

“你小子呀，總算來了。”小表姐楊曉梅把兩盤菜放在餐桌正中間，“你快坐下吧。你們娘倆多親近，我這還有兩個菜，你們先吃著，我就來。”

由于Dk+1?Dk，所以:

令:

得到:

d(Tp1,Tp2)≤αd(p1,p2)

3 積分方程解的存在唯一性

定理3設f(x)為a≤x≤b的連續函數，k(x,t)為正方形a≤x≤b，a≤t≤b上的連續函數。若存在常數M使得:

由于α=|λ|M(b-a)<1，所以T是C[a,b]到C[a,b]的一個壓縮映射，由Banach不動點定理，存在一個不動點滿足方程。

4 微分方程解的存在唯一性

[1]張恭慶,林源渠.泛函分析講義(上冊)[M].北京:北京大學出版社,1998.

[2]程其襄.實變函數與泛函分析基礎[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 薛昌興. 實變函數與泛函分析[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.006

O177.2

A

1673-1409(2011)12-0014-02