“v-t”圖應(yīng)用的拓展和變換

物理圖象法是運(yùn)用數(shù)學(xué)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的途徑，直觀形象地描述物理過程、展示物理規(guī)律、揭示物理問題的一種重要方法. 結(jié)合圖象，學(xué)生也能夠較容易地理解物理過程，發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律，找到解決問題的捷徑，解決繁雜問題.

在中學(xué)教學(xué)中，v-t圖是常用的數(shù)學(xué)圖象. 但一般，我們往往是將它應(yīng)用在勻速或者勻變速直線運(yùn)動中，例如由v-t圖分析物體的運(yùn)動情況，利用斜率求加速度，利用“面積”求位移，還可以利用v-t圖象解決追及、相遇問題等. 然而，v-t圖的應(yīng)用范圍不僅限于此，還可以應(yīng)用于非勻變速運(yùn)動過程；靈活地應(yīng)用變換技巧，也還可以表示其他物理量之間的規(guī)律. 本文試圖就此進(jìn)行探討.

一、“v-t”圖在非勻變速運(yùn)動問題中的應(yīng)用

非勻變速運(yùn)動的物體，速度、加速度等隨時(shí)間而變，簡單的運(yùn)動學(xué)公式將不能分析研究對象的位移等. 但如果能夠掌握、理解圖象的特征意義，如：“線”的斜率代表加速度；“面”即與坐標(biāo)軸圍成的面積，表示位移或路程等，則可以巧用v-t圖線與時(shí)間軸所圍面積，表示物體的位移（路程），定性結(jié)合定量分析就能直觀地表示出非勻變速運(yùn)動的過程，即能為解決相關(guān)問題提供方法.

例1．兩只完全相同的光滑的直角彎管abc和a′b′c′，按圖示1位置放置. 現(xiàn)將兩個(gè)質(zhì)量完全相同的小球A、B分別沿兩管由靜止滑下（設(shè)在直角轉(zhuǎn)彎處均無機(jī)械能損失）. 兩球到達(dá)出口c和c′處的時(shí)間分別為tA和tB，則tA和tB的大小關(guān)系？

解析：由于接觸面均光滑，且在直角轉(zhuǎn)彎處均無機(jī)械能損失，因此由機(jī)械能守恒定律可知，兩球滑至底端時(shí)的速度大小相等. 且A球在ab上的加速度等于B球在b′c′上的加速度，A球在bc上的加速度等于B球在a′b′上的加速度. 反映在圖象上，對應(yīng)直線的斜率相同. 又因?yàn)閮陕窂降穆烦滔嗟龋蕛蓤D象與時(shí)間軸圍成的面積相等. 這樣，作出兩小球的速度圖象如圖2所示，由圖象可以看出：t1

反思：例1中，球A、B均作直線運(yùn)動，加速度可求且在某一過程保持不變，故可以用解析法求解，只是計(jì)算較復(fù)雜，增加了學(xué)生的錯(cuò)誤率. 但如圖3所示的情況：接觸面均光滑、AB=，要求同樣的問題，則用解析法顯得困難，因?yàn)槲矬w沿AC曲面運(yùn)動過程中，其加速度的大小和方向均隨時(shí)間而變化，一時(shí)無法建立運(yùn)動學(xué)方程，就會感到束手無策. 若定性分析并比較物體在AB、AC面的運(yùn)動特性后，定性作出v-t圖象（v表示物體的速率，t表示時(shí)間），則可以直觀顯示t1和t2的大小關(guān)系，如圖4.

二、“v-t”圖的拓展變換

一般地，在運(yùn)動學(xué)中當(dāng)遇到需要用圖象解決的問題時(shí)，首先會想到v-t圖，我們也看到了上述例題中用圖的簡潔方便. 但有時(shí)會遇到用圖去解決，卻會產(chǎn)生困難，如下例2.

1. 將“v-t”圖拓展成為“1/v-h”圖象

例2． A同學(xué)每天早起就要從大樓底層沿大樓樓梯進(jìn)行登高鍛煉，已知大樓的每層高度均為3.78m，而A同學(xué)的登高速度又與登高高度成反比例關(guān)系，測得他剛登上四樓時(shí)的速度為0.63m/s，則可知他剛登上最高的第28樓的速度為____，A同學(xué)由四樓登至28樓所費(fèi)時(shí)間是____.

在此題中，給出的是“速度與高度成反比例關(guān)系”，即v，而不是我們經(jīng)常遇到的速度-時(shí)間之間的關(guān)系.

變換思路

根據(jù)題目“A同學(xué)的登高速度又與登高高度成反比例關(guān)系”這句話的提示，不妨變換一下圖象坐標(biāo)的物理意義，縱軸為1/v，橫坐標(biāo)為h（或h-1/v圖象），如圖5. Δt==·Δh. 由微元思想可知，圖線與橫坐標(biāo)軸圍成的“面積”為從4樓登至28樓所費(fèi)時(shí)間.

圖象法解析：4樓和28樓的高度分別為：

h1=3.78×3m=11.34m，h2=3.78×27m=102.06m，

由圖象的比例關(guān)系得：=，即v28=0.07m/s.

梯形的面積即為所用時(shí)間：

t=（+）·（h2-h1）=720s.

在以上解法中通過挖掘題中的隱含條件，由圖線圍成的面積表示位移遷移過來，巧妙作出圖象，自然想到其面積表示時(shí)間. 有效調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，深刻理解圖象坐標(biāo)軸的物理意義和處理辦法，并能逐步學(xué)會將這些方法遷移到新的問題情境中去.

拓展探究

通過以上變換，題設(shè)問題似乎已經(jīng)解決. 但進(jìn)一步思考一下：“登高速度與登高高度成反比例”的運(yùn)動是怎樣的運(yùn)動呢？能否向?qū)W生直觀展示A同學(xué)的運(yùn)動圖象呢？

由題v，且h=vt，容易猜想v2，v-t圖是一條曲線. 也因?yàn)樗俣入S時(shí)間不是線性變化關(guān)系，所以此題也不能用平均速度來求時(shí)間.

為了驗(yàn)證假設(shè)，筆者嘗試用微積分推導(dǎo)出v與t的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而作出v-t圖象. 推導(dǎo)過程如下：

由題v，即v=，其中k=v·h=0.63×11.34=7.1442為常數(shù).

其中v、t、h均為變量，所以對v=k·求微分，

dv=-k··dh=-k·v·dt，

變化得：dv=-×·dt=-·dt，即=-·dt.

對上式求積分：v-3·dv=-·dt，

得·v-2=-·t，即v2=.

對學(xué)生而言雖然推導(dǎo)過程有一定的難度. 但利用幾何畫板的作圖功能，很容易將推得的v2=圖象展示出來，其中k=7.1442，如圖6（橫坐標(biāo)表示時(shí)間t，縱坐標(biāo)表示速度v）. 幾何畫板的一個(gè)小功能：在函數(shù)圖象上繪制點(diǎn). 筆者也用了一下，取橫坐標(biāo)為t=9s的點(diǎn)，圖象上立即顯示A（9.00，0.63），如圖6. 其中，v=0.63m/s即是題目中A同學(xué)剛登上四樓時(shí)的速度；t=9s是A同學(xué)登上四樓所用時(shí)間.

解題反思與“一點(diǎn)補(bǔ)充”——另辟蹊徑

當(dāng)然，該題有難度. 筆者也給有興趣的同學(xué)嘗試，同學(xué)反映，圖象法固然簡單快捷，但不容易想到. 筆者也借助數(shù)學(xué)方法“微積分”來求，但微積分對于高中學(xué)生來說，他們學(xué)得比較淺，平時(shí)不容易用到，所以不擅長應(yīng)用. 當(dāng)然，如果掌握了，還是感覺比較簡單. 過程如下：

速度是變化量. 根據(jù)題意，某一瞬間的速度為：v=，又v=，其中k=7.1442為常數(shù).

所以，h·dh=k·dt，同時(shí)取積分得：

h·dh=k·dt，所以，t=. 代入數(shù)據(jù)得：t=t28-t4=720s.

2. 一定條件下，“v-t”圖也能與“f-t”圖建立關(guān)系

一些復(fù)雜問題的非勻變速運(yùn)動，圖象不能解決問題. 往往需要根據(jù)物理規(guī)律對橫、縱坐標(biāo)的物理量進(jìn)行相關(guān)的變化，建立相應(yīng)的圖象才能幫助我們理解、解決問題. 如例3可以根據(jù)“動量定理”和題意嘗試將“v-t”圖變換成“f-t”圖，從而作出圖象來輔助解決問題.

例3．物體以速度v0=10m/s豎直上拋，落地速度vt=9m/s. 若阻力和物體速度成正比，求物體運(yùn)動時(shí)間.

困難：同上，此題可以用微積分方法求解. 例題2中，筆者已經(jīng)做了一個(gè)范例，在此，筆者不再重復(fù). 但兩種方法對高中生來說要求過高，且較麻煩.

解析：但根據(jù)題意，粗略畫出v-t圖象是一條曲線，如圖7所示. 由速度圖線與時(shí)間軸所圍面積的物理意義可知，圖中兩塊面積分別表示物體上升和下降的高度，且h上=h下，即陰影部分的面積大小相等. 但由于是曲線，不能直接根據(jù)圖象進(jìn)行定量計(jì)算.

轉(zhuǎn)換：又由題意：阻力fv，可推斷f-t圖象與v-t圖象的形狀相似，如圖8. 在f-t圖象中，曲線下圍成的面積的物理意義是阻力f的沖量. 兩塊面積相等并分別居于t軸的上、下方，表明物體上升階段和下落階段受到空氣阻力的沖量大小相等，方向相反，所以物體在空氣中運(yùn)動時(shí)，空氣阻力的總沖量為零，即有：If=0；

對物體的全過程運(yùn)用動量定理有：

mgt+If=mvt+mv0. 即可得：t==1.94s.

反思：巧用速度v-t圖象，再變換成f-t圖象，可迅速而巧妙解答此題. “v-t圖象”與“f-t圖象”看似兩個(gè)不相干的圖象，但根據(jù)題目的意思，熟練領(lǐng)會圖象的物理意義，便能使圖象間進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)換，對理解題意，順利解答大有益處. 當(dāng)然，解此類題目，首先需要對研究對象受力分析，由研究對象的運(yùn)動特征定性作出v-t圖象. 有時(shí)需要根據(jù)v-t圖象再作出其他圖象，再由圖象來分析解答有關(guān)問題.

3. 靈活構(gòu)造“F-x”圖，反向探討速度“v”等問題

“v-t”圖可以形象直觀地看出速度隨時(shí)間的變化，從而進(jìn)一步討論其他物理量，如加速度、位移、做功等變化關(guān)系. 而我們是否可以尋求這些物理量滿足的關(guān)系，靈活構(gòu)造圖象，反映速度（動能）的變化關(guān)系呢？筆者對2010年江蘇高考物理試題第8題作了進(jìn)一步的思考. 通過合理的假設(shè)，尋求合外力F合、摩擦力f隨位移x的變化關(guān)系，從而突破速度（動能）、熱量等求解難點(diǎn).

如圖9，平直木板AB傾斜放置，板上的P點(diǎn)距A端較近，小木塊與木板間的動摩擦因素由A到B逐漸減小，先讓物塊從A由靜止開始滑到B. 然后，將A著地，抬高B，使木板的傾角與前一過程相同，再讓物塊從B由靜止開始滑到A. 上述兩個(gè)過程相比較，下列說法中一定正確的有（AD）

A. 物塊經(jīng)過P點(diǎn)的動能，前一過程小

B.物塊從頂端滑到P點(diǎn)的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量，前一過程少

C. 物塊滑到底端的速度，前一過程較大

D. 物塊從頂端滑到底端的時(shí)間，前一過程較長

解析：題中“動摩擦因素由A到B逐漸減小”，不妨假設(shè)μ隨距離x是線性變化，又F合=mgsinθ-μmgcosθ可知，F(xiàn)合與μ是線性關(guān)系，即F合與x是線性關(guān)系. 建立如圖F合-x圖10，顯然梯形OBAC與OABC的面積相等，即合外力做功相等. 根據(jù)動能定理可間接判斷木塊到達(dá)底部的速度大小相等，進(jìn)而可以作出v-t圖11，得到t前>t后，這里不再闡述.

亮點(diǎn)：特別是在判斷P點(diǎn)的動能，F(xiàn)合-x圖發(fā)揮著巨大作用. 因?yàn)榧词垢鶕?jù)對稱性也可以判斷前后兩次到達(dá)底端的速度相等，但卻無法判斷前后兩次到達(dá)P點(diǎn)的速度大小關(guān)系. 如圖10，梯形OAPM和OBPN的面積分別表示前后兩次合外力做的功，根據(jù)動能定理，顯然可以得到“選項(xiàng)A.物塊經(jīng)過P點(diǎn)的動能，前一過程小”.

拓展：判斷“物塊從頂端滑到P點(diǎn)的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量”即滑動摩擦力做功的多少，也可以建立f-x圖12. 引導(dǎo)學(xué)生用“極限思想”發(fā)現(xiàn)，P點(diǎn)在AE間的不同位置，梯形OAPC和OBPD的面積大小關(guān)系無法判斷，即前一過程產(chǎn)生的熱量可能小于、等于、大于后一過程產(chǎn)生的熱量.

三、結(jié)束語——培養(yǎng)學(xué)生“讀”圖的能力

綜上，筆者主要從“畫”圖、“變”圖兩個(gè)角度，輔以微積分知識，借助幾何畫板對幾個(gè)典型物理問題進(jìn)行了探討，突破解題過程中遇到的難點(diǎn)，望能起到拋磚引玉的作用. 最后，筆者認(rèn)為會“讀”圖也是解決物理問題的重要能力. 即所給試題可能既有“運(yùn)動示意圖”，又有包含具體物理量的“坐標(biāo)圖”. 如何結(jié)合運(yùn)動示意圖，把握坐標(biāo)圖的物理意義是解決問題的關(guān)鍵. 這需要培養(yǎng)學(xué)生的“讀”圖能力.

“讀”出含有物理意義的方程. 僅僅觀察坐標(biāo)圖，往往還不能更清晰地理解“點(diǎn)”、“線”、“面”等具體的物理意義. 我們需要根據(jù)物理過程，找出各物理量之間的聯(lián)系，列出方程. 如圖13，表示一輛汽車在平直的公路上保持恒定的牽引功率以某一初速度運(yùn)動，其加速度a和速度的倒數(shù)1/v的關(guān)系圖象如圖所示. 若已知汽車的質(zhì)量，則根據(jù)圖象所給的信息能夠求出的物理量？

如果僅僅局限于觀察橫縱坐標(biāo)的截距、斜率等，則得不出有一定深度的結(jié)論（汽車的牽引功率、行駛的最大速度、汽車的阻力等）. 而嘗試結(jié)合牛頓運(yùn)動定律及汽車功率的表達(dá)式：P=F·v；F-f=ma可知，a=·-. 很容易得到斜率k=，縱坐標(biāo)的截距b=-，從而得到想要的結(jié)論.

可見，利用圖象法可以培養(yǎng)學(xué)生綜合能力，如數(shù)學(xué)能力、猜想能力、探究能力等，提高了學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng). 同時(shí)，可以激發(fā)學(xué)生的探究欲望和創(chuàng)新精神，也可以使學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂，增強(qiáng)學(xué)習(xí)物理、應(yīng)用物理的興趣.