對比立體幾何教材三版本 思考新背景下的高效教學

作為經歷了新、老教材變更的教師來說，新課改給予我們創新與挑戰的機會，卻也不斷地考驗著我們的教學方式與教學觀念.就拿立體幾何教學來說，新教材給了我們太多的驚喜與沖擊，特別是空間向量的引入，給平靜的高中立體幾何掀起了前所未有的“波瀾”. 目前空間向量在高中立體幾何中的廣泛運用已成事實，我們只有積極面對，如何讓沖擊降到最低，讓“驚喜”最大化，這需要廣大數學教師共同思考和努力.

下面對比立體幾何新、老教材三版本；直觀學生立體幾何學習現狀；分析傳統綜合法與空間向量法在解立幾問題中的各自特點；思考“取長補短”、“相得益彰”的教學方式，以期立體幾何教學輕松、自然、和諧、高效.

一、比較研究立體幾何新、老教材三版本

1. 三版本教材教學課時數之比較

20世紀90年代立體幾何教材（簡稱老教材）是獨立的一冊書，教學課時數約50個. 2001版試驗修訂本·必修數學第二冊（下A）（簡稱01版）中立體幾何有一大章節（第9章）教學課時數有39個. 2004版數學必修2（簡稱新教材，同下2005版）中立體幾何內容有2個章節，第1章“空間幾何體”是新增內容，8課時，第2章“點、直線、平面之間的位置關系”是傳統綜合法立體幾何，但教學課時數只有10個.再加上必修2第三章的“空間直角坐標系”一節（2課時），及2005版數學選修2-1中第三章“空間向量與立體幾何”的12個課時，也就32課時.換句話說04年以后的高中新教材中，立體幾何教學課時數全部加起來也只有老教材的五分之三左右，而且其中三分之二是新增內容.

2. 三版本教材內容之比較

老教材與01版在立體幾何教學內容上是“一脈相承”的，知識點的要求基本相同，只是出現形式與次序稍作調整. 但新教材立體幾何教學內容對比老教材有了“顛覆性”的增刪. 增加了“空間幾何體”、“空間向量與立體幾何”兩大章節，刪除“簡單幾何體”、“三垂線定理”，淡化了判定定理與性質定理證明，弱化空間距離，降低二面角要求.

3. 三版本教材教授時間段之比較

老教材完整而系統的教授年級段在高一（下），01版立體幾何的教授年級段在高二，而04版教材把新增“空間幾何體”與傳統立體幾何分別放在必修2的第1、2章節，按照正常教學進度是在高一（上）教授，而作為空間向量引入前提的“空間直角坐標系”出現在必修2第四章“圓與方程”中，但“空間向量與立體幾何”則又在選修2-1的第三章（高二下教授），如此的教學跨度，是否真能實現螺旋上升的教學效果，值得思考.

二、直觀立體幾何教、學之現狀

立體幾何的教學走入了一個“進退維谷”的處境，特別是傳統綜合法立體幾何的教學.如若想把傳統立體幾何像老教材一樣系統又完整地教授，在現有課時條件下顯然是不可能的，而且這是與新教材指導思想“背道而馳”. 但若嚴格按照10個課時把傳統綜合法立體幾何草草了結，那么剛進入高中的高一學生又能掌握多少？在某一次市級高一下期末質量監控檢測中，有這樣一個題：如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點. （1）試判斷直線PB與平面EAC的關系（不必證明）；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，試求二面角A-PC-D的平面角的正切值.

經統計我縣參考3200名學生中，第一問的正確率大概約為95%，第二問的正確率約為72%. 在第二問的基礎上做第三問，按道理難度不大，但實際正確率2%都不到. 第三問完全正確的61人，其中8人用空間向量解. 第一、二問的正確率已經存在問題，第三問已經到了“不可想象”的地步. 那么是否此問題超了“要求”？試問學習傳統綜合法立體幾何，如果連這樣一個二面角的平面角都找不到，那么學習傳統立體幾何的目的、意義何在？有個別學校在高一就補充空間向量，也確實有同學把此問題用空間向量得以解決.筆者思考，如果這樣一個問題都要“大動干戈”地用向量法解，那么傳統法解立體幾何的教學意義何在？所以，我認為新教材立體幾何的教、學現狀是：教得松散、倉促，學得盲目、慌亂.

三、分析綜合法與向量法的各自特點

1. 綜合法優、缺點

綜合法在立體幾何中的運用，體現的是一種自然、嚴謹、而又流暢的思維鏈間的嚴密整合. 在每一個環節都從本質上熟悉、理解的前提條件下，解題是一種“享受”.它的特點是門檻較高，需要理解傳統立體幾何的所有理論基礎，包括4大公理、所有判斷定理與性質定理及角、距離等的具體處理方法. 入門之后會發現，所有問題的解決方式都基本相似：尋找解決問題的原理→按原理操作→通過邏輯論證或計算解決問題.因此綜合法在立體幾何中的優點是自然、流暢、高效，而它的最大缺點是需要花時間去理解解決問題的理論基礎.

2. 空間向量法優、缺點

向量法在立體幾何中的運用，體現的是一種“數字化”概念. 所有點、線、面都可以在空間坐標系中“量化”，然后通過固定公式及數量關系運算而得到需要的結論. 它的特點是入門簡單，只要會架空間坐標，會找坐標系中點的具體坐標，那么所有空間問題都可以“量”化，通過量化計算得出結論.因此向量法在立體幾何中的優點是，所有問題可以量化、公式化，通過計算解決，它的缺點是架空間坐標和找空間點的具體坐標是“說說容易”，而且量化過程中“不容有錯”，否則后果“嚴重”，還有用向量法解題計算量相對比較大，特別是非直角坐標系中的空間向量運算，此運算量也只有試過才能體會什么叫“煩瑣”.

四、思考“高效”的教學方式

1. 分析當前立體幾何教學問題所在

對于立體幾何的“懷舊”情節，相信不僅一線教師有，現行的大部分試卷命題者也有，包括高考命題者（2010年的各省高考數學卷可以佐證）.那么如何才能在教學中既要合理懷舊，又要遵從新教材指導思想，這是一線教師“糾結”的核心. 在對比三版本教材特點，直觀學生立體幾何學習現狀之后，筆者認為新教材立體幾何之所以會成為數學教學的一大“障礙”，最主要的原因是：課時數不足、分布不合理和立體幾何教授時間過早及教學內容過分分散化.

2. 思考合理、高效的教學

基于傳統綜合法對學生邏輯思維能力與空間想象能力的培養至關重要，“草率”淡化它不符新課程發展學生能力的基本理念. 而且立體幾何中的大部分證明和距離、角的求解，用綜合法解決是理性、高效而流暢.學習立體幾何的核心思想應該是綜合法，因此對于傳統立體幾何（必修2第二章），筆者認為應適當增多課時，讓學生在實踐中慢慢感悟綜合法的魅力.而對于“空間直角坐標系”（必修2第四章第三節）和空間向量與立體幾何（選修2-1第三章）應整合為一個整體. 可以放在必修2的第二章之后教授（課時數可以略作縮減），這樣可以使立體幾何的學習更具連貫性與完整性. 更有利于學生感悟綜合法與向量法的各自優越，到面臨具體問題時可以理性地選擇合適的方法.當然為了彌補綜合法教學的課時不足，對于“空間直角坐標系”和“空間向量與立體幾何”這兩節內容可以作為“終極武器”而放到高二下教授，這樣做的好處是可以迫使學生在高一學好綜合法，也符合新課改螺旋式教學的理念.還有一種模式可以仿照01版教材，把立體幾何內容重新“糅合”為一個整體，放到高二系統教授，理由是高二學生的空間想象能力及邏輯思維能力遠比高一時強.

立體幾何教學的核心思想是綜合法，脫離了綜合法的立體幾何，不再是真正意義上的立體幾何.因此平時教學中不應盲目推崇“向量法”，向量法在立體幾何中的作用是巨大的，但用它也看具體的問題.在清晰的思路下，綜合法的流暢的與高效是向量法所不能“比擬”的.讓學生認識到向量法是綜合法“強有力”的后盾，或許這樣教學才更符合新時代教育理念，也是我們一線教師所期望的.