數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)研究綜述

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)是數(shù)學(xué)課程改革研究的熱點(diǎn)之一，也是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實(shí)踐嘗試，學(xué)者們對(duì)學(xué)案教學(xué)的研究主要集中在學(xué)案的概念、模式、類型和教學(xué)效果四個(gè)方面。未來(lái)研究應(yīng)該系統(tǒng)思考、有效整合數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的內(nèi)涵與教學(xué)模式，量化研究、質(zhì)性探究數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)與學(xué)生知識(shí)養(yǎng)成、能力發(fā)展的關(guān)系，探究、剖析數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)對(duì)教師教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的影響，同時(shí)編制、使用數(shù)學(xué)學(xué)案教材。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)案；概念；模式；類型；教學(xué)效果

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009－010X(2011)12－0042－05

所謂學(xué)案，就是引導(dǎo)和幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究的方案。學(xué)案教學(xué)為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式提供了全新思路，有效改善了數(shù)學(xué)教學(xué)、教材教案以教師為中心的單向局面。教師的教學(xué)，則由直接的工作變成間接的工作。為了真正確定學(xué)生的學(xué)習(xí)主體的、中心的地位，教師要像樂(lè)隊(duì)指揮、球隊(duì)教練那樣，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的主動(dòng)性和學(xué)習(xí)的熱情，讓他們真正地參與活動(dòng)過(guò)程。為此，許多數(shù)學(xué)教育研究者深入教學(xué)一線，開展學(xué)案教學(xué)改革，真正解決教與學(xué)的矛盾。

2011年，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)》在課程基本理念中再次強(qiáng)調(diào)“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程?！币虼耍险n改理念的學(xué)案教學(xué)，能夠作為一種有效方式，激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。它既是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實(shí)踐嘗試，又是當(dāng)前素質(zhì)教育研究的熱點(diǎn)。數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)為何受到如此關(guān)注?有何研究意義?目前國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀如何?將來(lái)的研究方向是什么?為了解決這些問(wèn)題，本文從數(shù)學(xué)學(xué)案概念、教學(xué)模式、學(xué)案類型、教學(xué)效果等四個(gè)方面進(jìn)行闡述，并在此基礎(chǔ)上展望未來(lái)的研究方向。

一、數(shù)學(xué)學(xué)案相關(guān)概念的梳理界定

通過(guò)期刊網(wǎng)檢索和相關(guān)資料查詢，目前國(guó)內(nèi)外相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的研究主要集中在以下六個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)學(xué)案內(nèi)涵的界定，二是數(shù)學(xué)學(xué)案特點(diǎn)的分析，三是數(shù)學(xué)學(xué)案構(gòu)成要素的思考，四是數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式的理論與實(shí)踐研究，五是數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)類型的案例分析，六是數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)效果的實(shí)驗(yàn)研究。

1 數(shù)學(xué)學(xué)案的內(nèi)涵。

(1)學(xué)案的含義。許多專家學(xué)者對(duì)學(xué)案一詞給出了自己的界定，雖然所使用的文字不盡相同，但對(duì)學(xué)案內(nèi)涵的理解基本一致。學(xué)者們的主要觀點(diǎn)有以下幾種。

學(xué)案是教師依據(jù)教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，遵循教學(xué)原理和教育規(guī)律創(chuàng)編的供學(xué)生自學(xué)、探究、研討、練習(xí)、梳理、總結(jié)的文字資料嗍。學(xué)案，是教師在充分調(diào)查了解學(xué)情、大綱、教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，根據(jù)教材的特點(diǎn)和教學(xué)要求，從學(xué)習(xí)者的角度為學(xué)生設(shè)計(jì)的指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的導(dǎo)學(xué)材料。學(xué)案是指由教師集體在廣泛調(diào)研學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀、研究學(xué)生建構(gòu)自主學(xué)習(xí)的諸種因素及可能性的前提下，集思廣益，精心編寫的指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教學(xué)輔助材料。簡(jiǎn)言之，學(xué)案即學(xué)習(xí)材料。

學(xué)案是相對(duì)教案而言的，它是在素質(zhì)教育思想的指導(dǎo)下，由教師根據(jù)教學(xué)任務(wù)、學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、能力水平、學(xué)法特點(diǎn)和心理特征等設(shè)計(jì)的或在教師指導(dǎo)下為學(xué)生設(shè)計(jì)的培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)習(xí)能力的供學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程使用的學(xué)習(xí)方案。學(xué)案，是教師在教學(xué)理論與學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下，在二度消化教材與分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求和學(xué)生的認(rèn)知水平與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并以學(xué)生的學(xué)為出發(fā)點(diǎn)，把學(xué)習(xí)的內(nèi)容、目標(biāo)、要求和學(xué)習(xí)方法等要素有機(jī)地融入到學(xué)習(xí)過(guò)程之中而編寫的一個(gè)引導(dǎo)和幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究的方案。簡(jiǎn)言之，學(xué)案即學(xué)習(xí)方案。

由此可見，學(xué)案的內(nèi)涵是豐富的、多層面的，無(wú)論學(xué)案是一種學(xué)習(xí)材料，或是一種學(xué)習(xí)方案，亦或是一種學(xué)習(xí)案例，它都是以學(xué)生的“學(xué)”為出發(fā)點(diǎn)，其內(nèi)涵主要有以下三點(diǎn)：其一，學(xué)案是教材的深度理解與加工器。學(xué)案不僅反映教師對(duì)教材的理解，還要考慮到學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、知識(shí)儲(chǔ)備，所以它是對(duì)教材進(jìn)行的深度加工。其二，學(xué)案是教師的教學(xué)方向與指揮棒。雖然學(xué)生接受知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程決定了學(xué)案知識(shí)的呈現(xiàn)方式，但也離不開教師的總指揮，教師要有計(jì)劃地調(diào)控教學(xué)方向。其三，學(xué)案是學(xué)生的學(xué)習(xí)向?qū)c路線圖。學(xué)生按照學(xué)案規(guī)定的路線開展學(xué)習(xí)，在學(xué)案層層遞進(jìn)的引導(dǎo)下，尋求知識(shí)養(yǎng)成的捷徑。

(2)學(xué)案與教案的區(qū)別?！栋倏迫珪笤~典》、《教育大詞典》等工具性書籍并未給“學(xué)案”以確切的定義，實(shí)際上，“學(xué)案”一詞是在教學(xué)實(shí)踐中，逐漸由“教案”衍生而來(lái)的。有的學(xué)者認(rèn)為“教案”突出“教”，側(cè)重“學(xué)會(huì)”；而“學(xué)案”突出“學(xué)”，側(cè)重于“會(huì)學(xué)”。有的學(xué)者認(rèn)為教案是“封閉”的，是教師為完成某一教學(xué)任務(wù)而編寫的教學(xué)方案；而學(xué)案是“開放”的，是學(xué)生如何學(xué)習(xí)的劇本，主要幫助學(xué)生形成知識(shí)體系。有的學(xué)者從設(shè)計(jì)理念、角度和針對(duì)性出發(fā)，認(rèn)為學(xué)案與教案的區(qū)別主要體現(xiàn)在：教案的使用者是教師個(gè)人，是針對(duì)教師教學(xué)而設(shè)計(jì)的，為學(xué)生提供的是一種接受知識(shí)的“跑道”，主要體現(xiàn)了師生課堂教與學(xué)的環(huán)節(jié)；學(xué)案的使用者是學(xué)生，是針對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)而設(shè)計(jì)的，為學(xué)生學(xué)習(xí)提供一種自主發(fā)展的“通道”，主要體現(xiàn)了課前、課中及課后完整的教學(xué)環(huán)節(jié)。

筆者認(rèn)為，教案與學(xué)案的主要差異有以下三點(diǎn)：(1)教學(xué)理念不同。教案往往遵循一定的教學(xué)規(guī)律，而學(xué)案的教學(xué)理念更為自主、開放和創(chuàng)造。(2)使用主體不同。教案的使用主體是教師，而學(xué)案是教師和學(xué)生共同使用的導(dǎo)學(xué)方案。(3)教學(xué)環(huán)節(jié)不同。教案環(huán)節(jié)的設(shè)置以教師構(gòu)思為主，主要應(yīng)用于課堂授課環(huán)節(jié)；學(xué)案環(huán)節(jié)的設(shè)置以學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織為出發(fā)點(diǎn)，同時(shí)體現(xiàn)在教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)。實(shí)際上，討論教案與學(xué)案的不同，并非要割裂兩者，或區(qū)分伯仲，“存異”是為了“求同”，教案與學(xué)案不可避免存在許多共性與交叉點(diǎn)。不管使用教案還是學(xué)案，最終都是為了實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的最佳結(jié)合。

2 數(shù)學(xué)學(xué)案的特點(diǎn)。

基于對(duì)學(xué)案內(nèi)涵的理解，專家學(xué)者們對(duì)學(xué)案的特點(diǎn)，即學(xué)案設(shè)計(jì)的原則也提出了自己的觀點(diǎn)(詳見表1)。

學(xué)者們對(duì)學(xué)案的每一種特點(diǎn)都進(jìn)行了詳盡的闡述，都是學(xué)案教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的提煉，充分反映了學(xué)案在教學(xué)中的作用。每種學(xué)案原則可能也適用于其它一些教學(xué)模式。筆者認(rèn)為，學(xué)案本身所凸顯的特點(diǎn)主要有以下四點(diǎn)：

(1)學(xué)案的導(dǎo)向性。學(xué)案有明確的指向性，引導(dǎo)學(xué)生積極融入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中。學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)、內(nèi)容、問(wèn)題的一一展開，不僅是教師教學(xué)思路的引導(dǎo)性呈現(xiàn)，更是學(xué)生在知識(shí)不同學(xué)習(xí)階段有可能面臨的一些問(wèn)題，學(xué)案層層遞進(jìn)的導(dǎo)向性特征明顯。

(2)學(xué)案的探究性。學(xué)案有利于培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，循序漸進(jìn)激發(fā)學(xué)生探究欲望。學(xué)案的編寫就是教師智慧的結(jié)晶，是教師對(duì)教學(xué)探究的成果；學(xué)案操作過(guò)程中教師的教和學(xué)生的學(xué)都要進(jìn)行探究，要掌握一定的方法；學(xué)案如何與其它教輔資料、課后作業(yè)配套使用，也是需要探究的問(wèn)題。

(3)學(xué)案的靈動(dòng)性。教師教無(wú)定法，但學(xué)生學(xué)有可依；教師機(jī)動(dòng)靈活，且學(xué)生靈感閃爍。學(xué)案在學(xué)習(xí)內(nèi)容上是開放的，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以有不同的學(xué)案呈現(xiàn)方式；學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)案的方法也是靈動(dòng)的，可以將學(xué)案單獨(dú)作為教材使用，或作為課前預(yù)習(xí)的資料，或作為練習(xí)題皆可，一切都根據(jù)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)能力而定；學(xué)案不僅在課堂上使用，在課前、課后的其它時(shí)間也可以使用。

(4)學(xué)案的發(fā)展性。在學(xué)案的教學(xué)中，教師和學(xué)生都能夠得到可持續(xù)發(fā)展。學(xué)生在使用學(xué)案進(jìn)行主動(dòng)、操作性學(xué)習(xí)的同時(shí)，不僅增強(qiáng)了對(duì)知識(shí)的理解，而且學(xué)習(xí)能力也得到了提高。

3 數(shù)學(xué)學(xué)案的構(gòu)成要素。

學(xué)者們?cè)诰幹茢?shù)學(xué)學(xué)案時(shí)，對(duì)學(xué)案的構(gòu)成要素即結(jié)構(gòu)進(jìn)行了如下探討。有學(xué)者從“學(xué)案”的內(nèi)容出發(fā)，認(rèn)為學(xué)案應(yīng)包括學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)重點(diǎn)、學(xué)習(xí)難點(diǎn)、學(xué)法指導(dǎo)、師生互動(dòng)的設(shè)計(jì)、梯度訓(xùn)練題、推薦作業(yè)七個(gè)部分㈣。有學(xué)者從學(xué)案的內(nèi)涵出發(fā)，認(rèn)為一份完整的學(xué)案應(yīng)包含學(xué)習(xí)課題、內(nèi)容分析、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)、學(xué)法指導(dǎo)、學(xué)習(xí)過(guò)程、達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)與資源鏈接。有學(xué)者認(rèn)為學(xué)案包括學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)法指導(dǎo)、自學(xué)檢測(cè)、問(wèn)題討論、基礎(chǔ)訓(xùn)練、能力訓(xùn)練、學(xué)習(xí)小結(jié)、推薦作業(yè)。

思考數(shù)學(xué)學(xué)案的構(gòu)成要素，不僅能夠?yàn)閷W(xué)案編制提供編寫框架，而且能夠更好地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)學(xué)案的內(nèi)容。筆者認(rèn)為，無(wú)論哪種結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)學(xué)案，它都立足于兩類要素，一是教師“導(dǎo)”的要素。包括：數(shù)學(xué)思想的提煉、數(shù)學(xué)能力的洞察、數(shù)學(xué)交流的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的養(yǎng)成、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的預(yù)設(shè)和數(shù)學(xué)相關(guān)背景知識(shí)的梳理等。二是學(xué)生“探”的要素。包括：數(shù)學(xué)知識(shí)的嵌入和理解、數(shù)學(xué)活動(dòng)的參與和領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決和遷移，以及數(shù)學(xué)方法的掌握與運(yùn)用。所有這些要素融合于一體，并得到有機(jī)調(diào)控，才能真正發(fā)揮學(xué)案的完整性、有效性。

二、數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式的理論實(shí)踐

1 數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式的理論溯源。

在了解學(xué)案內(nèi)涵的同時(shí)，我們也對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式的可行性進(jìn)行理論溯源，發(fā)現(xiàn)以下理論給學(xué)案教學(xué)、學(xué)習(xí)以很大的啟發(fā)。

布魯納的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”理論認(rèn)為，“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”本身比“學(xué)會(huì)什么”更重要。教師向?qū)W生提供知識(shí)結(jié)構(gòu)的相關(guān)材料，學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和規(guī)律。皮亞杰的“建構(gòu)主義學(xué)習(xí)”理論認(rèn)為，知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會(huì)文化背景下，借助學(xué)習(xí)獲得知識(shí)的過(guò)程和其他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)有意義建構(gòu)的方式獲得舊。我們認(rèn)為，充滿啟發(fā)性的數(shù)學(xué)學(xué)案，就是這樣一種幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)材料。

馬赫穆托夫的“問(wèn)題教學(xué)法”、魯姆的“掌握學(xué)習(xí)法”、維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)學(xué)習(xí)理論”、加德納的“多元智能理論”㈣等都為學(xué)案教學(xué)提供了理論指導(dǎo)，讓數(shù)學(xué)學(xué)案素材的呈現(xiàn)問(wèn)題化，學(xué)案的設(shè)計(jì)面向所有學(xué)生，并貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，關(guān)注學(xué)生能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)。

弗萊雷的“提問(wèn)教學(xué)法”、羅杰斯的“人本主義理論”和奧蘇伯爾的“有意義學(xué)習(xí)理論”等都啟發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)案的教學(xué)交流對(duì)話的主體轉(zhuǎn)向?qū)W生，重視讓每位學(xué)生自發(fā)投入學(xué)案學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行事實(shí)、概念、命題、定理等數(shù)學(xué)知識(shí)的有意義學(xué)習(xí)。

2 數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式的實(shí)踐探索。

許多教學(xué)理論都給學(xué)案教學(xué)以很大的啟發(fā)，建立在這些理論基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式都充分踐行著教與學(xué)相統(tǒng)一的理念。

有學(xué)者認(rèn)為，無(wú)論是新授課還是復(fù)習(xí)課，數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式可以總結(jié)為四個(gè)基本階段：導(dǎo)向、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)練、升華階段。有學(xué)者從高中數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)實(shí)際出發(fā)，提出學(xué)案課堂教學(xué)模式為：?jiǎn)栴}探索、討論交流、揭示本質(zhì)、知識(shí)整理、鞏固練習(xí)。

有學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式包括三個(gè)基本環(huán)節(jié)：依案自學(xué)、討論創(chuàng)新、總結(jié)檢測(cè)，并認(rèn)為這種模式改變了數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授途徑，建立了教材、教案與學(xué)案的相互補(bǔ)充與協(xié)調(diào)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新情感和意志等非智力因素，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過(guò)程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，有利于建立新型師生關(guān)系。

綜上，每種數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式的發(fā)展都是在一定的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它有國(guó)內(nèi)外許多科學(xué)合理的理論作為基礎(chǔ)。學(xué)案教學(xué)充分體現(xiàn)了課程改革的基本理念，如重視學(xué)生實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，倡導(dǎo)自主、探究、合作的學(xué)習(xí)方式，凸顯學(xué)生主體性發(fā)展等。數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)同樣遵循教師教學(xué)原則和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，實(shí)現(xiàn)以學(xué)為中心，以教為主導(dǎo)的和諧發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)類型的案例分析

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)類型的研究，大致可以分為兩類：一是根據(jù)學(xué)案“題型”進(jìn)行分類，另一種是根據(jù)學(xué)案“課型”來(lái)分類。根據(jù)學(xué)案題目類型，可以分為填空式、選擇式、表格式、問(wèn)題式、習(xí)題式、辯誤式、例題式舊。實(shí)際上，在一份學(xué)案中往往涉及到幾種題型的相互組合。所以，我們可以從不同的學(xué)案類型來(lái)進(jìn)行案例分析。

1 概念課學(xué)案設(shè)計(jì)。

數(shù)學(xué)概念課學(xué)案的設(shè)計(jì)需關(guān)注新概念與原有概念的聯(lián)系，并建立概念與實(shí)際情景的聯(lián)系，以幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行分類，弄清概念的外延。例如《有理數(shù)的概念》，我們這樣設(shè)計(jì)學(xué)案(見表2)：

2 命題定理課學(xué)案設(shè)計(jì)。

命題定理課學(xué)案的設(shè)計(jì)需讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中感受到命題、定理學(xué)習(xí)的必要性，并能夠通過(guò)嘗試、猜測(cè)、驗(yàn)證等活動(dòng)，探究定理的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)用定理解決其它數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如《探索勾股定理》，我們這樣設(shè)計(jì)學(xué)案(見表3)：

3 公式法則課學(xué)案設(shè)計(jì)。

公式法則課學(xué)案的設(shè)計(jì)要讓學(xué)生能推導(dǎo)法則，能舉例說(shuō)明公式法則的意義，能判斷使用公式法則的時(shí)機(jī)，并會(huì)利用公式進(jìn)行正確的計(jì)算，同時(shí)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，并由此體會(huì)和感悟數(shù)學(xué)思想。例如《同底數(shù)冪相乘》，我們這樣設(shè)計(jì)學(xué)案(見表4)：

4 解題課學(xué)案設(shè)計(jì)。

解題課學(xué)案的設(shè)計(jì)要為學(xué)生提供能應(yīng)用相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)解決的一些生活實(shí)際問(wèn)題，并能體會(huì)此種解題方法是一類最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生通過(guò)解題了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。例如《二次函數(shù)的應(yīng)用》，我們這樣設(shè)計(jì)學(xué)案(見表5)：

5 專題復(fù)習(xí)課學(xué)案設(shè)計(jì)。

專題復(fù)習(xí)課學(xué)案的設(shè)計(jì)要讓學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決一類相關(guān)問(wèn)題的基本方法，并發(fā)現(xiàn)此類問(wèn)題中的不確定因素，正確利用數(shù)學(xué)方法解決某類問(wèn)題。例如《幾何圖形中的分類討論》，我們這樣設(shè)計(jì)學(xué)案(見表6)：

四、數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)效果的價(jià)值體現(xiàn)

數(shù)學(xué)學(xué)案不同課型的教學(xué)設(shè)計(jì)，究竟能夠給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)怎樣的實(shí)效呢?為此，我國(guó)許多學(xué)校都開展了學(xué)案教學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究，不僅有各個(gè)實(shí)驗(yàn)班的點(diǎn)上的研究，還有各個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)校甚至是一類學(xué)校層面的研究，實(shí)驗(yàn)研究著眼于學(xué)生發(fā)展的現(xiàn)實(shí)性與可能性，使學(xué)生在各自基礎(chǔ)上得到不同的發(fā)展。

浙江金華一中1997年首次在全國(guó)提出“學(xué)案教學(xué)法”，采用誘導(dǎo)式、開放式、技能式教學(xué)程序，運(yùn)用行動(dòng)研究法、實(shí)驗(yàn)法和調(diào)查法等，探究學(xué)案與學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)、自我學(xué)習(xí)能力、學(xué)生心理之間的關(guān)系，研究成果很快大面積推廣，并在全國(guó)引起了極大的反響。

2008年，烏丹三中制定了“示案自學(xué)、分組討論、點(diǎn)撥引導(dǎo)、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練、反饋小結(jié)”五步走的學(xué)案教學(xué)方案，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)教師課堂教學(xué)發(fā)生了很大的改觀，教師轉(zhuǎn)變了角色，學(xué)生成為積極、主動(dòng)的學(xué)習(xí)者。廣西南寧沙井鎮(zhèn)小學(xué)教師編寫的《小學(xué)數(shù)學(xué)新學(xué)案》主要包括：學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、導(dǎo)學(xué)指路、學(xué)習(xí)鞏固、創(chuàng)新舞臺(tái)、學(xué)習(xí)寄語(yǔ)，學(xué)案實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明這一教學(xué)模式優(yōu)于一般教學(xué)模式，且對(duì)農(nóng)村小學(xué)中年級(jí)以上數(shù)學(xué)教學(xué)同樣適用。

另外，還有蘇州唯亭學(xué)校、北京第一七一中學(xué)、濰坊中學(xué)、浮橋中學(xué)等都以初中、高中不同年級(jí)的學(xué)生為研究對(duì)象，進(jìn)行了數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果均證明了數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的有效性。筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)主要有以下三方面的價(jià)值體現(xiàn)：

1 有助于轉(zhuǎn)變和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)模式的使用，充分發(fā)揮了教師“導(dǎo)”的功能，將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)、在思考中討論、在交流中感悟，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和發(fā)展。

2 有利于完善和優(yōu)化教師數(shù)學(xué)教學(xué)方法。

數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)不僅能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，也能夠引導(dǎo)教師積極探索，完善和優(yōu)化學(xué)案教學(xué)方法。

3 有利于豐富和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)案教學(xué)和學(xué)習(xí)理論。

就當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際而言，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)案教學(xué)、學(xué)習(xí)理論，對(duì)我們進(jìn)一步掌握學(xué)案的內(nèi)涵、作用、學(xué)生能力發(fā)展等一系列問(wèn)題具有重要意義。

五、數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)研究的方向展望

綜合以上各個(gè)層面的研究，我們發(fā)現(xiàn)，專家學(xué)者們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)案的研究涉及面相當(dāng)廣泛，但更多的是實(shí)驗(yàn)的組織與成果論述，在調(diào)查與實(shí)證研究方面仍有許多困惑與不足。筆者認(rèn)為，未來(lái)的研究工作應(yīng)以數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)為主線，將理論線(內(nèi)涵、原則、模式等)，實(shí)驗(yàn)線(問(wèn)卷、實(shí)驗(yàn)、訪談等)，教材線(案例、方案、體系等)三位一體進(jìn)行整合研究。具體包括以下幾個(gè)方面：

1 系統(tǒng)思考、有效整合數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的內(nèi)涵與教學(xué)模式。

研究數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的內(nèi)涵，可以有效促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的養(yǎng)成。研究不僅著眼于數(shù)學(xué)中哪些內(nèi)容適合學(xué)案教學(xué)，研究“外顯”的解題活動(dòng)類型的數(shù)學(xué)學(xué)案，也關(guān)注“內(nèi)隱”的創(chuàng)造性思維建構(gòu)類型的學(xué)案，如數(shù)感、空間想象、問(wèn)題解決等。

數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的模式科學(xué)合理、動(dòng)態(tài)發(fā)展。雖然學(xué)案教學(xué)模式的實(shí)施和課堂操作程序各有不同，但都是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過(guò)程，它是由無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)構(gòu)成，主旨是使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅成為一個(gè)接受知識(shí)的過(guò)程，同時(shí)成為一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題的過(guò)程。所以，我們的研究應(yīng)充分體現(xiàn)課改理念的學(xué)案教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)方法等。

2 量化研究、質(zhì)性探究數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)與學(xué)生知識(shí)養(yǎng)成、能力發(fā)展的關(guān)系。

目前，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的調(diào)查研究多集中于一個(gè)學(xué)校的幾個(gè)班級(jí)，樣本較小，且研究結(jié)果沒(méi)有得到深入細(xì)致的分析，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)的質(zhì)性化研究也幾乎沒(méi)有。因此，需要積極開展學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)理解層面的量化研究，和學(xué)生認(rèn)知能力發(fā)展層面的質(zhì)性研究。

開展量化研究，探究學(xué)案教學(xué)模式下，學(xué)生數(shù)學(xué)三大知識(shí)領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、幾何與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)掌握程度。以選擇題和填空題為主確定問(wèn)卷內(nèi)容，以網(wǎng)絡(luò)調(diào)研的方式進(jìn)行，不僅可以打破時(shí)間、空間的限制，而且可以自動(dòng)生成數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)，按照所需調(diào)研的內(nèi)容進(jìn)行遴選和統(tǒng)計(jì)。

開展質(zhì)性研究，聚焦學(xué)生八大能力維度：數(shù)感、符號(hào)感、運(yùn)算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念，不同的能力維度有各自的類型和層次。以解答題為主設(shè)計(jì)問(wèn)卷內(nèi)容，以質(zhì)性探究的形式展開調(diào)研，制定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，劃定知識(shí)層次、能力維度，通過(guò)學(xué)生的回答評(píng)價(jià)其學(xué)習(xí)能力。

3 探究、剖析數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)對(duì)教師教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的影響。

在數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)中需重視教師的教和學(xué)生的學(xué)，研究如何整合數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)與學(xué)習(xí)?；趯W(xué)案教學(xué)理念，教師教學(xué)行為的構(gòu)成，教學(xué)信念、教學(xué)環(huán)境、教學(xué)態(tài)度的變化研究；學(xué)生年級(jí)、性別、數(shù)學(xué)成績(jī)等因素與學(xué)案教學(xué)效果的影響研究，以及學(xué)生學(xué)習(xí)行為、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)案教學(xué)的關(guān)系，相互作用研究等。這一研究有助于尋求促進(jìn)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)案教學(xué)策略和方法。

4 編制、使用數(shù)學(xué)學(xué)案教材。

研究者們給出的數(shù)學(xué)學(xué)案的結(jié)構(gòu)與題型設(shè)計(jì)各不相同，大多數(shù)學(xué)案所采用的數(shù)學(xué)案例還沒(méi)有系統(tǒng)化，缺乏有引領(lǐng)價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)案教材。所以，學(xué)案教學(xué)的研究應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)學(xué)案教材的編制和推廣適用。就目前而言，學(xué)案教材在初中(7－9年級(jí))使用最具操作的可行性。研究首先要確定數(shù)學(xué)學(xué)案編制的原則、方法和階段性要求，接著統(tǒng)一每個(gè)章、節(jié)、各個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)單元的學(xué)案結(jié)構(gòu)，組織有豐富數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師研討交流，開發(fā)各種優(yōu)秀的、可選擇的數(shù)學(xué)學(xué)案資源；同時(shí)，在教材試用的過(guò)程中通過(guò)調(diào)查、實(shí)證研究不斷修正，逐漸形成一套基于多數(shù)學(xué)生學(xué)情的初中數(shù)學(xué)學(xué)案教材。