居高臨下,成就新的數(shù)學(xué)課堂

電影《非誠勿擾2》帶紅了一首詩——

你見，或者不見我

我就在那里

不悲不喜

你念，或者不念我

情就在那里

不來不去

你愛，或者不愛我

愛就在那里

不增不減

……

一千個讀者心中有一千個哈姆雷特。對這首詩，不管是網(wǎng)上爭的對生命、愛情的解讀也好，還是作者所要表達(dá)的大師對弟子不離不棄的關(guān)愛也好，最初在我，似乎只是沒有任何理由地喜歡。心底默念中一次次被打動，是一種自然而平和的力量。久而久之，竟把它的意象和每天打交道的數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系在一起：我正帶領(lǐng)著我的學(xué)生們，漫步在數(shù)學(xué)的林子里，在薄薄的晨霧中找尋和感受那份自然而平和的力量……

當(dāng)下，全國范圍內(nèi)興起一股有效教學(xué)研究之熱，“高效課堂”“向40分鐘要效率”等等這樣的教育口號不絕于耳。有效教學(xué)的核心就是教學(xué)的效益，要求教師要有時間與效益的觀念。然而，何為高效？現(xiàn)實中，我們看到普遍應(yīng)答是在高效指引下的“花最少的時間教最多的內(nèi)容”“只要學(xué)生分?jǐn)?shù)高”……于是，老師們盯緊了腳下的路，埋頭前進(jìn)，牽著學(xué)生的鼻子奔勞于顯性的知識與技巧。

不禁想到，蘇霍姆林斯基經(jīng)常帶孩子到大自然中去上課，是低效教學(xué)嗎？盧梭說：“最重要的教育原則是不要愛惜時間，要浪費時間。”由我們今天的耳朵來聽，是謬論嗎？盧梭這樣辯護(hù)：誤用光陰比虛擲光陰損失更大，教育錯了的兒童比未受教育的兒童離智慧更遠(yuǎn)。著名特級教師華應(yīng)龍也說：好課，要舍得“浪費時間”。效益，不能只看當(dāng)下知識的儲存，目標(biāo)更應(yīng)該指向兒童的將來。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說:“學(xué)生們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識， 在進(jìn)入社會后不到一兩年就忘掉了， 然而那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用。”

教育是慢的藝術(shù)，更是長遠(yuǎn)的藝術(shù)。

一、居高才能臨下——高觀點下的初等數(shù)學(xué)意識

中國科學(xué)院院士、數(shù)學(xué)家張景中先生指出：小學(xué)生學(xué)的是很初等的數(shù)學(xué)，但教學(xué)研究要有高觀點。所謂高觀點，就是指站在更高更廣的知識體系中去理解和認(rèn)識低淺知識的思想方法。觀點越高，事物越顯簡單，教學(xué)越有深度和廣度。

遺憾的是小學(xué)數(shù)學(xué)中有不少概念、結(jié)論和方法由于受學(xué)生認(rèn)識水平和接受能力的限制，在教材中都被簡化處理，如果教師由于長時間接觸這些“被簡化處理”的數(shù)學(xué)內(nèi)容，形成了一種思維惰性或定性思維，缺乏積極思考和分析現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題的興趣，僅限于教材，不問來龍去脈。久而久之，就容易把數(shù)學(xué)教學(xué)局限于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科本身，缺乏深度和廣度。

例如，方程的定義，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中是這樣給出的：“含有未知數(shù)的等式叫方程”，其實并沒有反映方程的本原思想。方程的實質(zhì)是：“為了尋求未知數(shù)，在己知數(shù)和未知數(shù)之間建立起來的一種等式關(guān)系。”站在這個高度上，教師就不會強(qiáng)求學(xué)生去記和背，也不會讓學(xué)生去做諸如“x=1是不是方程”“x-x=0，a+b=b+a是不是方程”這樣的怪題。而是把力氣花在把握方程的實質(zhì)上，讓學(xué)生學(xué)會解方程并能夠建立方程的模型，找出已知數(shù)和未知數(shù)之間的等量關(guān)系。

陳省身先生曾經(jīng)把數(shù)學(xué)分為好的數(shù)學(xué)和不好的數(shù)學(xué)，“好的數(shù)學(xué)就是有開創(chuàng)性的，有發(fā)展前途的。好的數(shù)學(xué)可以不斷深入，有深遠(yuǎn)意義，能夠影響許多學(xué)科。比如說，方程就是好的數(shù)學(xué)”。 不好的數(shù)學(xué)是一些比較孤立的內(nèi)容。

好的數(shù)學(xué)，是我們追求的彼岸。好的數(shù)學(xué)不僅是數(shù)學(xué)，更是人學(xué)。她不僅關(guān)注昨天和今天，更指向明天，她不會讓學(xué)生僅僅做機(jī)械的搬運，而是帶著好奇和探究走向充滿希望的未來。好的數(shù)學(xué)不只是教知識與方法，還教思想。因為，數(shù)學(xué)思想方法支撐著整座數(shù)學(xué)大廈，無處不在，用它獨特的魅力融浸在人類文化的歷史長河中。

小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡單。盡管簡單，里面卻蘊含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想。這些都屬于好的數(shù)學(xué)。一個好的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該豐厚自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，然后站在高的觀點下，用好的思想去沖破那些習(xí)以為常的慣習(xí)，用好的數(shù)學(xué)去滋養(yǎng)那些嗷嗷待哺的心靈。

于是，我們實踐中自覺追求：居高臨下，力透紙背，去釋放凝結(jié)在具體數(shù)學(xué)知識、結(jié)論背后的數(shù)學(xué)精神因子；瞻前顧后，聚焦課堂，去彰顯數(shù)學(xué)的文化性格。

我們會在基本的加減計算練習(xí)后讓學(xué)生去尋找變與不變，滲透變量和函數(shù)的思想。我們會在教學(xué)簡單的“同樣多”時滲透一一對應(yīng)的思想，在探究運算律中幫助學(xué)生建立符號化的思想，在認(rèn)識長方形和正方形后滲透集合的數(shù)學(xué)思想，透過枯燥的計算題揭示出其中的化歸思想，在應(yīng)用題教學(xué)中貫穿數(shù)形結(jié)合的思想……有人說，幾何是數(shù)學(xué)思想的搖籃。我們會在“方”磚砌出“圓”煙囪的探討中，引出“圓出于方”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，再由劉徽的“割圓術(shù)”滲透極限思想，讓學(xué)生感受到古人的數(shù)學(xué)智慧，沐浴在有思想的數(shù)學(xué)里生長。甚至一年級學(xué)認(rèn)10以內(nèi)的數(shù)時我們也可以有意識地多舉一些例子，學(xué)數(shù)的同時照顧到幾何的語言：1個圓有1個圓心，1條線段有1個中點，一條線段有2個端點，三角形有3條邊，3個頂點，正方形有4條邊4個頂點……因為幾何不僅是直觀的圖形，還需要推理，推理就要使用語言。

不僅僅是這些，數(shù)學(xué)的課堂還可以滲透文化的因子，數(shù)學(xué)的美，數(shù)學(xué)的趣，數(shù)學(xué)的神奇應(yīng)用。全方位，多角度地影響學(xué)生的心靈。徐利治先生把“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”當(dāng)做極限的意境；陳子昂的詩“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨創(chuàng)然而涕下”就是一維時間和三維空間的結(jié)合；用“滿園春色關(guān)不住，一枝紅杏出墻來”形容數(shù)學(xué)上的“無界”概念。難怪?jǐn)?shù)學(xué)家萊布尼茲感嘆：音樂是一種隱藏的算術(shù)練習(xí)，透過潛意識的心靈跟數(shù)目在打交道。

二、情動方會辭發(fā)——回應(yīng)兒童天性的低位傳授

教師從高觀點來理解和認(rèn)識，并不是要照搬高觀點的方法來教學(xué)，而是在高觀點的指導(dǎo)下，充分尊重兒童的天性、兒童的認(rèn)識水平和規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。

德國一位著名學(xué)者曾說：“將15克鹽放在你的面前，無論如何你也難以下咽。但當(dāng)將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你在享用佳肴時，就將15克鹽全部吸收了。”數(shù)學(xué)思想如鹽，合適的形式如湯。加上佐料，就可以變得靈動異常，變得可口而又有營養(yǎng)。將鹽放進(jìn)湯里，喝下去鹽就被身體吸收。

小學(xué)數(shù)學(xué)是兒童數(shù)學(xué)。唯有讀懂兒童，才能走近兒童，智慧地給純粹的數(shù)學(xué)穿上合適的外衣，呈現(xiàn)給兒童。

●兒童是充滿好奇的

一位教師課始呈現(xiàn)一個美麗的花瓶，隨著課件的演示美麗的花瓶一下子碎了。可惜之心是人之常情，普通人的思考到此為止，教者此時介紹丹麥科學(xué)家雅各布·博爾在傷心之余，研究碎片并得到了有價值的發(fā)現(xiàn)：最大碎片與次大碎片的重量比是16：1，次大碎片與中等碎片的重量比為16：1，中等碎片與較小碎片的重量比16：1，較小碎片與最小碎片的重量比16：1。這個發(fā)現(xiàn)對考古工作有重大的意義。

學(xué)生感到很意外。凸顯這個意外，引發(fā)學(xué)生去思考：同樣面對生活中的一件事，為什么我們什么也沒有發(fā)現(xiàn)，科學(xué)家卻有了驚人的發(fā)現(xiàn)？有的學(xué)生說：他有一顆善于發(fā)現(xiàn)的心。還有的學(xué)生說：我們只從普通角度來觀察，他從數(shù)學(xué)的角度來思考。接下來的課堂中，教師又帶領(lǐng)學(xué)生玩轉(zhuǎn)盤游戲，石頭剪刀布等游戲，不斷引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼睛看世界。意外，深入思考，個性創(chuàng)造，數(shù)學(xué)似一枚美麗的五彩石在孩子的眼中熠熠生輝。在解決一個個臨界點的過程中，學(xué)生們睜開了“第三只眼”，一次一次強(qiáng)烈感受到數(shù)學(xué)的神奇，感受到善于從不同的角度觀察、分析和思考的重要性。在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)思想上的洗禮，獲得了在知識以外更重要的啟迪與喚醒。

這是課堂上展示數(shù)學(xué)內(nèi)在的神奇，我們還可以向?qū)W生展示數(shù)學(xué)看得到的美麗。如在四年級學(xué)習(xí)三角形時，我們教學(xué)生做雪花。其實，這就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的KOCH曲線。但我們跟小學(xué)生顯然要用更合適的語言來講：先畫一個等邊三角形，把每條邊平均分成3份，以中間的一段為底邊，向外再畫一個等邊三角形，并擦去它的底邊。像這樣再畫兩次，就得到了這個美麗的圖案。用相似的方法，還可以在計算機(jī)上方便地作出很多很奇妙、很漂亮的分形圖形。這些圖形直觀性強(qiáng)，色彩絢爛豐富，不僅能讓小學(xué)生強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)的美和神奇，還能喚起他們內(nèi)心深處對數(shù)學(xué)的好奇。

●兒童是愛做游戲的

教學(xué)用含有字母的式子表示乘法關(guān)系，滲透函數(shù)對應(yīng)的思想。我設(shè)計了玩“數(shù)學(xué)魔盒”的游戲情境。玩之前，我告訴學(xué)生：這是一個神奇的數(shù)學(xué)魔盒，當(dāng)你從左邊放進(jìn)一個數(shù)，經(jīng)過魔盒的加工馬上可以吐出另外一個數(shù)。我先讓學(xué)生充分地玩，這個神奇的盒子激起了學(xué)生極大的探究欲望，在經(jīng)歷猜想、檢驗、討論、概括后學(xué)生成功揭示魔盒中所藏著的秘密，并用含有字母的式子表示出來。充分活動中的猜想，大膽猜想后的驗證，揭示秘密后的歡呼。因為情緒熱烈所以體驗深刻，因為探究深入所以水到渠成。函數(shù)的兩個要素是定義域和加工原理，抽象概括的過程就是找對應(yīng)關(guān)系，這中間的加工過程我把它隱藏在一個神秘的匣子里。放進(jìn)盒子的數(shù)在變，出來的數(shù)也在變，但兩者之間的關(guān)系卻始終不變。此時我以科學(xué)家開普勒的話作結(jié)：數(shù)學(xué)是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系。這一畫龍點睛之筆定能讓不同層次的學(xué)生各有感悟。“魔盒”是一個蘊含函數(shù)思想的載體，因為它承載著數(shù)學(xué)抽象的同時又滿足了兒童的游戲沖動。

●兒童是愛聽故事的

教學(xué)“素數(shù)和合數(shù)”時，我引進(jìn)這樣一個故事。1634年，來自歐洲的殖民者在美洲大陸田納西地區(qū)經(jīng)歷了一場恐怖：大量的蟬（達(dá)到每公頃數(shù)百萬只）仿佛一夜之間從地底冒出，幾個星期之后，有銷聲匿跡。時隔17年，這一現(xiàn)象再次出現(xiàn)，直到1991年，共出現(xiàn)了22次，周期非常準(zhǔn)確。科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，這些地區(qū)蟬的生命周期大都為素數(shù)。為什么呢？科學(xué)家解釋說，蟬在進(jìn)化的過程中選擇素數(shù)為生命周期，可以大大降低與天敵遭遇的概率。如果它的生命周期是12年，則與那些生命周期為1年、2年、3年、4年、6年及12年的天敵都可能遭遇，而使得種群生存受威脅。

教學(xué)內(nèi)容隱含在故事背后，知識的學(xué)習(xí)伴隨著豐富的數(shù)學(xué)思考，方法的滲透伴隨著理性精神的培育。學(xué)生在思辨中體會到數(shù)學(xué)的巨大力量，獲得心靈上的震撼。

數(shù)學(xué)思想是自然而平和的。不管你見，或者不見，愛或者不愛，她就在那里。把活生生的數(shù)學(xué)思考變成一堆符號讓學(xué)生去死記，美麗的數(shù)學(xué)就會淹沒在形式化的海洋里。如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)她的魅力，真正愛上她，不離不棄？還是一句老話說得好，要給學(xué)生一杯水，自己得有一桶水。

（作者單位：江蘇南通師范第二附屬小學(xué)）

本欄責(zé)任編輯李淳

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