向兒童展現數學本身

【摘要】數學課程建設的一個重要方向，就是回歸教育的原點——兒童。兒童的特性是在“生長中”，數學“既是學生成長的需要，又是學生成長的載體”。兒童學習的數學不應是數學知識的簡單匯集，而是通過對數學知識的原味解讀、數學學習的原態過程、數學思維的原質提升等本質展現，重新賦予數學、數學教學應有的魅力，使得兒童在數學學習中能夠獲得智慧的啟蒙、素養的滋潤和生長的力量。

【關鍵詞】兒童生長數學 數學教育 新教學主張課程觀

一、“兒童生長數學”的內涵詮釋

(一)“兒童生長數學”的提出背景

可能很多人覺得這是不成問題的問題：數學課要關注教什么嗎?因為我們的印象中，相對于語文等其他學科，數學知識內容明確，條線清晰，教師一看教材，就知道今天這節課要講什么。這種認識長期以來帶來極明顯的弊端。卻又極容易被忽視。

筆者做過一項調查，在某次公開教學“圓的認識”后。向學生發放一張調查問卷，問題為：“學完了這節課，你有什么收獲?”絕大多數學生的數學學習感受停留于數學知識結論層面。筆者還試圖從教師角度探究問題的成因，向執教和聽課的教師發放一張問卷，提問同一個問題：“除了書上的數學知識結論，這節課還有什么地方是屬于數學特性的?”教師的反應幾乎一致，都覺得從沒有人提問過自然也沒有認真思考過這個問題。如本課執教者，雖然設計了“在操場上用繩子畫圓”和“介紹荀子關于圓的描述”這些教學環節，但未能意識到它們背后對于兒童學習的內在價值。這些現象值得深思。

很多老師可能非常關注“怎樣教數學”，而很少思考“數學是什么、數學教什么”，更甚少涉及“兒童需要怎樣的數學”。這就不難解釋“為什么很多學生不喜歡數學、為什么數學會成為枯燥和機械的代名詞、為什么很多非數學教育工作者都信心滿滿地說能教好小學數學”這樣的問題。

因為這樣的數學教學，忽略了作為學習主體的兒童的生長需求，忽略了數學本身所具有的生長特性，在教者的眼里更多的是一種知識的積累，而非思維的提升、智慧的啟蒙、素養的滋潤。當數學成為一種解題工具，成為一種“冰冷”的知識被傳授；當老師的眼里沒有完整的數學、動態的數學，當數學教學不能給學生帶來良好的學科感受。不能培養其良好的數學情懷，“必將使學生對知識產生冷淡的和漠不關心的態度”，數學教學也就失去了教育的價值和意義。

(二)“兒童生長數學”的核心理念

兒童學習數學。與成人或者數學專業工作者不一樣。兒童需要的不只是數學知識的匯集，兒童視界觀照下的小學數學教學，更多的應給兒童的成長歷程以啟蒙、滋潤和力量。所以，數學教學更要展現“溫情”的一面。讓學生體驗數學發展的歷程，感受數學獨特的思維方式。讓學生穿越歷史和思維的限制，獲得超越知識的價值認同。這才是數學本身的魅力。

因此，“兒童生長數學”的核心價值理念包括：

第一，兒童是生長的，兒童需要生長的數學。小學數學教學的主體是兒童，兒童的最大特性是在“生長中”。兒童的數學學習和研究，是兒童的思想實驗或“準實驗”。是人類思維體操的“童年”。因此，數學“既是學生成長的需要。又是學生成長的載體”。數學知識具有不同的形態，知識結論屬于固化形態，兒童需要的應當是一種具有生長形態的數學知識。

第二。數學本身的生長才是數學教學的最好資源。數學知識經歷了漫長的發展歷程，這一發展過程以及過程背后的發展規律是數學知識最大的魅力所在。當然，兒童的數學學習，不同于數學家研究過程的簡單復制，也不是數學發展史的濃縮，數學教師應當敏銳地感受到數學發展的“內核”，引導學生參與知識的“創造”、“發現”的過程。

第三，兒童學習數學的本質，即通過數學知識的生長性。給兒童的生長以啟蒙和滋潤。兒童數學要求教者轉變“已知者”的身份，成人眼里極為簡單、高度概括的知識結論、自動化的思維程序、內隱的學習系統，這些都需要教者還原、品味和提升，都是兒童需要學習的資源。數學教學要努力擺脫“只學不問、只知不識”的教學狀態。兒童數學既需要教者兒童化自己的思維。了解兒童是怎么想的，又要能夠躍居于兒童的思維之上，挖掘、發現兒童成長所不可缺少的“東西”。

歸納起來講，就是：兒童性主體、數學味本質和生長型結構。

二、“兒童生長數學”的實踐建構

如何實踐“兒童生長數學”的教學愿景呢?筆者以為。在日常數學教學中至少有3個維度的生長性需要得到應有的重視：

(一)數學知識中的生長性——從情趣到理趣：向兒童展現數學知識的原味解讀

當前的數學教學情境，更多的是重視營造一種情趣，試圖激發起學生的興趣，創設進入問題的途徑，但這樣并不能觸及數學知識的本質。

另外。很多數學知識的教學停留于告知的狀態。這就有必要從兒童的角度解讀數學知識在人類發展歷程中的原味。讓學生感受到知識的來源。并進而讓他們體驗到，通過自身經驗的累積，也可以創造“知識”。這對兒童的成長無疑是一種很好的啟蒙和洗禮。

1 生活常識的合理提煉。

生活是數學的源泉。很多數學知識追溯其源頭，會發現就是生活常識的合理提煉。例如：為什么正數前面的正號可以省略?就是因為生活中正數用得比負數多，規定正號可以省略，可以更方便些。為什么加號寫成“+”?據說，中世紀的酒商在售出酒后，曾用橫線標出酒桶里的存酒。而當桶里的酒又增加時。便用豎線條把原來畫的橫線劃掉。于是出現了表示減少的“一”和用來表示增加的“+”，等等。

2 數學發展的合理選擇。

很多數學知識的教學往往基于實際情境給出結論，這就有可能讓學生形成數學知識由具體實際問題簡單歸結的錯誤認識。例如“乘法和加、減法的兩步混合運算”教學，如果我們列舉“一支圓珠筆2元，一本筆記本比圓珠筆貴4元。購買3本筆記本一共需要多少錢”的問題情境。是否就可說明先算加法是合理的呢?

事實上，混合運算的運算順序，是根據數學運算本身的特點而確定的。它產生于人們解決問題時的一種“求簡”本能。教師可設置一個沖突情境：13+6+6+6+6+6，數據的增多讓學生感到驚訝，但又很快能發現規律，得出結果：這道算式里有5個6。所以可以先算“五六三十”，然后再用30加13等于43。師引導出綜合算式：13+5*6，5*6+13，體驗到不管5*6在前還是在后，都要先算。這樣，借助計算效率的極大反差，很自然地使得學生由“從左到右”轉向“先用乘法算相同加數的和”。進而扭轉成“先算乘法”。接著通過類似的算式，讓學生說出對應的簡便算式，如20+4+4+4，15+15+15-6，50-8-8-8-8，豐富強化學生的“簡便”體驗。很自然地實現由例證向數學知識的跨越。

3 數學過程的合理還原。

很多數學知識，尤其是操作技能作為一項已經簡化的程序。學生的理解比較困難。必要的還原會讓學生體驗更為深刻。例如教學“角的度量”，把量角器作為現成產品介紹給學生。由于學生對量角器的結構特點不甚理解，他們無法理解量角器上為什么會有那么多的小格，為什么要標里一圈外一圈的刻度。更難理解“量角器就是單位小角的集合”。

如何突破這一難點呢?我們通過還原量角器的形成過程，有效地引導學生掌握了量角的知識本質。首先設計“利用10度的小角。比較兩個角的大小”。然后把這些單位小角合并成半圓，成為一個“簡易量角器”。再接著在引出“成品量角器”的過程中。又經歷了下面4個階段：用“簡易量角器”測量三個角的大小(其中第三個角。測量不出整十數結果)，引出單位角細分到1度；把上面的工具簡單化，去掉中間的刻度線；由細分后的半圓工具讀數不便引出要加刻度；進而通過不同擺法的量角情況。引出兩圈刻度，完整認識量角器。這樣的設計把學生的角色從“量角器的使用者”提升為“量角器的制作者”。引導學生對量角器進行“設計”，在建構工具的同時建構方法。

(二)數學學習中的生長性——從經歷到品味：向兒童展現數學學習的原態體驗

我們的數學教學。很多數學學習過程都是在教師的指令下完成的。學生雖然“經歷”了這一過程，但卻對這一切是怎樣發生的，毫無感知也無從感知。兒童的學習過程不可替代。從建構主義觀點來看。所有的知識都只具有相對的意義。也即意義是相對于知識的建構者而言的。所以，兒童的學習過程不只是獲得數學知識的工具，其本身就是學習的內容。

我們的數學教學不只是讓學生經歷這些過程。更要“品味”這些過程。通過品味過程，引導學生反思知識的感知與獲取，讓學生獲得可再現的知識結構、不斷生長的認知結構、支持兒童發展的心理結構，使得知識的掌握成為可以復制的“經驗”。并且在新情境中能夠自我適應、創生和發展。主要有以下幾個階段：

1 讓學生經歷回溯學習過程。品味“我怎么做的”。

兒童不只是模仿和接受成人的策略和思維模式。他們要用自己經驗中已有的數學知識去過濾和解釋新信息，以至同化它。如果兒童看不到教師所呈現出的信息和他們已有的經驗之間的聯系，那么教師的講授就如同對牛彈琴。

例如教學“乘法分配律”。有部分學生始終對乘法分配律分辨不清楚。筆者嘗試引導學生回溯學習過程：我們是怎么提煉出規律的呢?接著應用這樣的知識背景判斷62+38*3=62*3+38*3是否正確。學生回溯生活場景：等號左邊的算式算了買1袋大米和3袋面粉的價錢：右邊的算式，先算3袋大米，再算3袋面粉，得出它們的和，所以兩邊不相等。數學教學必須讓學生具備自我回溯和修復的能力，以便學生在后續學習遇到障礙時，可以自我提取這個過程，成為其解釋知識意義的工具，實現自主發展。

2 讓學生經歷自我篩選方法。品味“我學會嘗試”。

知識的獲取并非一帆風順。但當前數學知識的學習過程往往是教師預設好的。學生不能選擇。更不能感受對于知識的嘗試和調整的過程。變成了教師指令下的“操作工”。當學生獨立面對新的問題時，因為實際上并沒有真正經歷過一個問題的解決過程。往往會束手無策。

例如教學“平行四邊形的面積”時。一般教學過程中。“為什么要把平行四邊形轉化成長方形。這樣的轉化過程是怎樣發生的”。都作為一種已然的情況直接告知了學生。

某教師從學生的主體需要出發。這樣設計：首先讓學生猜測平行四邊形面積的大小可能與什么有關。在學生充分猜測的基礎上。教師提供一些平行四邊形選擇相關的數據進行研究(有底、高、斜邊以及夾角的數據)。學生可以發現的規律很多。最容易看出的規律是平行四邊形的面積與底和高的關系。在學生回答平行四邊形的面積等于底乘高時。教師引發思考：僅僅通過這三組數據能不能確信呢?引導學生思考怎樣證明。這時學生很自然地想到了把平行四邊形轉化成長方形。在這個教學過程中，學生不受教師的暗示和限制，充分考慮各種可能性。然后從中選取有效的因素得出猜想并驗證。這種在活動中獲得的經驗，也更有啟發性。

3 讓學生經歷大膽質疑過程。品味“我還有問題”。

數學教學要讓學生不斷地質疑與拓展現有的知識結構。學生對知識的嚴謹審視，則能獲得更為廣泛的發展。

例如教學“三角形三邊之間的關系”。許多學生提議。將“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個結論表述為“三角形兩條較短邊之和大于最長邊”。筆者追問：教材此處如此描述是否真的多余?結果學生列舉出，如果判斷“三根分別長3cm、5cm、5cm的小棒能否圍成一個三角形”，就無法確定兩條較短邊與最長邊。由此，讓學生意識到教材的嚴密性。學生學會了對數學知識結構進行解釋和創造，就能更好地理解數學知識本身。

(三)數學思維中的生長性——從無意到自覺：向兒童展現數學思維的原質提升

教學的本質是思維對話。教學首先是一種特殊的認識活動，但這種特殊性絕非是因為教學是以間接知識為主的學習過程。更重要、更為深刻的是思維的發生和發展過程。我們的數學教學要培養學生學會數學地思維，進而通過數學學會思維。數學最終是要改變兒童的思維習慣，使得兒童獲得一種新的觀察世界的眼光。數學教學就要向學生展現數學思維是怎么提升的。

1 數學教學應當成為數學思維方式提升的過程。

數學教學要讓學生的思考化隱為顯。要讓學生從知識到思想，從膚淺到深刻，從部分到系統，要能夠感受思維的發展和提升。要能夠站在更高的層次上去引導學生的思維方向，及時優化學生的思維方式。

2 數學教學應當成為數學認知方式提升的過程。

數學學習要讓知識的學習伴隨著豐富的數學思考。讓方法的滲透伴隨著理性精神的培育。數學可以掃除現象上面的迷霧和障礙，幫助我們直接抵達問題的本質。通過數學教學。要讓學生從習慣于計算和解題中擺脫出來，要讓學生轉變認知方式，在思辨中體會到數學的巨大力量，獲得心靈上的震撼。

3 數學教學應當成為數學發展方式提升的過程。

數學教學要讓學生學會數學地思維，還要“從學會數學的思維走向通過數學學會思維”。

例如教學“數學廣角(烙餅問題)”：媽媽給一家三口每人烙一張餅。家里的一只平底鍋每次最多只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面要3分鐘，怎樣才能盡快吃上餅呢?如果要烙的是4張、5張……10張呢?一般的教學趨向于引導學生發現烙餅所需的總時間和烙餅張數之間的關系：總時間=張數×3(張數≥2)，即完成教學任務。這樣教學的缺陷顯而易見。因為學生既不明白這一操作模式何以最佳。更無法在實踐中進一步推廣應用其思維模式。某教師抓住“神舟七號”的實驗過程，體驗流程圖可用來表示完成一件工作的步驟。接著利用流程圖探究“怎樣時間最短”。體現了從理論上的“可能性”到實踐上的“可行性”這一基本的研究態度和方法。

總之。兒童生長數學“既有作為科學的數學，又有作為教育的數學”。兒童生長數學重新賦予數學、數學教學應有的魅力。它使得兒童在數學學習中能夠獲得智慧的啟蒙、素養的滋潤和生長的力量。兒童生長數學不靠外在的因素“取勝”，要向兒童展現數學本身的魅力!畫

注：本文獲2010年江蘇省“教海探航”征文一等獎

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