走近數學“核心知識”教學

有這樣一個常識，修造房屋時最重要的是加固其支撐性結構。以砌墻為例，有的墻不砌不要緊，但承重墻不砌，房屋就會倒塌。同樣，學生在數學學習中，有的知識不學、少學或學得不好并不要緊，在后續學習中可以自我修復和完善，但核心知識理解、掌握不到位，就會影響今后主動建構學習，影響問題順利解決，降低數學學習的質態。在這里，所謂數學核心知識，是指那些結構明確、適用范圍廣、自我生長和遷移能力強的基礎知識，它們在數學課程和教材中處于重要的、不可或缺的基礎和主干地位，具有內在邏輯的連貫性和一致性。所以，加強數學“核心知識”教學，具有重要的理論和實踐意義。

一、深層改革呼喚加強“核心知識”教學

1 從教材層面看。需要以“核心知識”凝聚教學內容。

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》指出，要“優化課程結構。適度減少學科課程比重”，“合理設計課程內容”。江蘇省教育廳沈健廳長也曾表示，要在達到新課程培養目標的基礎上，研究在小學、初中、高中不同階段的不同培養對象應該掌握什么知識。學科課程內容不是越多越好，不能把初中內容下放到小學，也不能把高中內容下放到初中。

可見，小學數學教學應該充分體現基礎性和普及性的精神，其教學內容完全可以簡約一些，更具彈性一些，使得每一個身心發育正常的學生都能夠學好數學。在這里。我們首先應該考慮的是精選什么樣的知識重組教材，毫無疑問，應該是學生素質結構中不可或缺的最基礎、最核心的知識。以這些“核心知識”來統率教學內容，可以有效降低知識點的零散程度，實現減量不減質的目標。

2 從教師層面看。能夠借“核心知識”促進專業發展。

從某種意義上說，小學階段的知識都是基礎知識，沒有主次之分。但是，教師照本宣科、面面俱到、平均著力、就題講題、不抓要領、糾纏細枝末節的做法，很容易造成“只見樹木，不見森林”的現象，走進“題海戰術”的怪圈。這顯然是造成教師教得辛苦但效果依然低下的重要原因之一。

從這個意義上說。梳理、篩選并把握小學階段的數學核心知識。是具有現實意義的。教師通過挖掘核心知識的本質特征及其內隱的數學思想方法，根據知識間的內在聯系，重構內容結構體系，能夠更好地促使他們思考如何高效達成教學目標。“用教材教”、“創造性地使用教材”才能落到實處。

當習慣于用數學思想方法來觀照“核心知識”，教師就會主動整合教學內容，擠出時間，騰出空間，引領學生參與知識建構的過程。始終關注課堂生成，著眼于學生的發展和成長。同時，才會有時間總結教學的成敗得失，思考從根本上解決教學中遇到的棘手問題。這樣，教學就可以促進教師教學智慧的生長，教師的專業化發展就會成為可能和自覺。

3 從學生層面看。可以用“核心知識”優化學習質態。

數學學科是重要的基礎學科，對于促進學生思維能力發展、科學精神形成具有極其重要的作用。但是，擺在我們面前的事實是，99.95％以上的人一生中不以數學為職業，絕大多數人走出校門后一輩子都不要解一元二次方程，不需要做幾何證明題……所以，我們應該突破漫天撒網的傳統思維。通過自主探究、獨立思考和體驗內化。讓“核心知識”在學生心中扎根和生長，形成并不斷完善認知結構。進而養成主動吸納知識和解決問題的習慣。

學生的時間和精力是有限的，抓住核心知識，就可以將學習興趣、時間和空間還給孩子，讓他們充分地動手操作、動腦思考、動口表達，主動地建構，深刻地體驗。從而高效達成“三維”教學目標，實現心靈舒展、情智共生。由于核心知識本質和內隱思想方法的一致性，加之學生積極參與、主動參與、深度參與，學習質態必然改善，學習效率必然提高，“減負不減質”就會成為現實。

二、小學數學核心知識的表現形式

小學階段的數學核心知識，主要包括搭建小學數學課程和教材框架的最基礎和最重要的概念、數的意義和運算的意義、運算律和運算性質、基本數量關系、幾何圖形特征和計算公式等，以及其所蘊含的數學思想方法，它們是保持教學內容前后連貫和一致的紐帶。概括起來說，數學核心知識包括基本原理、基本關系、基本方法、基本問題四大方面。這是培養學生數學思維、提升學生數學素養的重要載體。

1 從數學整體看。核心知識是一些基本方法和基本思想。

我們可以從3個維度加以分析和把握：第一。核心知識表現為數學知識本身所蘊含的重要思想和方法。如，數與代數領域的集合與對應、函數與方程思想；空間與圖形領域的數形結合思想：統計與概率領域的數據分析方法、隨機思想。第二，核心知識表現為對后續學習產生重要影響的常用思想。如，分類與比較，猜想與驗證。第三，核心知識表現為對于解決問題具有直接作用，易于學生接受和理解的方法。如，逐步逼近和枚舉。

2 從四大領域看。核心知識是一些基本原理和基本關系。

在“數與代數”領域，數和運算的意義、運算的規律和性質、方程等是當然的核心知識。例如，幾乎所有的運算方法都是建立在數的意義基礎之上的。像進位加法中的“湊十法”正好與數的十進制相吻合：算理幾乎都與運算律、運算性質有關，像兩位數乘一位數的口算就與乘法分配律有關：解決問題的列式依據往往歸結為四則運算的意義。在“空間與圖形”領域，核心知識包括圖形的概念和特征、長度面積體積單位的計量、計算公式的推導等。例如，圖形概念和特征直接影響后續知識的學習，像正方體的表面積可以根據其特征直接進行計算：單位計量主要是滲透從直接計量到間接計量的思想方法。進而認識到量出兩維(或三維)之值，算出乘積，即可推導出面積(或體積)計算公式。在“統計與概率”領域，核心知識包括兩個方面：第一，數據的收集和處理，重點在于分類和分段整理數據，會用平均數、中位數和眾數等統計量分析數據；第二，研究事件發生的可能性，需要弄清楚每一個事件都是等可能事件。至于實踐與綜合領域，主要引導學生通過實踐。積累基本的活動經驗。加強核心知識的綜合應用。

3 從知識序列來看。核心知識一般處于知識序列前端或者發生發展過程中的拐點和節點。

在人類的知識中。大多數知識是以鏈狀、網狀或蜂窩狀序列呈現的，處于序列前端和拐點、節點，具有自我生長和遷移能力的知識就是核心知識。以乘法序列為例，表內乘法、整十數乘一位數、兩位數乘一位數、兩位數乘整十數、兩位數乘兩位數、小數乘法、分數乘法，就是其中的拐點和節點。以分數序列為例，分數的意義經歷了這樣幾個階段：第一。是把1個物體、1個圖形等平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份；第二，是把一些物體看作一個整體平均分：第三，是引入單位“1”并對其進行平均分；第四，是分數和除法的關系，這是分數意義的重要組成部分，弄清楚這一點，就可以對兩個數量任意進行倍比。所以，分數的意義是小學數學的一個核心知識點。以多邊形面積計算公式推導序列為例，從推導平行四邊形的面積開始，引導學生感受、領悟“轉化”策略。這里需要注意3個方面。一是解決問題的思考方向(轉化)，二是解決問題的方法(怎樣轉化)，三是通過討論、比較、分析，弄清前后的關系(轉化依據)。到了三角形的面積計算公式推導時，只需要解決后兩點問題：到了梯形面積計算公式推導時。只需要解決最后一個問題即可。所以，平行四邊形面積計算公式也是一個核心知識。

4 從知識的某個段落來看。核心知識是一些基本問題。

所謂基本問題，是指那些看似簡單，人們習以為常，但很容易被忽略甚至出現理解偏差的“小”問題。例如，24時記時法中如何確定一天的起點和終點?三角形的三邊關系學生表述為“兩條短邊之和大于長邊”怎么辦?小數乘除法為什么要轉化為整數乘除法?從3的倍數特征為什么會想到各個位上數字之和是3的倍數?為什么求一個數的幾分之幾要用乘法計算?圓的面積計算為什么要切分成若干等分扇形。再拼成近似的長方形。從而化圓為方進行研究?運用等式的性質解方程，如何應對形如“10-x=3”的方程?……

為了明晰核心知識的表現形式。我們可以將其整理為下表：

我們知道，知識是思維的產物、智慧的結晶。我們還知道。沒有堅實的知識基礎。就不可能有強大的問題解決能力。但這并不是說知識越詳盡就越能夠為學生提供可靠的知識基礎。蕪雜的、表層的知識，遠沒有結構的、核心的知識基礎堅實，功能強大。因而，對于核心知識，我們有必要對其前后聯系進行深度挖掘，準確把握其本質和內核。把握其內隱的數學思想方法，并通過“多元聯系表示”的情境。激活其活力和張力，促使其自主生長和遷移。否則，就難以促使知識間的鏈接與化歸。甚至會造成前后不一。這對學生的進一步學習是極其不利的。

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