核心知識在內容展開過程中的價值分析

小學數學的課程內容在文本上通常表現為一批經過選擇的數學事實，揭示這些數學事實及其內蘊思想和相互關聯的邏輯方法。有利于受教育者掌握知識、形成必要技能的訓練材料(例題、習題、實踐活動)以及相應的表述手段(語言、符號、圖表)等各個要素的有機組合。在內容漸次展開的過程中。除了要充分考慮學生的已有知識、年齡特征和認知水平，以及課程實施過程中各種交互行為可能會產生的影響。自然也要十分重視知識自身的發展線索、結構層次以及這種結構化實體所應具有的選擇性、擴展性和啟發性。顯然，小學數學所涉及的基本原理、基本方法、基本關系、基本問題等核心知識在上述內容展開過程中具有非常突出的重要作用。厘清這種作用的方式和特點。對于準確把握教學內容。不斷提升教學品質。進而促進學生主動獲得與自身水平相適應的發展，有著不容忽視的積極意義。

一、開啟全新的內容領域

《數學課程標準(實驗稿)》將義務教育階段的數學內容劃分為“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”這四大領域。同時又將各大領域的內容進一步劃分為幾個相互關聯的子系統。在展開各大領域內容及其相關子系統的最初階段。我們常?？梢园l現在整個內容領域或子系統中處于核心位置。同時極具基礎性和包攝力的一些核心知識。經歷這些核心知識的探索和理解過程?；蛴兄趯W生初步感知相關內容領域的大體輪廓?；蛴兄趯W生初步建立對后續學習有著重要影響的基本概念?；蛴兄趯W生初步領悟相關知識發生、發展的關鍵線索。

“用字母表示數”是“數與代數”領域中“式與方程”子系統的起始內容。教科書先引導學生用“ax3”表示擺a個三角形所用小棒的根數。再啟發他們用“3+2xa”表示在一個三角形的基礎上增加a個三角形一共要用的小棒根數，進而鼓勵他們用“3a+4a(=7a)”表示擺a個三角形和a個正方形所用小棒的根數。之所以安排這樣的活動內容。一是為了突出字母不僅可以表示已知的、確定的數量，而且可以表示未知的、變化的數量。這是因為由已知的、確定的數量到未知的、變化的數量，不僅抽象程度明顯提高，而且涉及思維方式的深刻變化。而“字母常常被用來表示那些未知的、不確定的數量”也正是字母表示數的核心價值所在。初步感受這一點，逐步適應并學會以變化的眼光考察數量，對于后面將要學習的方程、比例乃至不等式、函數、坐標幾何等，都將產生不言而喻的重要影響。二是為了切實帶給學生探索的體驗、發現的機會和創新的嘗試。努力使他們在經歷過程的同時實現對上述數學知識和方法的深刻領悟。

二、聯結相關的教學段落

由于小學數學的學習內容需要學生在一個較長的時期內完成。同時由于不同年齡階段的學生具有不同的心理特點和認知能力。因此小學數學的大部分內容都會被劃分為若干個教學段落。這些教學段落有可能表現為內容本身由易到難、由淺入深、由具體到抽象的邏輯遞進：也有可能表現為教學要求由模糊到清晰、由初步感知到準確理解、由知其然到知其所以然的逐步提高。仔細分析不同教學段落的過渡方式和內在關聯。不難發現作用于其中的一些基本原理和核心思想。抓住這些基本原理和核心思想。也就抓住了足以影響整體教學思路的關鍵，進而也就有助于我們設計合理的教學起點、確定相應的教學重點、選擇恰當的活動組織方式。

兩位數乘兩位數是在兩、三位數乘一位數之后安排的一個具有關鍵意義的整數乘法教學段落。盡管在乘的順序、積的定位方法、豎式的表達形式等方面，兩位數乘兩位數與兩、三位數乘一位數存在一定的差異。但有一點是相通的。即它們的計算方法都要建立在“乘法分配律”這一基本原理之上。也正因為如此，在教學兩位數乘兩位數的筆算方法之前。教科書首先鼓勵學生利用已有的知識經驗從不同角度探索兩位數乘兩位數(28x12)的計算方法，并在此過程中相機啟發：要計算28x12的積，可以先分別計算28x10與28x2的積。再把算出的結果相加。容易看出，這種基于經驗的對乘法分配律的理解，既是進一步探索筆算方法的邏輯前提，也是聯結相關教學段落的核心知識。

三、引領重要的思考方向

數學知識和方法的發生、發展以及相應的實踐和應用過程，通常不會是一馬平川、一覽無余的。這里面常常會出現一些似是而非的信息、出人意料的障礙甚至是令人沮喪的困惑。事實上，這些模糊、障礙和困惑也正是數學魅力的重要組成部分。同時，一些核心的數學知識和問題也會悄然隱身于上述情境之中：它們或能提示突破經驗局限或思維障礙的手段，或能暗示改變思維方向的拐點，或能提供逼近問題本質的臺階。

分數與除法的關系歷來是小學生數學學習的難點之一。這里的難度不是指對結果本身的掌握，而是指對產生結果過程的理解。特別是，學生很難正確區分把3塊餅平均分給4個小朋友。什么情況下每人分得的是“1/4”，什么情況下每人分得的是“3/4塊”。這實際上是分數概念中把什么數量看作單位“1”這一核心問題的變式。事實上，如果把上面的每一塊餅分別看作單位“1”，那么每人分得的即為單位“1”的3/4，也就是3/4塊；如果把上面的3塊餅看作單位“1”，那么每人分得的自然就是單位“1”的1/4。換句話說，如果問題是“每人分得多少塊”。當以一塊餅作單位“1”：如果問題是“每人分得這些餅的幾分之幾”，當以3塊餅作單位“1”。教科書要求學生借助操作探索并理解“每人分得多少塊”的結果，其本質就是暗示了“要將這里的每一塊餅都看作單位‘1’”。這是因為。無論是一塊一塊地分。還是把3塊疊在一起分。其結果均會直觀地顯示出一塊餅的幾分之幾，而這也正是幫助學生準確理解問題核心的恰當臺階。

四、促進適時的溝通融合

數學知識與數學知識之間、數學問題與數學問題之間從來就不是彼此孤立，而是相互聯系的。正如數學家希爾伯特所說：“……盡管數學知識千差萬別。但在數學的整體中，都使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關系?！瓟祵W理論越是向前發展，它的結構就會愈加協調一致。并且這門科學一向相互隔絕的分支之間也會顯露出原本意想不到的關系。”因此，引導學生在看似不同的數學現象之間尋找共性的關聯?；蛟诳此葡嗤臄祵W現象之間發現一些重要的差異。通常也就抓住了提升他們認識水平的良機。從而也就能對相關內容作出新的、獨到的解讀。而上述尋找共性或差異的過程，顯然離不開相關核心知識的統率和支持。

在學習小數的意義和性質之后。為了引導學生進行回顧和整理。教科書要求他們分別舉例說說“小數和分數的聯系”以及“小數和整數的相同點”。上述第一個問題的價值比較容易理解。因為小數概念是建立在十進分數基礎上的，小數是一類特殊的分數。至于上述第二個問題，其價值則不僅體現在區分異同這一層面。而是更多地體現在對一般計數規則的再體驗上。因為，第一，小數和整數都遵循十進制計數法的位值原則。這也是它們的外在形式看上去更為相似的原因：第二。也正因為如此。除小數點的定位法則之外。小數的大小比較和四則計算都可以像整數一樣進行。事實上，認識到小數與整數的上述相似性。能使學生更加透徹地把握小數的核心價值。