從意義建模到能力生成

數學模型是聯系數學與現實世界的橋梁。引導學生建構數學模型的過程，就是數學化的過程，也是思維訓練的過程，這將有助于他們發現數學、“創造”數學，提高運用數學的能力和數學素養。作為小學來講，數學建模是遙不可及，還是揠苗助長?是無意插花。還是有意栽樹?這需要我們從數學學科的價值和本質人手，進行深度的思考和剖析。

在數學教學中，我們應該讓建模成為溝通數學與生活應用之間的橋梁。學生通過熟悉的現實生活，自己逐步抽象出數學模型，從中學生能體會到從實際情景中發展數學是獲得再創造數學的絕好機會，在建立模型形成新的數學知識的過程中，學生能更好地體會到數學與大自然和社會的天然聯系。只有這樣，數學教學中的“建模”才有了相應的環境與氛圍。

下面我們以“平均數”為例進行建模教學的實踐：

1、原型喚醒，提供貼近生活的背景。

要建模首先必須對實際原型有充分的了解，明確原型的特征，只有做到這一點，才能使建模者對實際問題進行簡化。由于小學生的生活經歷有限，對一些實際問題的了解比較含糊，這不利于學生對實際問題的簡化和抽象。因此，條件許可的話可以組織學生參與一些相關的社會調查和實踐活動，讓學生親身體驗生活，親自經歷事情的發生和發展過程。讓學生主動獲取相關的信息和數學材料，從而培養學生對事物的觀察和分辨能力，增強學生的數學意識。為此，我們認為教師在提供問題的背景時，首先必須考慮這些背景材料學生是否熟悉，學生是否對這些背景材料感興趣。我們可以創造性地使用教材，根據目前教材所提供的教學內容，結合學生的生活實際，把學生所熟悉的或了解的一些生活實例作為應用題教學的問題背景，這樣可以克服教材的不足，使學生對問題背景有一個翔實的了解，這不但有利于學生對實際問題的簡化，而且能提高學生的數學應用意識。

[片段一]

金壇市一所小學建造新校園，甲、乙兩個學生小隊參加義務勞動，并進行1分鐘搬磚比賽：

1.看到這些數據，你獲得了哪些信息?

2.哪隊搬磚快?你評判的標準是什么?(甲隊一共15塊，乙隊一共12塊，甲隊搬磚的總數多，就說明甲隊勝利，我們對甲隊表示祝賀。)

3.這時小風加入乙隊，1分鐘搬磚4塊。現在乙隊一共搬磚16塊，裁判判定乙隊為獲勝隊，并向乙隊表示祝賀。

4.(有些學生舉手表示反對)你們有什么想法?假如你是甲隊的隊員，你有意見嗎?為什么?

5.“哎呀，看來人數不相等，用比總數的辦法決定勝負不公平。”

6.在人數不相等的情況下，難道就沒有更好的辦法來比較搬磚的快慢?

7.用平均數能比較出。什么是平均數呢?(生結合自己的知識經驗和生活經驗說理解。)

8.你認為這兩種評判標準在適用范圍上有什么不同?

[解讀]本課所設計的“問題情景”是生活中比賽場景和平均數意義的自然融合，這個比賽場景隱含著平均數意義的本質，具備情景的開放性和模糊性兩個特點，學生在自由地解讀中整理兩組數據，而情景的呈現和解讀并不是一步到位的，情景分兩次呈現，從而激起學生的思維沖突，思考更好的評判標準，從而有序地推進數學問題的深入。這樣，從一個生活比賽場景中抽取出平均數意義的過程，反映出從一個生活問題(哪隊搬得快)到數學問題(什么是平均數)的抽取過程，是學生一次建模的過程，也是學生對平均數意義初步感知的過程。

2、意義賦予。實現問題簡化的過程。

兒童有無限的創造力，雖然他們所掌握的數學知識是有限的，但他們的想象力是無限的，他們敢想敢做，善于異想天開，這對簡化實際問題、構建數學模型是十分有利的。因此，在數學建模過程中教師要善于調動學生主動建模的積極性，千萬不能對學生不合理的歸納或不恰當的抽象以及不合常情的假設加以批評和指責，而是要抓住他們閃光的地方加以表揚、鼓勵，并通過適度的引導和點撥使學生對實際問題的簡化更加恰當。這需要教師有機地進行引導，沒有相應地進行指導與引導，那么情境活動則會變為支離破碎的學生經驗，反而在學生的學習中起到消極的作用。因為并非學生所有的經驗都有同等的教育價值。有些經驗不在弄清它們之間相互聯系的基礎上組織起來，它們在教學方面就會起消極作用。

[片段二]

1.怎么求出兩隊的平均數?四人小組討論，推選一位介紹學習成果。

2.反饋：哪個小組來匯報一下?

①估算：我們組估計一下，如果要使他們同樣多，甲隊大概在5塊左右，乙隊大概在4塊左右……

平均數的范圍：最小數<平均數<最大數

②移多補少的方法：對估算方法的驗證延伸出來。電腦呈現：我們一起來估算一下(把一根水平線移到7的位置)，平均數會是7嗎?為什么?……

③計算。甲隊：(7＋6＋5)÷3＝5(塊)

乙隊：(2＋7＋3＋4)÷4＝4(塊)

1)你是怎么想的?5代表什么?4代表什么?

2)和小李的5塊一樣嗎?和小風的4塊一樣嗎?(這種數字相同純屬巧合)

3)平均數跟以前學過的每份數一樣嗎?(實質不同：呈現每份數的條形圖和平均數的條形圖作對比。)

4)總數量÷總份數＝平均數

[解讀]平均數的意義是代表一組數據整體的一般情況，它并不代表具體的數。這種意義只能是讓學生在協作探索中意會而不能言傳，通過協作學習和教師有力度的問題追問，有機地呈現出估算、移多補少、計算等三種相互聯系的方法，在對比中達到清晰概念、深刻理解概念的目的，也為學生合理建模奠定堅實的基礎。

3、經歷創造，構建合理的數學模型。

學生掌握了某項數學知識后，可以有意識地創設一些把所學知識運用到生活實際的環境，來幫助學生把數學模型建立得更好、更深。通過這些把數學知識與生活實際相聯系的活動，既能有效地鞏固所學知識，又培養了學生的思維能力和實踐能力，讓數學回到了現實生活中，同時，學生建立的這些數學模型會更加深入、明確。

[片段三]

1.小結：當人數不相等時，比總數不公平，是誰出現在我們的課堂里?此時此刻，你不想對平均數發自內心地說兩句嗎?

2.溝通平均數與生活的聯系：你在生活中見過哪些平均數?

出示：老校區人均占地面積是4平方米，新校區人均占地面積是15平方米。

[解讀]將平均數概念和學生身邊的有具體含義的平均數相鏈接，學生試圖用平構數概念去解釋其具體的含義時，這就是數學概念與生活表征兩者在學生心中融合的過程，是學生深刻理解的過程，是物理模型到化學模型的轉變過程。

4、協作會話，評價應用數學模型。

數學模型來自生活實際，數學建模的目的是解決實際問題。因此，每個數學模型都應有其本身的應用價值，如果一個數學模型只能解決當前的一個實際問題，那么這樣的數學模型就失去了應用價值，同時也就失去了數學建模的意義。當學生數學建模完成后，要讓學生展示自己的建模思維過程，充分地暴露學生的思維過程。同時也要鼓勵學生對別人的數學模型進行評價，在展示、評價中比較每個數學模型的優點和缺點。

[片段四]

招工廣告：全廠職工每月平均工資為1500元

小王前去應聘，1個月后卻只得到500元……小王和老板打官司，誰會贏?

[解讀]數學模型在生活中能得到靈活的應用，才是達到深刻理解和把握數學模型的目的，而招工廣告此題是為培養學生靈活應用數學模型解決實際問題的一個好素材。

通過以上平均數的教學例子我們可以發現，通過數學建模能使學生真正體會到數學的應用價值。培養學生的數學應用意識，增強數學的學習興趣，使學生真正了解數學知識的發生過程，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的創造能力。