從變與不變中看名師教學(xué)藝術(shù)

錢(qián)金鐸，男，浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師。現(xiàn)任浙江省舟山教育學(xué)院小學(xué)數(shù)學(xué)研究員。錢(qián)老師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中善于創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)約、有效的教學(xué)情境和民主和諧的學(xué)習(xí)氛圍，千方百計(jì)地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，努力培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)和善于合作的精神，注重讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和探究過(guò)程中運(yùn)用多種感官參與活動(dòng)，重視學(xué)法的研究和應(yīng)用。

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.56 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1673-4289（2011）12-0034-03

小學(xué)數(shù)學(xué)課中的“交換律”一課，既是老課也是名課。錢(qián)金鐸老師分別在2005年和2010年執(zhí)教過(guò)本課。值得一提的是，除細(xì)節(jié)處理外，兩次教學(xué)的理念和具體過(guò)程都有很大變化。在2005年的《交換律》一課中，他率先將加法交換律和乘法交換律放在一個(gè)課時(shí)內(nèi)進(jìn)行教學(xué)。曾有人這樣評(píng)價(jià)此課：“錢(qián)老師把一杯白開(kāi)水上成了一瓶茅臺(tái)酒。”令人贊嘆的是在2010年錢(qián)老師再次教學(xué)《交換律》時(shí)，與會(huì)教師在眼前一亮的同時(shí)，更是贊嘆他不斷創(chuàng)新的與時(shí)俱進(jìn)精神。

筆者覺(jué)得這是非常可貴的優(yōu)質(zhì)資源，現(xiàn)輯錄部分教學(xué)片段與各位分享。

一、從現(xiàn)象引入到算式引入，凸顯本質(zhì)聯(lián)系

【2005年教學(xué)片段】

師：今天上課什么變了？什么沒(méi)變？

生1：上課的地方變了，同學(xué)沒(méi)變。

生2：老師變了，桌子沒(méi)變。

師：生活中有很多的變與不變，數(shù)學(xué)計(jì)算中有沒(méi)有這種現(xiàn)象呢？……

【2010年教學(xué)片段】

師：今天老師要請(qǐng)大家做10道口算題，看算式直接寫(xiě)出結(jié)果，看誰(shuí)10道口算題都能做對(duì)。

58+36；43+27；120+31；150+42；160+8；

27+43；42+150；88+80；36+58；90+61

（分左右兩類(lèi)逐一呈現(xiàn)）

師：10道題做完了，仔細(xì)觀察這些加法算式，你還能得到哪些數(shù)學(xué)信息？

生：上面兩個(gè)算式，交換了加數(shù)位置，和不變。

師：你發(fā)現(xiàn)哪兩道算式有這樣的現(xiàn)象？

生：“58+36”和“36+58”

師：哦，這兩個(gè)算式有關(guān)系，什么沒(méi)有變？什么變了？……

【對(duì)比賞析】

2005年的引入環(huán)節(jié)是從生活中的變與不變到數(shù)學(xué)計(jì)算中的變與不變，教學(xué)過(guò)渡親切自然。變與不變更是直接切入交換律的本質(zhì)，即“參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)位置變了，但計(jì)算結(jié)果不變。”2010年的引入環(huán)節(jié)與2005年相比，在保留了簡(jiǎn)潔有效的基礎(chǔ)上，更側(cè)重于觀察與對(duì)比。“仔細(xì)觀察這些加法算式，你還能得到哪些數(shù)學(xué)信息。”在計(jì)算后提出問(wèn)題，體現(xiàn)了執(zhí)教者面向全體學(xué)生的教學(xué)理念。這個(gè)問(wèn)題是開(kāi)放的，不同層次的學(xué)生會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生可以直接從計(jì)算結(jié)果上去考慮問(wèn)題，即10道算式只有5種計(jì)算結(jié)果。也可以從加數(shù)的位置上去考慮問(wèn)題，更可以前后聯(lián)系直擊加法交換律的本質(zhì)——交換加數(shù)位置，和不變。通過(guò)對(duì)兩種和相等的加法算式的比較，有效地感知加法交換律的內(nèi)涵，為后續(xù)合理概括加法交換律提供了認(rèn)知前提。

二、從平行探究到逐一解決，凸顯主體作用

【2005年教學(xué)片段】

師：生活中有很多的變與不變，數(shù)學(xué)計(jì)算中有沒(méi)有這種現(xiàn)象呢？

生：5加4和4加5。

師：“5+4”和“4+5”這兩道算式比較，什么變了？什么沒(méi)變？

生：4和5的位置變了，和沒(méi)變。

師：所以這兩道算式可以用什么符號(hào)連接？

生：等號(hào)。

師：加法當(dāng)中有這種現(xiàn)象，其他的計(jì)算中有沒(méi)有這種情況呢？

生：1×9=9×1

師：哦！這樣的情況在加法和乘法中都有。是不是只有這兩道算式有呢？其他的算式中有沒(méi)有？自己再寫(xiě)幾道看，看是不是都這樣的。

學(xué)生獨(dú)立思考后試寫(xiě)，然后向全班匯報(bào)。

師：在加法和乘法中這樣的例子還有嗎？還有多少？

生1：有很多。

生2：有無(wú)限多。

生3：寫(xiě)不完的。

師：寫(xiě)不完，假如說(shuō)我們用字母a和b來(lái)表示這兩個(gè)數(shù)，那這樣的算式要怎么寫(xiě)呢？

生：a+b＝b+a

師：這可以代表什么數(shù)呢？

生：能代表很多數(shù)，1、2、3、4等等都行。

師：誰(shuí)能用一句話來(lái)說(shuō)，讓大家都聽(tīng)明白。

生：a和b可以代表任何數(shù)。

師：在加法和乘法中有這樣的規(guī)律，如果請(qǐng)你給它起個(gè)名字，你想叫它什么？

生：交換律。

師：你為什么叫它交換律？

生：在這些算式中兩個(gè)數(shù)的位置交換了。

師：哦！位置交換了，但什么沒(méi)變？

師：對(duì)這樣的規(guī)律我們叫它交換律。

師：那么交換律在加法中我們叫它什么？在乘法中呢？……

【2010年教學(xué)片段】

師：連線的算式概括的是什么？為什么它們可以連起來(lái)？

師：如果用一個(gè)符號(hào)把它們連起來(lái)，可以用什么符號(hào)？

教師用多媒體課件呈現(xiàn)5個(gè)等式。

師：你能根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)把這五道算式分成兩類(lèi)嗎？

生：58+36=36+58，43+27=27+43，150+42=42+150為一類(lèi)；120+31=90+61、160+8=88+80為一類(lèi)。

師：你為什么這樣分類(lèi)？

生：第一類(lèi)里的三道加法算式，加數(shù)的位置交換了，加數(shù)沒(méi)變；第二類(lèi)里兩個(gè)加數(shù)都沒(méi)變。

師：哦，像第一類(lèi)這樣的例子，你還會(huì)舉嗎？還能舉出幾個(gè)？這樣的例子舉得完嗎？

生：無(wú)數(shù)個(gè)，舉不完。

師：那怎么辦？

生1：寫(xiě)省略號(hào)。

生2：取了名字——加法交換律。

師：有多少人聽(tīng)到過(guò)這個(gè)名字？

師：算式寫(xiě)不完，能不能用一個(gè)等式表示所有算式。

生：用字母代替a+b＝b+a

師：a和b能代表哪些數(shù)？

生：可以代表任何數(shù)。

師：小數(shù)可以嗎？誰(shuí)來(lái)舉個(gè)例子？

生：3.6+5.8=5.8+3.6

師：還可以表示什么數(shù)？

生：分?jǐn)?shù)也可以的，如：1/4+1/5=1/4+1/5

師：說(shuō)明a和b不僅能表示整數(shù)，還能表示小數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：什么運(yùn)算中也有類(lèi)似的運(yùn)算定律？說(shuō)一說(shuō)你的想法？

生1：減法中也有交換律。

生2：不一定。

師：說(shuō)一說(shuō)你們各自的理由？

生1：1-1=1-1

生2：被減數(shù)和減數(shù)相同是可以的，不相同的時(shí)候就不行了，所以我覺(jué)得不一定。

師：你們認(rèn)為呢？減法有沒(méi)有交換律？其實(shí)，這個(gè)同學(xué)說(shuō)得很有道理。下面你們自己研究一下，乘法和除法有沒(méi)有交換律。

【對(duì)比賞析】

教學(xué)新知部分一個(gè)較大的變化是第一次教學(xué)，教師把加法交換律和乘法交換律平行展開(kāi)，在交流的過(guò)程中逐漸形成共識(shí)，提煉概括運(yùn)算定律。第二次教學(xué)，教師在對(duì)比分類(lèi)中使學(xué)生清楚和不變的加法有兩種情況：一種是加數(shù)不變只是位置變了；另一種是兩個(gè)加數(shù)本身有所變化。體會(huì)加法交換律是“和不變”中的一種特殊形式。在學(xué)生掌握了交換律的本質(zhì)后，放手讓學(xué)生自己研究其他三種運(yùn)算是否存在交換律。在師生交流中實(shí)現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用，在學(xué)生的自主研究中突顯學(xué)生的主體作用，實(shí)現(xiàn)了主導(dǎo)作用和主體作用的辯證統(tǒng)一。

值得一提的是，在用字母表示運(yùn)算定律后的深化過(guò)程中，第一次教學(xué)，錢(qián)老師的教學(xué)著力于“由特殊到一般”的感受。通過(guò)“這里的a和b可以表示哪些數(shù)”的問(wèn)題，使學(xué)生在自己的知識(shí)范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，試圖找到一些不符合條件的數(shù)。在一番搜索后，學(xué)生覺(jué)得這兩個(gè)字母可以表示任意數(shù)，突顯了運(yùn)算定律的普遍適應(yīng)性。第二次教學(xué)，教者是引導(dǎo)學(xué)生跳出整數(shù)范圍而向小數(shù)和分?jǐn)?shù)的范圍內(nèi)推廣。由于四年級(jí)學(xué)生只具備計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加法的能力，所以沒(méi)有繼續(xù)深入。第一次是著力于科學(xué)地教知識(shí)，而這一次是著力于弄清知識(shí)的前后聯(lián)系。運(yùn)算規(guī)律的普適性因?yàn)閿?shù)的無(wú)限性是很難說(shuō)清楚的，但隨著對(duì)“累計(jì)計(jì)數(shù)的無(wú)序性”認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步深入，學(xué)生是會(huì)逐漸理解的。這一細(xì)節(jié)的改變體現(xiàn)了教者“教適合學(xué)生的數(shù)學(xué)”的教學(xué)理念。

三、從直觀應(yīng)用到抽象應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)涵

縱觀這兩節(jié)課，發(fā)現(xiàn)在兩次教學(xué)的模仿練習(xí)后，課堂上的提高練習(xí)也有了較大的改變。

【20005年教學(xué)片段】

教師用課件媒體出示下圖。

師：這里一共有多少個(gè)圓片？用加法你可以怎么列算式？

生1：11+13=24

師：你是怎么想的？

生1：紅色圓片的個(gè)數(shù)加上黃色圓片的個(gè)數(shù)就是圓片的總數(shù)。

生2：13+11都可以的。

師：你怎么想？

生2：就是反過(guò)來(lái)，用黃色圓片的個(gè)數(shù)加上紅色圓片的個(gè)數(shù)，結(jié)果是一樣的。

師：用乘法來(lái)列式，你能列嗎？

生：3乘8或者8乘3

師：你是怎么想的……

【2010年教學(xué)片段】

師：加法交換律其實(shí)我們老早在用，想一想，我們什么時(shí)候用過(guò)？

生1：驗(yàn)算，交換兩個(gè)加數(shù)的位置重算一遍。

師：這里有兩道加法算式，請(qǐng)你計(jì)算并用加法交換律驗(yàn)算。

學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)。

師：乘法交換律你在以前的學(xué)習(xí)中有沒(méi)有遇到過(guò)？

生：3個(gè)8相加的和，可以寫(xiě)成“3×8”也可以寫(xiě)成“8×3”……

【對(duì)比賞析】

2005年的教學(xué)，教者不滿足于學(xué)生的簡(jiǎn)單歸納，在學(xué)生看圖列式的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想向?qū)W生揭示“交換律”的本質(zhì)——計(jì)數(shù)的順序不影響計(jì)數(shù)的結(jié)果。使學(xué)生不僅知其然，更要知其所以然。2010年的教學(xué)，教者保留了原有的教學(xué)思想，形式上卻以喚醒學(xué)生思考為主。“計(jì)數(shù)的順序不影響計(jì)數(shù)的結(jié)果”應(yīng)該是學(xué)生從數(shù)數(shù)開(kāi)始就有所感悟的，只是一直沒(méi)有提煉為定律來(lái)描述。回想一下學(xué)生數(shù)數(shù)的過(guò)程，我們引導(dǎo)學(xué)生從左邊開(kāi)始數(shù)，也可以從右邊開(kāi)始數(shù)。接著學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的加法，如“有3朵紅花，2朵白花，兩種花一共有幾朵”，我們可以用“3+2=5”來(lái)計(jì)算，也可以用“2+3=5”來(lái)計(jì)算。因此，當(dāng)我們提出用“交換加數(shù)的位置再算一遍”的方法驗(yàn)算時(shí)，學(xué)生毫無(wú)疑問(wèn)。后面學(xué)習(xí)乘法，新課程改革以后教材去掉了“乘數(shù)”和“被乘數(shù)”統(tǒng)稱(chēng)為“因數(shù)”。一開(kāi)始學(xué)習(xí)乘法，學(xué)生就在感悟交換律，也許就是因?yàn)檫@些前期儲(chǔ)備使學(xué)生對(duì)于加法交換律和乘法交換律的認(rèn)識(shí)有了深厚的基礎(chǔ)，雖然他們暫時(shí)無(wú)法說(shuō)清楚卻有高度的認(rèn)同感。

我們認(rèn)為，錢(qián)金鐸老師的這兩堂課，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。它的精彩，不在于華麗的場(chǎng)景，不在于唯美的畫(huà)面，而是在于豐富的數(shù)學(xué)思想方法的滲透猶如春雨潤(rùn)物，巧然天成。

（作者單位：南海實(shí)驗(yàn)學(xué)校，浙江，舟山 316000）