雙穩態隨機共振系統參數選擇快速算法及應用

楊保國，田坦，張殿倫

(哈爾濱工程大學 水聲技術實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨機共振(stochastic resonance，SR)理論由意大利學者Benz［1］提出，用來解釋地球遠古氣象中出現的冰期與暖氣候期周期交替出現的現象.其理論簡述［1-2］為:當淹沒在噪聲背景下的微弱信號通過一個非線性系統，在非線性系統、信號和噪聲之間達到某種匹配關系，將會發生強噪聲能量向微弱信號轉移的現象，從而達到放大信號和抑制噪聲的目的.

由于受線性響應理論以及絕熱近似的限制［3］，工程上SR只適合頻率較低的信號.而對雙穩態的SR系統進行數值計算時大多采用四階龍格庫塔算法.對于非線性系統，數值解法的優劣都直接決定了系統的性能.使用龍格庫塔算法進行仿真，其步長就會對輸出結果產生影響.從物理意義上講，它應該等于采樣頻率的倒數［5］.于是當采用數值方法時，影響SR系統輸出的因素除了系統參數和輸入SNR之外，系統采樣周期也成為一個重要的因素.隨著對雙穩態SR系統研究的深入以及利用數字信號處理器對其應用的開展，參數調節SR比噪聲調節SR變得更受學者的關注［6-7］.而絕大部分的研究成果并未注明其參數是如何選取的［8-13］，即使是SR自適應輸出算法［14］，也是改變系統參數，以試算的辦法來求得輸出信噪比最大.因此研究如何較為快速選取相對優化的參數，對實現雙穩態SR系統的數字應用(如使用DSP器件)具有重要意義［15-19］的.

本文針對非線性雙穩態SR模型，根據其歸一化后的形式，提出一種參數選擇快速算法.根據仿真和數據處理，驗證了其正確性.

1 SR理論及模型

1.1 雙穩態SR原理

非線性雙穩態SR系統的勢函數［3］為

圖1 SR系統的對稱雙勢阱Fig.1 A symmetric double well of SR system

當受到周期信號和高斯噪聲調制時，用郎之萬方程表示SR系統:

式中:ξ(t)為噪聲強度為D的高斯白噪聲，其自相關函數為E(ξ(t)ξ(t+τ))=2Dδ(t－τ);Acos(Ωt)為周期信號，幅度為A.

1.2 雙穩態系統的數值解法

郎之萬方程的最廣泛的解法為四階龍格庫塔算法［4］.具體的解法如下:

式中:xn為輸出采樣.Pn=Acos(ωt)+Γ(t)為輸入.且令xn=0.其中h為采樣步長，其取值實質上為采樣間隔.

利用式(3)，可在已知系統參數a、b和采樣間隔時，在一定的輸入SNR下，對SR系統求解數值輸出.而對于雙穩態SR非線性系統來說，此采樣間隔(即系統步長)對系統輸出SNR增益有較大影響.

1.3 模型的歸一化與分析

由于關心的是輸出SNR及其系統增益，因此，把式(3)記為

式中，SNRout為輸出信噪比.

令SNRin=10lg(A2/2D)，則式(4)可寫為

將式(2)中t寫為nTs的形式，n為自然數.且Ts=1/fs.令x/Ts=x'，Tsa=a'，=b'，f/fs=f0.注意到對高斯白噪聲的每個采樣值又都服從原來參數——均值和方差的高斯分布.式(2)可寫為

將此式作為新的SR系統，記為

用龍格庫塔算法(3)進行數值求解時，令h'=1，則Pin(t|t=nTs)=Pin'(n)，x'(n)=kx(t|t=nTs)，k為比例系數.

可以看出，在對此SR系統進行數值計算時，已經“分離”了數值解法步長和采樣周期關系.

如果式(8)在某輸入SNR下達到SR狀態，只要估算出輸入序列中諧波幅值，則可反換算出式(2)的系統參數a、b，該參數正好使輸入達到SR狀態.同時對比式(2)、(6)和(8)，可以得到結論:當式(2)不滿足絕熱理論的條件，信號頻率較高時，保持f/fs不變且適當的放大系統參數a、b即可使其達到SR狀態.

對比函數(5)、(7)和(9)，如果不考慮輸出序列相互的比例系數而計算輸出SNR，那么3個函數就是等價的.但是影響輸出的因素卻減少了.針對函數(9)，注意到f0完全可以用多速率數字信號處理技術來處理，則系統輸出SNR就變成了關于輸入SNR和算法步長h″的二維函數(當然有隱含條件A0略小于Ac).則可根據計算得到的系統增益和輸入SNR、算法步長h″的函數圖，使用增益最大準則，來選擇式(8)的參數，進而可計算式(2)的參數a、b.

系統增益最大準則的數學描述為:對于?SNRin(f0)，若?h，使得

則使用h為歸一化模型(8)的計算步長.

圖2(a)為在f0=0.01條件下系統增益和輸入SNR及其計算步長的關系圖，可以看出其圖為山脊狀.圖2(b)為SNRin=－6.989 7 dB的剖面圖.

圖2 系統增益Fig.2 The gain of the system

1.4 歸一化模型的仿真驗證

已知在模型(2)中，輸入信號周期為低頻f1= 0.01 Hz，幅度為A1=0.3的余弦信號，加入噪聲強度D1=0.5的噪聲，則

以fs1=5 Hz采樣，通過參數a1=1、b1=1的系統，可使其達到SR狀態.其輸入和輸出的時域波形及能量譜密度如圖3所示.

圖3 在SR系統模型(2)下的輸入輸出Fig.3 The input and output of the SR system model(2)

現在問題如下:若有一單頻信號，幅度約為A2=3，頻率f2=100 Hz;輸入SNR約為－10.457 6 dB，即噪聲強度D2=50.則選擇采樣頻率fs2=50 kHz，如何選擇參數使這樣的輸入能在系統模型(2)中達到SR狀態是本文要研究的主要問題.

圖4 模型(2)中新參數下的SR狀態Fig.4 The SR output in model(2)using new parameters

由已知可知，在模型(8)中，a'=h″=0.2時，可使其達到 SR狀態.f0=f2/fs2保持不變，則可反推a=a'fs2、b=a3(A/A0)2和h=Ts2，此時可使得模型(2)的時域輸出達到SR狀態.其輸出時域和能量譜密度如圖4所示.此例驗證了歸一化模型(8)和SR系統(2)的等價性.

2 參數選擇快速算法及其應用

2.1 參數選擇快速算法

在離散信號處理中，對于線譜檢測最主要的指標是SNR增益.因此采用系統增益最大的次佳準則來選擇系統參數.選用次佳準則的好處:1)簡化參數選擇模塊的復雜程度，并保持較優的系統增益; 2)當信噪比較低時，估計諧波幅值將有較大偏差，而此時使用次佳準則可使系統保持一定的適應性.

次佳準則的數學描述為

于?SNRin(f0)∈(SNRin1SNRin2)，均?h使得G(h)|SNRin(f0)∈(max(G(h)|SNRin(f0))－σmax(G(h) |SNRin(f0)))，則在SNRin(f0)條件下模型(8)采用h為計算步長.其中σ為表示區間范圍的實數.

圖5 系統框圖Fig.5 System diagram

圖6 參數選擇流程Fig.6 Preferences flow chart

系統框圖如圖5所示.其中參數選擇模塊中具體流程如圖6.首先利用多速率信號處理技術使f0為參考值，計算fs，其次計算SNR，利用諧波估計來估計周期幅值A，并選擇相應的步長h.選擇步長時參考表1，同時按照式(12)便可求得系統參數，在此參數下可令步長h=1/fs.利用此參數計算得到的SNR增益就應為近似最大.

其中建立表1的具體步驟如下:

1)統計仿真f0=0.002條件下，模型(9)的系統增益－輸入SNR－步長的山脊狀圖.

2)根據其剖面圖，采用次佳準則，即給定輸入信噪比的范圍SNRin(f0)∈(SNRin1SNRin2)，均存在h使得其對應的增益，等于或略小于各剖面的最大增益.則在此輸入信噪比范圍內，采用h作為系統步長.

2.2 艦船線譜檢測

在某目標艦船離水聽器距離較近時，其輻射噪聲的功率譜密度圖為7(a)所示，其中已經通過一個帶通濾波器，濾掉低頻干擾和高頻率成分，并且采樣頻率 f0=10 000 Hz.目標噪聲分別在200 Hz和310 Hz附近有很強的線譜.

在目標艦船較遠時，功率譜密度圖如圖7(b)所示.輻射噪聲較小.并且由于環境噪聲和自噪聲的影響，目標線譜不明顯.

表1 f0=0.002時的步長Table 1 Step when f0=0.002

圖7 艦船噪聲Fig.7 Noise of a vessel

利用參數選擇快速算法來選擇SR系統參數，來對其進行SR處理，以便能夠增強目標線譜的強度.

首先利用多速率信號處理技術，使采樣頻率提高10倍，加漢寧窗后利用諧波估計技術估計諧波幅值和頻率，得到A=0.023 7、f=195 Hz.將此頻率諧波作為信號可估計SNR約為SNR=1.013 5 dB.因此選擇h=0.2，代入式(12)后計算出系統參數a、b.通入SR系統后，經過放大，其時域波形和頻域波形如圖8所示.

可以看出，在f=195 Hz處，其線譜已經凸顯了出來.

圖8 SR系統的輸出時域波形和功率譜密度Fig.8 Time-domain waveform and its spectrum of the out-put of SR system

3 結束語

本文中將常規的對稱雙穩態SR系統方程進行歸一化，據此作為參考模型，并基于龍格庫塔數值算法，提出一種針對雙穩態SR系統的參數選擇快速算法.通過對模型的仿真和目標艦船輻射噪聲的數據處理，驗證了此算法能夠正確和快速地選擇系統參數.但仍有兩點需要說明:

1)由于SR系統對噪聲分布的適應性和本算法確定步長時的非連續性，使得確定的系統參數為非最佳的.

2)利用此算法所取得的系統參數恢復模擬SR系統時，得到數值解應逼近真值.但是由于比例系數k存在，將需要較大的放大器才能觀測到輸出信號.

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