考慮運動副間隙的雙滑塊機構運動分析

羅阿妮，鄧宗全，劉榮強，劉賀平

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工業大學 機電學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

航天機構的運動精度要求都是很高的，而構件的配合精度對運動精度有直接的影響［1］.構件的配合精度受到加工和安裝等方面的影響，提高配合精度會大大增加制造成本［2-3］.因此，分析各運動副的配合精度對機構運動精度的影響，確定主要影響因素，減小提高配合精度范圍是十分必要的.目前，間隙機構的數學模型有二狀態模型、三狀態模型和連續接觸模型，這里采用二狀態模型，即接觸－分離模型，來對機構間隙進行建模研究［4-5］.

1 空間一維伸展臂工作原理

ADAM伸展臂于2000年NASA在進行SRTM (shuttle radar topography mission)項目時作為合成孔徑雷達的支撐構件，其結構組成的二維剖面如圖1所示.下面簡要介紹其結構組成及伸展臂桿單元的工作原理.

如圖1所示，伸展臂完全收攏狀態放置在承載筒內.伸展臂由承載筒和伸展單元2部分組成.承載筒按照其功能可以劃分為3段，圖1中從左向右依次為:裝載段、消旋段、提升段.裝載段用來容納收攏狀態的伸展臂，由布置在圓筒內的8條直軌道組成;消旋段用來把收攏狀態的伸展臂單元展開成具有良好剛性的空間立方體，由8條布置在圓筒內壁的消旋軌道形成;提升段是整個伸展臂展開、收攏的動力源，由螺旋提升筒和4條直軌道組成，在電機的帶動下通過傳動機構使得螺旋筒轉動從而帶動伸展臂沿直軌道實現提升或收攏.伸展臂完全收攏在承載筒后由均布在筒內的4條壓緊桿實現其軸向定位.伸展臂完全展開后由其根部的鎖緊機構實現伸展臂與承載筒的定位鎖緊功能.

圖1 伸展臂結構組成Fig.1 Structure of the deploy and retract mast

圖2為空間伸展臂根部的鎖緊機構地面試驗裝置的機構簡圖.此鎖緊機構安裝在空間伸展臂上，隨著伸展臂向上運動.當此機構運動到圖示位置時，即軌道7與鎖定孔8(安裝于機架上)相對，軌道6與7被機架上的相應結構擋住，不能向上運動，這時只有滑塊1隨著此伸展臂向上運動.滑塊2在滑塊1的驅動下沿著軌道7向左運動.當滑塊2運動到一定距離后，它就插入到孔8中.當滑塊1運動到與軌道7所在的直線上時，伸展臂停止，滑塊2插入到孔8的深度最深，從而空間伸展臂被滑塊2鎖定在當前位置.但是由于結構方面的精度和控制方面的可靠性等問題，伸展臂停止的位移未必精確.因此，滑塊1的停止位置會有偏差，這樣滑塊2不能完全插入孔8中，從而空間伸展臂不能被完全鎖緊.因此滑塊1、2的連接采用連桿4、5和彈簧3的方式，這樣在滑塊1沒有運動到軌道7所在的直線上時滑塊2就可以在彈力的作用下完全插入孔8中，滑塊1停止的位置有所偏差也不會影響鎖緊.

圖2 鎖緊機構簡圖Fig.2 Sketch of lock mechanism

根據此鎖緊機構的功能和動作的分析，其機構運動簡圖如圖3所示.由圖3可以看出，此機構能夠被簡化為一個帶有彈簧的雙滑塊機構.

圖3 機構運動簡圖Fig.3 Sketch of the bi-slide flex link mechanism

2 機構運動分析

在圖3所示機構位置，軌道6、7與機架固定，滑塊1在運動機構的驅動下勻速直線運動，而滑塊2在滑塊1的驅動下水平向左運動.首先，不考慮間隙和連桿變形的理想狀態下分析其他各構件運動.在局部坐標系Osxsys中，xs軸始終與連桿的軸線重合.這里，設mi(i=1，2，3，4，5)為構件i的質量，F3為彈簧產生的彈力，f為滑塊與軌道的摩擦系數，Lj(j=4，5)為構件j的長度，S為滑塊2在y軸上的位移.因此，滑塊2和連桿5在局部坐標系中的振動方程為

式中:xs為滑塊2和連桿5沿著局部坐標系中的xs軸的位移，c為與速度相關的阻尼系數，k為彈簧的彈性系數，Q為振動體在軸向受到的外力［6］.

根據振動體的受力［7］，可得

對方程求解，得到滑塊2在局部坐標系中的位移.由于整體坐標系與局部坐標系之間的坐標變換矩陣為

經過坐標變換，就可以獲得滑塊2在整體坐標系中的位移:

式中:H1、S1為Δt時間間隔前滑塊1和2的位移，S2為Δt時間間隔后滑塊2的位移.

3 間隙的數學模型的建立

圖4所示為鉸鏈的孔與銷，設鉸鏈間存在間隙值為r，在運動過程中，當鉸鏈的孔與銷的中心的距離大于等于r時，構成鉸鏈的2個構件會發生碰撞.2個構件碰撞時的相互作用力可以利用非線性彈簧－阻尼的形式來描述，即

式中，δ為2個構件接觸時法向的變形量，Fn為法向碰撞力，kj、cj1和cj2分別為2個構件的接觸剛度、法向阻尼系數和切向阻尼系數，Ft為切向碰撞力，f為兩構件的摩擦系數，vt為2個構件的切向相對速度［8-9］.

設O1為滑塊1上的銷軸中心，O2為構件4上孔的中心.考慮鉸鏈間隙時，就要增加2個坐標和1個夾角，即(xO1，yO1)、(xO2，yO2)和夾角θ.

圖4 鉸鏈示意Fig.4 Sketch map of joint

由此來判斷2個構件是否接觸，是否有碰撞力的作用.

圖5 移動副示意Fig.5 Sketch map of slider

圖5為移動副示意圖，設滑塊垂直于移動方向的位移為xL1，導軌垂直于移動方向的位移為xL2，設移動副的間隙為r'，則

碰撞力的計算公式與式(2)相同［10］.

4 考慮間隙時機構運動分析

本文認為滑塊1和連桿4連接的鉸鏈、連桿5和滑塊2連接的鉸鏈、滑塊2和導軌連接的移動副存在間隙.設xi和yi(i=1，2，4，5)為構件i的平動位移，βj(j=4，5)為連桿j繞鉸鏈中心的轉動角位移，Fnij、Ftij和θij(i=1，2和j=4，5)分別為構件i和j構成的鉸鏈在碰撞時的法向力、切向力和兩中心連線的偏角，FNi和FTi(i=1，2)為滑塊i與導軌間碰撞時的法向力和切向力，FN45為連桿4和5的法向作用力，Ji(i=4，5)為連桿i繞鉸鏈中心的轉動慣量［11］.

根據滑塊2的受力，建立滑塊2在x和y方向的動力學方程.當滑塊2的鉸鏈和移動副都發生碰撞時，

各碰撞力的方向由具體的位置決定.當鉸鏈或移動副不接觸時，相應的碰撞力為0.這樣通過初始條件，可以求出較小時間間隔后的滑塊2的加速度，再通過運動學公式求出相應的位移S和速度S·［12］.

當鉸鏈中2個構件接觸時，連桿4的動力學方程為

因為β4=90°－α，因此

當鉸鏈中2個構件不接觸時，上面的動力學方程中相應的碰撞力為零，即可得到此狀態時連桿4的動力學方程.按照初始條件和運動學方程，可進一步得到連桿4在迭代時間間隔后相應的位移和速度.利用相同方法，也可求出連桿5的位移和速度.

5 仿真分析

根據前面的分析獲得的數學模型，利用Matlab軟件，編寫程序，獲得運動參數的分析結果.令彈簧剛度k=0.5 N/mm，迭代時間間隔Δt=0.001 s，孔8最深處距離整體坐標系原點0.45 m.在初始狀態，滑塊1的位移為 H0=0.4 m，滑塊2的位移為S0=0.3 m，滑塊1勻速運動，其速度為－1 m/s，滑塊2靜止，彈簧的彈力為0，kj=7.15×10－4N/mm，cj1=0.175 N·s/mm，cj2=0，摩擦系數都為0.05，運動副的最大間隙值都取0.1 mm.

圖6 兩滑塊位移曲線Fig.6 Displacement curves of two sliders

在圖6中，滑塊1勻速運動，因此其位移曲線為一條斜線.滑塊2首先由初始位置按照一定的曲線規律運動到孔8的最深處，由于2具有一定的速度，所以滑塊2與孔8發生碰撞.應力波在滑塊2中往復運動一次后，滑塊2以碰撞時具有的速度反向向后運動.由于彈簧給滑塊2和連桿5的彈力是向左的(圖3所示)，所以滑塊2在碰撞后，水平向左減速運動一段距離，而后再向右運動，與孔8再次碰撞.滑塊2按照這一規律運動一段時間后，滑塊1運動到H=－0.1這一位置停止，滑塊2稍后也達到了平衡.

滑塊2處鉸鏈存在間隙時，滑塊2的中心在x、y方向的誤差值如圖7所示.由圖可知，x方向誤差值以間隙值為中心波動，y方向誤差值以0為中心往復振動，二者最終都收斂于各自的平衡點.由于滑塊2的重力始終沿x正方向，所以其波動中心偏于正方向.而滑塊2在y方向上受力隨著運動而變化，沒有方向固定的力作用，所以收斂點為0.因此，當此系統平衡時，在重力的作用下，鉸鏈的銷和孔的頂點接觸.圖8為此間隙處的碰撞力，最大值約為18 N.

圖7 滑塊2的鉸鏈間隙位移曲線Fig.7 Displacement curves of sliders 2 clearance

圖8 滑塊2的鉸鏈間隙碰撞力Fig.8 Force curves of sliders 2 backlash

圖9和圖10分別為滑塊2在x方向和y方向的誤差變化曲線.通過改變各處間隙值可知，滑塊1帶動整個系統運動，因此滑塊1的鉸鏈中兩構件主要處于接觸狀態，振動幅度較小.滑塊與導軌間隙可以限制滑塊2在x方向(即垂直于滑塊2導路)的振動幅度，滑塊2鉸鏈間隙處的振動對x方向誤差影響最大.滑塊2的間隙對滑塊2的y方向位移誤差起決定作用，通過提高滑塊2和連桿5的配合精度、減小滑塊2和導軌的間隙值可以減小滑塊2的運動誤差、提高其運動精度，因此這兩處的配合精度要高.而滑塊1處鉸鏈的誤差值對滑塊2的運動影響較小，此處的配合精度可以低些.

由于間隙存在而產生的碰撞，使得機構中各構件受到碰撞力的影響.碰撞力會引起構件的彈性變形，連桿的受力變形量要比滑塊的大得多，碰撞力會通過使連桿變形而影響滑塊2的運動精度.但是碰撞力的作用時間短，而且2個連桿通過彈簧連接，連桿一端的連接具有一定的柔性，因此碰撞力對連桿的軸向變形影響很小.2個連桿的連接處的導向長度較長，限制了連桿的橫向(垂直于軸線方向)變形，因此碰撞力對連桿的橫向變形的影響也很小.這也是彈簧系統改善機構受力狀況的優勢體現.

圖9 滑塊2在x方向的誤差曲線Fig.9 x direction clearance of slider 2

圖10 滑塊2在y方向的誤差曲線Fig.10 y direction clearance of slider 2

6 結論

通過空間伸展臂的根部鎖緊機構運動的理論研究和仿真分析，得到如下結論:

1)在此機構中，滑塊2上的移動副和鉸鏈間隙對滑塊2的運動影響最大，提高這2個運動副的配合精度，能夠顯著地減小滑塊2的運動誤差.

2)間隙存在，碰撞力就存在.碰撞力的數值都較大，因此完全作用在機構上，會使構件產生大的彈性變形而影響機構運動精度.而彈簧使構件柔性連接，緩解了碰撞力對構件的影響，對機構的強度和運動都有利.

這樣的分析，確定了機構各運動副的配合精度對機構運動精度的影響.根據分析結果，對各配合精度進行正確選擇，可以減小加工成本.

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