道路緩和曲線加寬段內側路幅面積的計算

王景海,劉春彥

(1.北京市門頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設委員會,北京 102300; 2.北京市市政一建設工程有限責任公司,北京 100083)

道路緩和曲線加寬段內側路幅面積的計算

王景海1*,劉春彥2

(1.北京市門頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設委員會,北京 102300; 2.北京市市政一建設工程有限責任公司,北京 100083)

道路緩和曲線加寬過渡段內側路幅邊線常采用比例法和高次拋物線法,加寬段內側路幅為一非等寬異形平面,文章推導了其面積計算的數值積分公式,利用卡西歐fx-4800P計算器的數值積分計算功能計算其面積,并借助Excel和AutoCAD軟件對計算結果進行了模擬驗證。

加寬過渡;面積;計算;Excel;AutoCAD

1 引 言

公路路線設計規(guī)范規(guī)定[1]:當平曲線半徑等于或小于250 m時,路面內側應加寬,路基也隨之加寬。加寬過渡的設置根據道路性質和等級可采用不同的方法,比例加寬過渡法和高次拋物線加寬過渡法是常采用的方法。

加寬過渡后,道路緩和曲線段內側路幅為一非等寬斷面異形平面,推導求取該加寬段路幅的面積公式,不但具有理論上的意義,而且也有著實際應用的價值,如計算該部分工程材料用量問題就涉及需先知道該部分面積。關于緩和曲線段等寬斷面道路面積計算已有相關文獻[2]詳細研究討論過,緩和曲線段非等寬斷面道路面積計算的相關文獻鮮見。本文就道路加寬緩和段采用比例加寬過渡法和高次拋物線加寬過渡法兩種情況下,內側路幅面積的計算問題做詳細討論。

2 公式推導

如圖1所示,建立如圖所示的獨立坐標系。緩和曲線全長L0,緩和曲線參數為A,圓曲線半徑R,半幅路寬D,全加寬W。

圖1 緩和曲線加寬段內側路幅圖

中線長度L處點P(X,Y)對應路幅加寬邊緣線長度L1處點P1(X1,Y1)的加寬值為Wx,則針對線性與高次拋物線加寬兩種形式,Wx的表達式分別為:

中線上點P(X,Y)、對應路幅加寬邊緣線處點P1(X邊,Y邊)坐標以中線弧長L為參數的表達式為[3]:

式中β為緩和曲線轉角,β=L2/2A2

由圖1可以看出,道路加寬緩和段內側路幅面積S等于路幅邊線L1與X軸所夾面積SB加上梯形X1X0HYHY1面積ST之和減去緩和曲線中心線與X軸所夾面積SZ,即:

由微積分中參數方程面積公式,SB、SZ的表達式分別為:

式中X'、X邊'由式(3)、式(5)分別對L求導得:

由式(8)、式(9)、式(15)分別求得SB、SZ、ST代入式(7)即可得到加寬緩和段內側路幅面積。

當全加寬值W=0時,Wx=0,Wx'=0,式(7)應為等寬時內側面積計算公式,此時式(8)、式(15)分別變?yōu)?

與文獻[3]中所推導的緩和曲線內側平行線面積公式完全一致。

道路加寬緩和段內側路幅面積精確計算式(8)、式(9)為數值積分表達式,由于無法求得其原函數,不能用牛頓-萊布尼茨公式求解,但可以利用卡西歐fx-4800p計算器的數值積分計算功能對其進行求解計算。

3 工程算例

某二級公路某段,設計時速40 km/h,其中JD7左偏,偏角α=65°11'09″,緩和曲線長L0=50 m,緩和曲線參數為A=66.332 5,圓曲線半徑R=88 m,半幅路寬D=6.0 m,全加寬W=2.0 m,路幅邊緣線分別按線性、高次拋物線加寬過渡,試計算加寬過渡段路幅面積。

補救措施：解決卡錘現象最直接方法就是爆破，但是由于地區(qū)或者政策原因無法進行爆破操作的時候，可以采用沖錘沖擊卡錘處的辦法解決。

解:根據式(8)、式(9)、式(15),在卡西歐fx-4800p計算器中求解加寬過渡段面積結果如表1所示。

計算結果 表1

4 計算機作圖模擬驗證

4.1 驗證方法

以一定密度中線上的點(點的密度使相鄰點間的弦長間的面積以一定精度等于弧長間的面積)計算加寬邊線上對應點坐標,然后計算出這些點直線連成的四邊形的面積,這些面積之和即可認為是加寬過渡段面積的正確值,借此來驗證所推公式的正確性。

顯然,驗證的前提是合理確定中心線上相鄰點間的弧長。由于緩和曲線上曲率逐漸增大,緩圓點曲率最大,因此以與之相接的圓曲線來分析弦間面積代替弧間面積,不僅方便,而且能滿足曲線上弦間面積代替弧間面積的條件。

如圖2所示,設圓曲線半徑為R,相應的弧長為L,圓心角為α,圓曲線段內側路幅寬為D+W。

圖2 弦線間面積與弧線間面積關系圖

弧間面積:

弦間面積:

將sinα展開,略去高次項并顧及α=L/R,代入式(23)整理得:

取ε=0.001,并將算例中已知數據代入式(24)得:L≤1.83 m

4.2 Excel中計算中心線、邊線的逐點坐標

在Excel中建立工作表,以高次拋物線加寬過渡為例,根據中心線、加寬邊線的已知數據,將坐標計算公式設置在相應的單元格中,按1.5 m間距分別計算出中心線、加寬邊線的逐點坐標值,并將中心線、加寬邊線的坐標設置成形如(x,y)的坐標對存儲在相應的列中[4]。

4.3 AutoCAD中展繪中心線、邊線求面積

打開AutoCAD,然后切換到Excel窗口,選中中心線所對應的列的坐標對,點擊“編輯——復制”,然后再切換到AutoCAD窗口,執(zhí)行pline(多義線)命令,將鼠標光標移至命令窗口,右鍵單擊,在彈出的菜單中選擇“粘貼”,即生成中心線緩和曲線,回車結束pline命令。用同樣方法,生成內側路幅邊線。將中心線、路幅邊線兩端連線封閉,在AutoCAD中選擇boundary(邊界創(chuàng)建功能)命令,拾取封閉圖形內部點,然后用鼠標左鍵雙擊任一邊界線,即可得到內側路幅面積為332.575 m2,與卡西歐fx-4800p計算器中計算結果幾乎完全一致,從而證明了所推公式的正確性。

5 結 語

本文推導了道路加寬緩和段內側路幅面積計算的公式,配合當今普遍應用的卡西歐系列可編程計算器,可以輕松實現對道路加寬緩和段內側路幅面積的精確計算,實際工作中有一定的應用價值。

[1] JTJ011-94.公路路線設計規(guī)范[S].

[2] 王景海.道路平曲線平行線弧長通用公式及應用[J].城市勘測,2009(2):121～123

[3] 張志清.道路勘測設計[M].北京:科學出版社,2005

[4] 許金良,黃安錄.道路與橋梁工程計算機繪圖[M].北京:人民交通出版社,2004

The Calculation of Widend Inside Area for Transition Curve Road

Wang JingHai1,Liu ChunYan2
(1.Beijing Mentougou District Municipal Commission of Housing and Urban-Rural Development,Beijing 102300,China; 2.Beijing No.1 Municipal Construction Engineering Co.,Ltd.Beijing 100083,China)

Direct proportion and higher parabola widend transition methonds are often used in transition curve road, the inside road plane is irregular-shaped.The paper deduced the numerical integration calculation formula of widend inside plane area for transition curve road and calculated it in Casio-fx 4800p computer and simulated it by Excel and AutoCAD in computer.

widend transition;area;calculation;Excel;AutoCAD

1672-8262(2011)04-144-03

P258

B

2010—11—10

王景海(1970—),男,高級工程師,主要從事工程測量技術與管理工作。