基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)測試性建模與分析

王曉偉，孫 波，呂英軍，李良峰

（空軍航空大學(xué)航空機(jī)械工程系，吉林 長春 130022）

0 引 言

隨著軍用裝備的技術(shù)升級(jí)及換代，裝備性能大幅提升，復(fù)雜程度越來越高，對裝備的保障能力提出了更高的要求。測試性作為表征系統(tǒng)準(zhǔn)確檢測及隔離其內(nèi)部故障的一種設(shè)計(jì)特性[1]，對提高裝備的任務(wù)可靠性與安全性、縮短維修時(shí)間、降低全壽命周期費(fèi)用具有重要意義。

建立系統(tǒng)測試性模型是進(jìn)行測試性預(yù)計(jì)、分析、驗(yàn)證與評價(jià)的基礎(chǔ)。復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與部件之間關(guān)系復(fù)雜、信號(hào)傳遞過程不明確，在信號(hào)獲取、處理和判斷過程中存在誤差，這些因素都使系統(tǒng)存在故障與可用測試之間關(guān)聯(lián)關(guān)系不確定的現(xiàn)象，導(dǎo)致測試性建模與分析結(jié)果可信度不高。現(xiàn)有測試性建模方法中，結(jié)構(gòu)模型和信息流模型的建模技巧強(qiáng)，準(zhǔn)確性不易保證，模型集成和驗(yàn)證工作較困難，不適用于對復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模與分析[2]。多信號(hào)流圖模型雖然建模能力較強(qiáng)，便于表達(dá)系統(tǒng)的層次關(guān)系，但也存在著對復(fù)雜系統(tǒng)不確定信息的描述和處理能力不強(qiáng)、定量分析和學(xué)習(xí)推理機(jī)制不完善等不足。所以有必要研究新的測試性建模與分析方法。文獻(xiàn)[3]提出了一種基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的測試性評估方法；文獻(xiàn)[4]針對航空機(jī)電系統(tǒng)中的不確定性問題，提出了基于面向?qū)ο蟮呢惾~斯網(wǎng)絡(luò)與狀態(tài)-測試關(guān)聯(lián)靈敏度指標(biāo)的系統(tǒng)測試性建模與分析新方法；文獻(xiàn)[5]提出了多信號(hào)流圖向診斷貝葉斯網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換的方法，以應(yīng)對系統(tǒng)故障診斷中的證據(jù)沖突與不確定性問題。

該文選用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)（bayesian networks，BN）作為系統(tǒng)測試性建模的方法。BN不僅支持自頂向下的建模，可由模型片段構(gòu)建整個(gè)系統(tǒng)的模型，降低了復(fù)雜系統(tǒng)的建模難度，而且BN定量分析和學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，可依據(jù)不完全（不確定）信息進(jìn)行推理，便于利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的學(xué)習(xí)和調(diào)整。

1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

BN是一個(gè)表示變量間概率依賴關(guān)系的有向無環(huán)圖（directed acyclic graph，DAG）。它由代表變量的節(jié)點(diǎn)及連接這些節(jié)點(diǎn)的有向邊構(gòu)成，有向邊由父節(jié)點(diǎn)指向子節(jié)點(diǎn)。圖1為典型的BN示意圖。

圖1 典型的BN示意圖

可用符號(hào)BN（V，E，P）表示一個(gè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，BN（V，E，P）由 3部分構(gòu)成：

（1）節(jié)點(diǎn)集V。節(jié)點(diǎn)代表隨機(jī)變量，節(jié)點(diǎn)變量可以是任意測試性問題的抽象，如系統(tǒng)組成部件、故障現(xiàn)象、測試信號(hào)等。

（2）有向邊集E。有向邊代表了節(jié)點(diǎn)變量間的依賴關(guān)系，通常為因果關(guān)系。

（3）跟每個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的條件概率表（conditional probability table，CPT）。它以條件概率的形式表示該節(jié)點(diǎn)同其父節(jié)點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系，沒有任何父節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)條件概率稱為先驗(yàn)概率。

BN規(guī)定圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)Vi條件獨(dú)立于由Vi的父節(jié)點(diǎn)給定的非Vi后代節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的任何節(jié)點(diǎn)子集。相關(guān)規(guī)則如下：

（1）條件獨(dú)立性

如果用a（Vi）表示非Vi后代節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的任何節(jié)點(diǎn)子集，用Pa（Vi）表示Vi的直接雙親節(jié)點(diǎn)，則I（Vi，a（Vi）/Pa（Vi）），其意義為

（2）鏈規(guī)則（用條件概率表示聯(lián)合概率分布）

有了節(jié)點(diǎn)及其相互關(guān)系（有向邊）、條件概率表，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)就可以表達(dá)網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)（變量）的聯(lián)合概率，并可以根據(jù)先驗(yàn)概率信息或某些節(jié)點(diǎn)的取值計(jì)算其他任意節(jié)點(diǎn)的概率信息。如圖1所示的聯(lián)合概率為

2 基于BN的測試性建模與分析

2.1 BN測試性模型構(gòu)成

BN測試性模型主要用來表達(dá)系統(tǒng)故障模式和可用測試之間的依賴關(guān)系，可用一個(gè)四元組表示，如圖2所示。

圖2 BN測試性模型示意圖

模型基于部件故障模式與系統(tǒng)可用測試之間的因果關(guān)系構(gòu)建，輸入為系統(tǒng)部件的故障模式，輸出為與各故障模式相關(guān)的測試信息。在進(jìn)行測試性分析時(shí)，可以引入其他考量因子，如測試時(shí)間、測試費(fèi)用等。其中：

F={f1，f2，…，fm}為系統(tǒng)部件故障模式集；

T={t1，t2，…，tn}為系統(tǒng)可用測試集；

E為連接節(jié)點(diǎn)的有向邊集；

P為節(jié)點(diǎn)所含條件概率集。

2.2 BN測試性建模步驟

（1）明確系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成、各層次間的關(guān)聯(lián)關(guān)系及功能框圖。進(jìn)行故障模式影響及危害性分析（failure mode effect and criticality analysis，F(xiàn)MECA），提取系統(tǒng)可用測試信息，生成故障模式列表和測試列表，并將它們表達(dá)為模型的節(jié)點(diǎn)變量。

（2）根據(jù)對系統(tǒng)的分析及系統(tǒng)部件故障模式和測試信息間的因果關(guān)系，構(gòu)建子系統(tǒng)（SRU級(jí)或LRU級(jí)）模型片段，最后依據(jù)子系統(tǒng)間的功能關(guān)系，構(gòu)建基于BN的系統(tǒng)測試性模型。

（3）通過FMECA分析、查閱相關(guān)資料和咨詢領(lǐng)域?qū)＜遥@取所需概率信息，確定各個(gè)節(jié)點(diǎn)的CPT，進(jìn)行測試性分析。可根據(jù)實(shí)際使用階段所獲取的信息對模型進(jìn)行學(xué)習(xí)和修正。

（4）故障-測試相關(guān)性矩陣D

對模型中故障模式節(jié)點(diǎn)和測試節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性分析，可得故障-測試相關(guān)性矩陣D，其中，矩陣元素dij一般為一布爾變量，如果fi能被tj觀測，則令dij=1，否則dij=0。

（5）條件概率矩陣P

故障與測試邏輯關(guān)系的不確定性由以下4種情形所致，用條件概率P（tj|fi）表示其不確定信息：

1）P（tj=0|fi=0）：故障 fi不發(fā)生，測試 tj輸出為通過信號(hào)，則tj指示正確；

2）P（tj=1|fi=1）：故障 fi發(fā)生，測試 tj輸出為失敗信號(hào)，tj指示正確，表達(dá)式對應(yīng)tj對fi的檢測概率；

3）P（tj=0|fi=1）：故障 fi發(fā)生，測試 tj輸出為通過信號(hào)，則tj漏檢了故障fi；

4）P（tj=1|fi=0）：故障 fi不發(fā)生，測試 tj輸出為失敗信號(hào)，tj的指示不正確，表達(dá)式對應(yīng)tj假報(bào)故障的概率，即虛警（Ⅱ類）概率。由于發(fā)生Ⅱ類虛警次數(shù)遠(yuǎn)大于Ⅰ類虛警，故該文主要考慮Ⅱ類虛警。

其中，如果測試tj與故障fi不相關(guān)（即dij=0），則P（tj|fi）=0。如果測試tj與故障fi相關(guān)（即dij=1），則（tj|fi）≠0。將這些不確定參數(shù)作為系統(tǒng)的先驗(yàn)概率，可分別得到基于以上4種情況的條件概率矩陣P。其形式為

另外，測試tj對邏輯相關(guān)故障的檢測概率必然遠(yuǎn)大于該測試的虛警概率，即P（tj=1|fi=1）遠(yuǎn)大于P（tj=1|fi=0），否則與實(shí)際不符。

2.3 基于BN的測試性分析

選取系統(tǒng)的故障檢測率、故障隔離率、虛警率及考慮測試成本的最優(yōu)序貫測試作為測試性分析的指標(biāo)。

2.3.1 故障檢測率

定義為在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，用規(guī)定的方法正確檢測到的故障數(shù)與發(fā)生的故障總數(shù)之比。

以P（tj=1|fi=1）情形下得到的條件概率矩陣為基礎(chǔ)，由貝葉斯理論可得單故障模式fi的故障檢測率，記為FDRi

具體計(jì)算可由以下3式計(jì)算得到：

則系統(tǒng)的故障檢測率為

式中：λD——被檢測出的故障模式的總故障率；

λ——所有故障模式的總故障率；

λi——第i個(gè)故障模式的故障率。

2.3.2 故障隔離率

定義為在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，用規(guī)定的方法將故障正確地隔離到小于等于L個(gè)單元的故障數(shù)與檢測到的故障總數(shù)之比。系統(tǒng)的故障隔離率可表達(dá)為

式中：L——隔離組內(nèi)可更換的單元數(shù)；

λL——可隔離到小于等于L個(gè)可更換單元的故障模式的故障率之和；

λLi——可隔離到小于等于L個(gè)可更換單元的故障模式中第i個(gè)故障模式的故障率。

2.3.3 虛警率

定義為在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，發(fā)生的虛警數(shù)與故障指示總數(shù)之比。系統(tǒng)的Ⅱ類虛警率可表達(dá)為

式中：λtj——各測試信號(hào)的頻數(shù)。

2.3.4 考慮測試成本的最優(yōu)序貫測試

將代表測試費(fèi)用、時(shí)間、人力要求或其他經(jīng)濟(jì)衡量指標(biāo)的測試成本集記為：C={c1，c2，…，cn}，對應(yīng)于系統(tǒng)可用測試集。將相關(guān)性矩陣D中值為1的元素用其所對應(yīng)的測試代替，如d23=1，則記d23為t3，以此類推，則構(gòu)造邏輯函數(shù)Г（F）

其中，D（fi）為矩陣D中第i行值為1的元素對應(yīng)測試之和，將Г（F）完全展開并簡化后可得邏輯多項(xiàng)和式，其各項(xiàng)均為可檢測系統(tǒng)所有故障模式的測試子集，結(jié)合測試成本集C，可得系統(tǒng)最優(yōu)測試子集。

3 實(shí)例分析

以文獻(xiàn)[6]中某機(jī)電跟蹤與穩(wěn)定伺服平臺(tái)為例，構(gòu)建BN測試性模型如圖3所示。

圖3 機(jī)電跟蹤與穩(wěn)定伺服平臺(tái)BN測試性模型圖

為簡化計(jì)算過程，假設(shè)測試對關(guān)聯(lián)故障的檢測概率為0.95，各測試虛警率為0.2%，各故障模式的故障率及各項(xiàng)測試成本同文獻(xiàn)[6]，限于篇幅，相關(guān)性矩陣D、條件概率矩陣P的生成及具體計(jì)算過程不再贅述。表1列出了文獻(xiàn)[6]中方法（方法1）與該文方法（方法2）的測試性分析結(jié)果。

表1 測試性分析結(jié)果

可以看出，該文采用BN進(jìn)行測試性建模與分析，充分考慮了系統(tǒng)故障與測試間的不確定性，考慮了裝備使用實(shí)際中存在的虛警等問題，分析計(jì)算結(jié)果更加客觀、真實(shí)。

4 結(jié)束語

該文利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)對不確定信息表達(dá)和推理能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，采用BN構(gòu)建系統(tǒng)測試性模型，用條件概率表示系統(tǒng)故障與測試間存在的不確定性，并運(yùn)用BN理論進(jìn)行推理分析，最后通過實(shí)例分析驗(yàn)證了方法的有效性。

該方法可用于對復(fù)雜裝備進(jìn)行模型構(gòu)建與分析，評價(jià)其測試性水平，還可結(jié)合裝備實(shí)際使用數(shù)據(jù)，用于測試性設(shè)計(jì)改進(jìn)，在裝備的測試性增長過程中發(fā)揮作用。下一步研究的重點(diǎn)是BN模型學(xué)習(xí)、改進(jìn)及利用計(jì)算機(jī)工具包進(jìn)行測試性輔助分析。

[1]田仲，石君友.系統(tǒng)測試性設(shè)計(jì)分析與驗(yàn)證[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.

[2] 蘇永定.機(jī)電產(chǎn)品測試性輔助分析與決策相關(guān)技術(shù)研究[D].長沙：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2004.

[3] 王成剛，周曉東，王學(xué)偉.基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜裝備測試性評估[J].電子測量與儀器學(xué)報(bào)，2009，23（5）：17-21.

[4] 代京，張平，李行善，等.航空機(jī)電系統(tǒng)測試性建模與分析新方法[J].航空學(xué)報(bào)，2010，31（2）：277-283.

[5] 代京，于勁松，張平，等.基于多信號(hào)流圖的診斷貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建模[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，35（4）：472-475.

[6] 楊鵬.基于相關(guān)性模型的診斷策略優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)[D].長沙：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008.