物理圖像在高中物理教學(xué)中的功能

琚 鑫 岳凌月 王邦平,2

(1.首都師范大學(xué)物理系,北京 100048;2.首都師范大學(xué)附屬中學(xué),北京 100048)

物理學(xué)從誕生之日起,就與數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣,數(shù)學(xué)為物理學(xué)的發(fā)展,為物理概念、物理規(guī)律的量化和應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的工具.高考《考試說明》中也明確寫到:考查應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力,即物理學(xué)中將具體問題列出物理量之間的關(guān)系式,進(jìn)行推導(dǎo)和求解,并根據(jù)結(jié)果得出結(jié)論,或運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)分析等,均屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力.我們教師要教會(huì)學(xué)生理解并掌握用物理圖像處理問題的方法.

1 物理圖像的起源

物理圖像起源于數(shù)學(xué)圖像,其思想來(lái)源于數(shù)形結(jié)合.笛卡爾(R.Descartes)引入了直角坐標(biāo)系后,代數(shù)學(xué)從此便有了一個(gè)幾何的表述.人們可以用圖形來(lái)直觀地描述那些抽象的代數(shù)方程,也可以用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題,這就是解析幾何.在代數(shù)學(xué)中引入圖像,用數(shù)學(xué)家的話說就是數(shù)形結(jié)合.

物理規(guī)律不外乎兩種表達(dá)方式:文字語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言.文字語(yǔ)言的表達(dá)方式必不可少,但是真正需要運(yùn)算、演繹的時(shí)候,就需要數(shù)學(xué)語(yǔ)言了.就物理學(xué)本身而言,絕大多數(shù)的物理規(guī)律都存在一個(gè)相應(yīng)的代數(shù)形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式.代數(shù)表達(dá)式往往存在一個(gè)幾何的表述.即物理規(guī)律也可以用幾何形象來(lái)表述的,這就是物理圖像.

例如,牛頓第二定律的文字表達(dá)為:當(dāng)物體所受外力一定時(shí),物體的加速度與其質(zhì)量成反比,當(dāng)物體質(zhì)量一定時(shí),物體的加速度與其所受外力成正比,并且加速度與其所受外力的方向相同.

我們可以將上述文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言:

由m=C,a∝F;F=C′,a∝m-1得由于國(guó)際單位制下k=1,a=,即F=ma .其中 C、C′為常數(shù).

牛頓第二定律的代數(shù)表達(dá)是個(gè)一次函數(shù)(y=kx),一次函數(shù)的圖像是一條直線,因此,牛頓第二定律(F=ma)也可以用圖 1所示的圖像形式來(lái)描述,圖中直線斜率表示了加速度.

圖1

2 物理圖像與數(shù)學(xué)圖像間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

數(shù)學(xué)圖像由6個(gè)要素組成:坐標(biāo)軸、坐標(biāo)點(diǎn)、曲線、曲線的截距、斜率和曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積.其中坐標(biāo)軸是構(gòu)成圖像的基礎(chǔ),在此基礎(chǔ)上才能存在坐標(biāo)點(diǎn),坐標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就形成了曲線.人們用截距(邊界條件)、斜率(微分、變化率)、與坐標(biāo)軸所圍成的面積(積分)來(lái)描述曲線的種種性質(zhì).

將上述數(shù)學(xué)圖像直接平移過來(lái),得到物理圖像的6要素,其物理意義見表1.

表1

其中,坐標(biāo)軸:數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)軸是沒有單位的[2]、完全抽象的、只表示值的.在物理圖像中,坐標(biāo)軸是代表物理量的,而物理量是具有值和單位的,所以物理圖像中的坐標(biāo)軸要加上單位;面積:有時(shí)計(jì)算面積跟數(shù)學(xué)中的一樣,就是曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積,如速度—時(shí)間圖像中的位移,但有時(shí)是某個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積,如電壓—電流圖像中的電功率.此外,與數(shù)學(xué)上不同,物理圖像中的面積是允許存在負(fù)值的;截距:數(shù)學(xué)中通常認(rèn)為截距是曲線與縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的絕對(duì)值,但物理中往往解除了絕對(duì)值的限制,并且還將截距概念推廣到橫軸.

2010年高考北京卷第20題就很好地詮釋了物理圖像的6要素:

圖2

如圖2,若 x軸表示時(shí)間,y軸表示位置,則該圖像反映了某質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),位置與時(shí)間的關(guān)系.若令x軸和y軸分別表示其他的物理量,則該圖像又可以反映在某種情況下相應(yīng)的物理量之間的關(guān)系.下列說法中正確的是

(A)若x軸表示時(shí)間,y軸表示動(dòng)能,則該圖像可以反映某物體受恒定合外力作用做直線運(yùn)動(dòng)過程中,物體動(dòng)能與時(shí)間的關(guān)系.

(B)若x軸表示頻率,y軸表示動(dòng)能,則該圖像可以反映光電效應(yīng)中,光電子最大初動(dòng)能與入射光頻率之間的關(guān)系.

(C)若 x軸表示時(shí)間,y軸表示動(dòng)量,則該圖像可以反映某物體在沿運(yùn)動(dòng)方向的恒定合外力作用下,物體動(dòng)量與時(shí)間的關(guān)系.

(D)若x軸表示時(shí)間,y軸表示感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),則該圖像可以反映靜置于磁場(chǎng)中某閉合回路,當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻增大時(shí),閉合回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與時(shí)間的關(guān)系.

由題干可以知道,圖像中所描述的物理規(guī)律所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)斜率為正的定值、截距亦為正的一次函數(shù),可以不失一般性的表達(dá)為

y=kx+b.(k＞0,b＞0)

題干中的物理情景是一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng),可以描述為x=vt+x0,如圖3所示.

圖3

圖4

這是一條截距為正、開口向上的拋物線,如圖4所示.故該選項(xiàng)不正確.

(B)選項(xiàng):模型是光電效應(yīng),規(guī)律是能量守恒.入射的光子能量一部分用來(lái)克服金屬表面的束縛而做功——逸出功,剩下的部分變成光電子的最大初動(dòng)能,即Ekmax=hν-W,這是一條斜率為普朗克常數(shù)(正數(shù))、截距為金屬逸出功(負(fù)數(shù))的直線,如圖5所示.故該選項(xiàng)不正確.

圖5

(C)選項(xiàng):模型是單體模型,由于恒定合外力,根據(jù)動(dòng)量定理有

Ft=p-p0,即p=Ft+p0.

表示一條斜率為外力F、截距為初態(tài)動(dòng)量(外力與初動(dòng)量方向相同,均取正值)的直線,如圖6所示.因此,該選項(xiàng)正確.

(D)選項(xiàng):模型是電磁感應(yīng)模型,對(duì)應(yīng)的規(guī)律是法拉第電磁感應(yīng)定律

圖6

圖7

可見,正確理解物理圖像的6要素是解決這類物理問題的關(guān)鍵.通過本題,我們也可以發(fā)現(xiàn),同一個(gè)數(shù)學(xué)模型(比如本題中的y=kx+b)可以對(duì)應(yīng)著不同的物理規(guī)律.

3 物理圖像在高中物理教學(xué)中的功能

在物理教學(xué)中,最基本的科學(xué)方法是“歸納”與“演繹”.圖像是最便捷的操作手段之一.

3.1 歸納推理

就物理學(xué)而言,歸納推理是由一些個(gè)別性的結(jié)論,推出一般性規(guī)律的方法.歸納的思維過程是根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)獲得的資料,分別得到關(guān)于一些個(gè)別事物的知識(shí),再經(jīng)過概括、綜合,得出一般性的規(guī)律.運(yùn)用圖像歸納得到物理規(guī)律的一般步驟是獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),實(shí)驗(yàn)測(cè)量會(huì)得到多個(gè)物理量的多組數(shù)據(jù).從其中選取認(rèn)為比較重要的,或者可能蘊(yùn)含著物理規(guī)律的幾個(gè)物理量的數(shù)據(jù)組,在坐標(biāo)系中繪制出曲線,再對(duì)曲線進(jìn)行擬合,找到這組數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等),再?gòu)臄?shù)學(xué)模型出發(fā),結(jié)合具體的物理?xiàng)l件(通常是給出物理規(guī)律的成立條件),得出物理規(guī)律.

請(qǐng)看一道根據(jù)2010年全國(guó)新課標(biāo)卷改編的題目:

上式就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的數(shù)學(xué)模型.下面我們要做的事情是挖掘這個(gè)數(shù)學(xué)模型背后的物理內(nèi)涵,找出物理規(guī)律.經(jīng)過簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算,可以得到開普勒第三定律:

圖8

上述運(yùn)算和歸納過程都不難,真正困難的是“選擇兩個(gè)物理量比值的對(duì)數(shù)”做坐標(biāo)軸.由此可見,坐標(biāo)軸的選擇,即物理量的選擇,物理量的形式(如一次冪、二次冪、三次冪、平方根、對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)等)的選擇,以及單位的選擇,就成為了物理圖像6要素中最重要的要素,因?yàn)闆]有物理量,那就根本談不上物理規(guī)律.選擇物理量的原則是什么?哪幾個(gè)物理量之間存在著一定的關(guān)系(物理規(guī)律的雛形)?存在怎么樣的關(guān)系?這些問題是不能做出先驗(yàn)的回答的,往往都是物理學(xué)家憑著直覺或者經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜測(cè)的.在實(shí)際教學(xué)中,教師要通過引導(dǎo)、帶領(lǐng)學(xué)生嘗試,選取物理量,進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn),得出物理規(guī)律.

3.2 演繹推理

演繹推理是從一般性的結(jié)論推出個(gè)別性的結(jié)論.即從已知的某些一般原理、定理、法則、公理或科學(xué)概念出發(fā),推出新結(jié)論的一種思維活動(dòng).演繹推理的思維過程是根據(jù)已知的一般性規(guī)律,通過分析,并限制條件,運(yùn)用數(shù)學(xué)的推導(dǎo),得出個(gè)別性的規(guī)律.分析推理有兩種,一種是定性的,一種是定量的.

圖9

物理圖像可以定性地描述一個(gè)物理過程,把一個(gè)物理過程最本質(zhì)的規(guī)律直觀地表達(dá)出來(lái).我們?cè)倏?010年高考北京卷第19題:

在如圖9所示的電路中,兩個(gè)相同的小燈泡 L1和L2分別串聯(lián)一個(gè)帶鐵芯的電感線圈 L和一個(gè)滑動(dòng)變阻器R.閉合開關(guān)S后,調(diào)整 R,使L1和L2發(fā)光的亮度一樣,此時(shí)流過兩個(gè)燈泡的電流均為I,然后斷開S,若 t′時(shí)刻再閉合 S,則在 t′前后的一小段時(shí)間內(nèi),正確反映流過 L1的電流 i1,流過L2的電流i2,隨時(shí)間t變化的圖像是圖10中的

這是一個(gè)并聯(lián)的RL電路,其中電感線圈 L由于要滿足楞次定律,存在一個(gè)暫態(tài)過程,即接通電源后,電流會(huì)緩慢的增加到穩(wěn)定值,而歐姆電阻 R則不存在這個(gè)現(xiàn)象,因此直接變到穩(wěn)定值.這個(gè)過程就可以用圖像很清晰地描繪出來(lái),該題正確選項(xiàng)為(B).同理,也可以用圖像定性描述出 RC、LC、RLC回路的暫態(tài)過程.

圖10

我們也可以將通過演繹推導(dǎo)得出的物理結(jié)論用圖像來(lái)表達(dá),例如2008年上海物理卷第10題:

如圖11所示,平行于y軸的導(dǎo)體棒以速度v向右勻速直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)過半徑為 R、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E與導(dǎo)體棒位置x關(guān)系的圖像是圖12中的

圖11

圖12

圖13

這是一個(gè)橢圓方程,故正確選項(xiàng)為(A).

再如,圖像之間可以通過演繹推理互相轉(zhuǎn)化,這就使得看上去關(guān)系并不十分明顯的物理量之間建立了相對(duì)明顯的關(guān)系,請(qǐng)看2010年高考浙江卷第19題:

半徑為r帶缺口的剛性金屬圓環(huán)在紙面上固定放置,在圓環(huán)的缺口兩端引出兩根導(dǎo)線,分別與兩塊垂直于紙面固定放置的平行金屬板連接,兩板間距為d,如圖13(a)所示.有一變化的磁場(chǎng)垂直于紙面,規(guī)定向內(nèi)為正,變化規(guī)律如圖13(b)所示.在 t=0時(shí)刻平板之間中心有一重力不計(jì),電荷量為q的靜止微粒.

圖14

如果我們可以根據(jù)B-t圖像畫出相應(yīng)的v-t圖像,那么就可以知道物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述了.

在0～1 s內(nèi),根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可以求出圓環(huán)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

再根據(jù)楞次定律,可以判斷出感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向,即正電荷流向下極板,負(fù)電荷流向上極板,因此下極板的電勢(shì)高于上極板電勢(shì),這個(gè)電勢(shì)差在數(shù)值上等于圓環(huán)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),即 U=E.

由于兩極板間存在電勢(shì)差,所以會(huì)產(chǎn)生一個(gè)內(nèi)建電場(chǎng),帶電粒子在這個(gè)電場(chǎng)中獲得的加速度可由牛頓第二定律給出,即

我們發(fā)現(xiàn),加速度a和電勢(shì)差U均與磁場(chǎng)對(duì)時(shí)間的變化率(斜率)之間相差一個(gè)常數(shù),又 B-t圖像是直線,所以其斜率為常數(shù),由此可以畫出 a-t圖像,如圖14(b)所示.

由于 a是一個(gè)定值,所以微粒做勻變速直線運(yùn)動(dòng),我們就可以根據(jù)a-t圖像畫出相應(yīng)的v-t圖像.

結(jié)論是 v與B成正比,即變化趨勢(shì)相同,我們看到 B-t圖像最終就變成了 v-t圖.

同理,可以畫出1～3 s和3～4 s的 a-t圖像和v-t圖像,如圖14(b)、(c)所示.我們就可以分析物體的位移、速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)量了.

物理圖像是通過一種數(shù)學(xué)手段來(lái)表達(dá)、描述物理規(guī)律的,體現(xiàn)的是一種數(shù)形結(jié)合的思想.在物理教學(xué)中,教師要有意地滲透這種思想,這也正是體現(xiàn)高考《考試說明》中運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題能力的地方.教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具,如用圖像來(lái)分析、說明物理規(guī)律及物理過程.但畢竟這是物理課,在體現(xiàn)數(shù)學(xué)工具性的同時(shí),更要突出物理,不可喧賓奪主.

1 人民教育出版社課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理·必修 2.北京:人民教育出版社,2006.

2 查有梁等.物理教學(xué)論.南寧:廣西教育出版社,1996.

3 雷鳳蘭.物理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生歸納與演繹推理能力的研究,首都師范大學(xué)碩士學(xué)位論文,2006.