基于泛函的制冷壓縮機通用渦旋型線幾何理論研究

張賢明 陳國強 王立存，2 牟 瑛 陳 彬

1．重慶工商大學廢油資源化技術與裝備教育部工程研究中心，重慶，400067 2．西安交通大學流體機械及壓縮機國家工程研究中心，西安，710049

0 引言

渦旋壓縮機是基于容積變化來實現對氣體壓縮的流體機械，它具有結構簡單緊湊、高效節能、微震低噪聲以及可靠性高等一系列的優點，使得渦旋壓縮機在制冷和空調領域的應用有著飛速的發展，并且有在更大范圍應用的趨勢。渦旋壓縮機的核心技術是動靜渦旋盤的渦旋型線形狀設計［1］。目前渦旋壓縮機型線一般是利用圓的漸開線以及其修正曲線。它們的幾何性質較簡單，在加工工藝過程上較為方便。然而，包括圓的漸開線在內的傳統單一型線，其幾何特性和數學模型存在一定局限性。基于以上緣故，本文提出基于泛函的通用渦旋型線理論，即根據平面曲線弧微分固有方程理論［2－3］和 Tayl or級數思想，任意函數曲線的數學表達式都可以將其展開為切向角參數φ的級數的弧函數形式。它包含了所有單一型線的優點，可在不同場合運用優化的思想得到綜合各目標函數最佳的型線方程，本文就通用渦旋型線幾何理論進行了研究推導。

1 渦旋型線向量形式分析

1．1 節線方程

文獻［4-6］已經證明控制方程Rg＝d Rs／dφ是對于任意曲線耦合的控制方程。它是渦旋型線耦合的必要條件，而非充分條件。如圖1所示P向量的位置方程為

其中，Rs與Rg垂直且Rg＝d Rs／dφ。由此得到其節線方程亦即得到任意一條型線方程：

圖1 曲線方程沿其切向和法向的分解

由節線方程得到有厚度的內外渦旋型線：

式中，t為渦旋型線的厚度。

動渦盤型線P′是通過靜渦盤型線P沿旋轉180°角，再在θ方向平移Ror得到。

1．2 曲率及曲率半徑

根據節線方程可得曲率以及曲率半徑［7］：

同理有

同理有Po、Pi的曲率半徑為

當曲率半徑的倒數大于零，即ρ′＞0，則可形成渦旋型線。

1．3 直角坐標下的坐標表示

直角坐標下的坐標表示如下：

式中，t為厚度，它是關于φ的函數；θ為公轉角度；Ror為動靜渦盤的公轉半徑。

1．4 型線線長

型線線長為

2 渦旋型線泛函表征分析

2．1 基于泛函理論的渦旋型線

渦旋型線是由幾何共扼型線構成的，根據平面曲線弧微分固有方程理論［4-5］和Taylor級數思想，任意函數曲線的數學表達式都可以將其展開為切向角參數φ的級數的弧函數形式；反之，只要曲率半徑ρ（φ）是關于切向角參數φ的遞增函數，均可通過切向角參數φ的級數的弧函數形式來表征任意共扼函數曲線。同時，三角函數、指數函數、對數函數等均可用冪級數函數來表達［8-9］。根據現有渦旋型線的級數表達形式的共有特性構成的共扼曲線可表達為函數類的級數形式［10］：

式中，c0，c1，…，cn均為渦旋型線的系數；s（φ）渦旋型線方程的弧度函數。

與上述渦旋型線的向量表示類似，基于渦旋型線的幾何性質，其曲率半徑、線長分別為

結合向量形式的渦旋型線可得

2．2 t與R or之間的關系

當任意一對共軛點接觸時，兩渦盤的中心距離為一常量，圓周公轉平動半徑為Ror，如圖2所示，即將兩個渦旋盤中心重合放置在一起，任意一對共軛點在垂直于相應表面的方向上相距為Ror。此時，t與Ror之間的關系為

圖2 t與R or之間關系圖

2．3 行程容積A p

對通用渦旋型線集成型線渦旋壓縮機而言，其壓縮比和體積利用系數是非常重要的性能指標，它們對提高壓縮性能和對整個空壓系統工作性能的影響關系較大。所以行程容積的計算是至關重要的。在實際中，動靜渦盤是有厚度的，我們設厚度為t。通過節線方程平移的原則沿節線法向平移t／2距離得到型線動靜渦盤型線方程。于是可求出動靜渦盤內外型線圍成的區域面積（圖3）［10-12］。

圖3 動靜渦盤形成動態壓縮腔

月牙形動態壓縮腔面積（圖4）為

圖4 靜渦盤與動渦盤所圍面積域

由此可得

3 通用渦旋型線舉例

當k＝3，公轉半徑Ror＝2 mm，大盤半徑R＝40 mm的情況下研究其渦旋型線的幾何特性。

3．1 型線方程及線長

型線線長為

3．2 直角坐標系下表征

由幾何特性知：

則有其渦旋型線直角坐標表征為

渦旋型線形狀如圖5所示。

圖5 渦旋型線形狀

3．3 行程容積與壓縮比及渦旋盤的利用率

通過MATLAB編程計算可得此渦旋型線行程容積與壓縮比。

4 結論

（1）針對單一渦旋型線受其固定數學模型固有特性的限制，提出基于泛函的通用渦旋型線形式設計思路。基于泛函的通用渦旋型線是所有渦旋型線類型的集合，是渦旋型線設計的新思路。

（2）本文就基于泛函的通用型線形式，從控制方程入手，結合泰勒級數思想，在笛卡爾直角坐標系下，討論研究了其曲率半徑、行程容積、型線線長的特性；渦旋型線厚度t變化，公轉半徑Ror與型線方程之間的關系，以及在直角坐標系下渦旋型線的表示。

（3）舉例說明了基于泛函理論的通用渦旋型線幾何特性。基于泛函的通用渦旋型線的研究為渦旋壓縮機型線設計拓寬了思路。

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