索牽引并聯機器人中變長度柔索的動力學分析

杜敬利，保 宏，宗亞靂，崔傳貞

(西安電子科技大學 電子裝備結構教育部重點實驗室，西安 710071)

正在籌建的500 m大射電望遠鏡中的索支撐系統是一典型的6索牽引并聯機器人，由6根大跨度柔索拖動裝有精調機構的饋源艙體實現空間掃描運動［1］，如圖 1 所示。

索牽引并聯機器人結合了并聯機構和柔索驅動的特點，已形成比較完整的體系。文獻［2］研究了索牽引并聯機器人的工作空間，并給出了一種求解工作空間邊界的解析方法。文獻［3］采用神經網絡復合策略研究了索牽引并聯機器人的正解問題。文獻［4］建立了一種6自由度索牽引并聯機器人的動力學模型，采用反饋線性化+PD控制的方法研究了其軌跡跟蹤問題。文獻［5］探討了7索牽引時的索張力優化與控制問題，利用非線性前饋+PD控制來實現系統的運動控制。以上研究中，由于系統的工作空間較小，均將柔索簡單地處理成僅能承受張力的索桿單元，沒有考慮柔索彈性變形、自身振動等力學特性。

圖1 索支撐系統示意圖Fig.1 Schematic of the cable-supporting system

對于大射電望遠鏡的索支撐系統，由于柔索跨度巨大且運行精度要求較高，力學分析時文獻［1，6，7］均認為必須考慮柔索垂度的影響，但因系統運動緩慢，可忽略柔索的動態特性，基于靜力學模型進行運動控制。

從已有文獻來看，現階段研究中，當系統的工作空間較小，柔索的垂度可忽略不計時，均采用索桿單元來模擬柔索;當柔索跨度較大必須考慮垂度影響，且系統運動緩慢時，則忽略其動態特性而采用靜態懸鏈線對柔索建模。但當柔索跨度較大，運行精度要求較高時，能夠考慮到柔索自身動態特性影響的索牽引并聯機器人動力學模型卻尚未見刊載。

柔索本身的柔性較大，系統運行過程中必然導致動態運動軌跡偏離其靜平衡位置。同時因為索牽引并聯機器人的剛度較小，即使索長變化非常緩慢，甚至保持不變時，在外界擾動作用下末端執行器也會出現繞其平衡位置的振動。隨著對索牽引并聯機器人運行精度和速度要求的不斷提高，研究更為精確的、適用于時變索長的動力學模型具有重要的現實意義。本文的目的是對索長緩慢變化時的索牽引并聯機器人的動力學特性進行探討，此時可將其視為一個平衡位置不斷變化的結構振動問題。

本文將結合大射電望遠鏡的索支撐系統，對其精確動力學建模問題進行研究。文中首先建立了變長度柔索的偏微分動力學方程，并采用中心差分法進行求解。然后，根據柔索與末端執行器之間的動力學耦合關系得到索牽引并聯機器人的動力學模型。最后，給出兩個數值算例來證明本文模型的有效性。

1 變長度柔索的動力學分析

索支撐系統中的任一柔索j(j=1，2，…，6)，從執行機構輸出后繞過定滑輪與末端執行器相連，見圖1。為簡潔起見，本節推導中省略了柔索的下標j。以柔索的無應變狀態為參考，對于長度為L的柔索，設其上任一點P距原點的曲線坐標為s∈［0，L］，受力后對應的長度為se。這樣柔索的軸向應變可表示為:

柔索應滿足的幾何約束為:

式(2)兩邊同除以 d s，并將式(1)代入，得(1+ε)2=，略去二次小項后有［8，9］:

在任意時刻 t，設點 P對應的位置矢量為 r(x，t):［t0，∞)×［0，L］→R3，且柔索在該處的切線方向為:

其中，r(s，t)=［x(s，t)，y(s，t)，z(s，t)］T。

于是，柔索的動力學方程可以表示為:

式中，ρ為柔索單位無應變長度的重量，ε(s，t)為柔索的應變，EA為柔索的抗拉剛度，g(s，t)為柔索單位無應變長度上的外力，本文中僅考慮柔索自重的影響。

柔索上曲線坐標為s處點P的速度為:

加速度為:

將式(3)、式(4)和式(8)代入式(5)即為柔索的動力學方程，為一關于s和t的偏微分方程。

2 動力學模型的空間離散化求解

采用有限差分法對式(5)進行空間離散化，每根柔索均劃分為n個等長單元，見圖2，有:l=L(t)/n (9)其中，L(t)為柔索當前時刻的無應變長度。

圖2 柔索的空間離散化Fig.2 Spatial discretization of a cable

采用中心差分法，柔索上曲線坐標為si的第i(i=1，2，…，n－1)個節點的x分量關于s的一階和二階偏微分可分別表示為:

于是，第i個節點沿x方向的速度和加速度分別為:

同理，可得節點i沿y軸和z軸的加速度。將相關各式代入式(5)得:

式中，pix(xi－1，…，zi+1)為柔索內力項，是節點坐標xi－1，…， zi+1的非線性函數，gix為重力項沿x方向的分量，分別對應于式(5)右邊的第一項和第二項。限于篇幅有限，不再給出pix的具體表達式。

柔索沿y和z方向的動力學方程與式(14)類似。于是，第i個節點的動力學方程可以寫成如下形式:

其中:

這里，I和0分別為3×3階單位陣和0矩陣。對于整根柔索，記:

采用有限元裝配操作對式(15)中的矩陣mi、ci、ki和fi進行裝配操作得到相應的全局矩陣mc、cc、kc和fc。于是可得變長度單根柔索的動力學方程為:

這是一個共3(n—1)個變量的二階微分方程組。需要指出的是，這里fc為節點等效力向量，cc和kc是與索長收放速度相關的系數矩陣，不同于普通有限元中的阻尼陣和剛度陣。普通有限元中的阻尼項和剛度項體現在式(16)右端的等效力向量fc中。

3 索牽引機器人的動力學模型

在末端執行器上建立與其固連的局部坐標系{B}，將末端執行器位置和姿態坐標取為:

其中，r=［x y z］T為末端執行器的位置向量，ψ=［α β γ］T為姿態向量。

柔索作用在末端執行器上的合力fr和合力矩mr可分別表示為:

其中，pj為第j(j=1，2，…，6)根柔索對末端執行器的牽引力。

末端執行器的動力學方程可以表示為［10］:

柔索連接末端執行器的6個索連接點在其局部坐標系{B}中的位置向量記為bj(j=1，2，…，6)。將其轉換到全局坐標系中，有:

其中T為從局部坐標系{B}到全局坐標系的坐標變換矩陣，可由末端執行器的姿態向量ψ確定。xnj為式(16)求解時第j根柔索的末端節點n的當前位置。

式(16)、式(20)與式(21)聯立即為索牽引并聯機器人的動力學模型。

4 索牽引并聯機器人數值算例

針對本文提出的時變索長索牽引并聯機器人動力學模型，首先給出一平面兩索牽引并聯機構的算例，并與多體系統動力學分析軟件DADS的分析結果進行對比來驗證本文算法的有效性，然后再給出6索牽引并聯機器人的分析結果。

4.1 平面兩索牽引并聯機構

圖3所示的平面兩索牽引并聯機構中，柔索AB與BC共同牽引B點處的質量m進行平面運動。柔索AB的A端固定不動，柔索BC的C端繞過定滑輪后在點D處施加運動即可改變BC段的長度，從而拖動質量m運動。各點位置坐標為 A(– 1.0，1.0)，C(2.0，1.0)，(單位 m，下同)。初始平衡時 B點坐標為(0.00177，0.50529)。柔索抗拉剛度 EA=6.5973 ×104N，單位長度重量 ρ=2.0 N/m，質量 m=1.37kg。此處ρ值取得較大而EA和質量m的值較小是為了能夠突出柔索自身動態特性對質量m運動的影響。

需要指出的是，點C為系統處于初始平衡狀態時，柔索BC與定滑輪的切點，采用本文算法時認為該點固定不動。仿真時柔索AB劃分為7個單元，BC劃分為10個單元。

為了驗證模型的正確性，對圖3所示機構采用DADS軟件建立了如圖4所示的彈簧－質量系統來模擬兩索牽引并聯機構的動力學行為。在點D處施加位移驅動以改變柔索BC段的長度，每個質量點用一剛性小球來表示，小球與滑輪間處理為接觸，用DADS的接觸副建模，滑輪半徑為0.08 m。

柔索AB長度不變，柔索BC端點D處的收放規律為 ΔL(t)=0.15sin(0.8πt)，仿真時間為 5 s。此時，質量m沿x軸和y軸的運動規律如圖5所示。圖5中，實線為本文算法結果，圓點(·)為DADS仿真結果。圖6給出了本文結果相對于DADS結果之間的差別。由圖5和圖6可知，質量點在x方向的運動幅度約為0.10 m，兩種模型之間的差別在5 mm以內;y方向的運動幅度約為0.30 m，相應的差別在15 mm內。可以看出，本文結果與DADS仿真結果之間吻合得很好，由此可以證明本文提出的柔索動力學模型是非常有效的。考慮到DADS模型中切點C的位置是略有變化的，兩模型間存在一些差別，仿真結果稍有不同也是合理的。

應當指出的是，為了保證柔索與滑輪之間連續且光滑接觸，兩質量點間的距離應小于滑輪半徑。為此，將柔索BC劃分為30個彈簧－質量元。由于工程應用中滑輪半徑遠遠小于柔索長度，采用DADS軟件分析時必須將柔索劃分成大量的彈簧－質量元。同時采用接觸副時求解步長必須足夠小。因此，與本文提出的求解模型相比，采用DADS軟件分析時由于引入柔索節點與滑輪間的接觸，求解過程是非常耗時，而且使用接觸容易出現數值計算上的失敗，極大限制了這種方法的應用。

4.2 6索牽引并聯機器人

圖1所示的大射電望遠鏡索支撐系統中，6個塔頂定滑輪的高度均為21 m，均勻分布在直徑為50 m的圓上。柔索抗拉剛度EA=2.39×106N，單位長度重量ρ=1.37 N/m。作為末端執行器的半球殼形饋源艙體半徑為 0.50 m，質量為 400kg，慣量矩陣為 diag(33.97，33.97，54.34)(kg·m2)，這里 diag表示對角陣。6個索連接點均位于艙體表面上，其中3個距艙底面的高度為0.10 m，另外3個的高度為0.48 m。空間離散化時每根柔索劃分為20個單元。

給定末端執行器初始位姿為 q0=(2.00，1.00，16.0，0.0889，－ 0.1756，3.108)T，其中長度單位為m，角度單位為rad，下同。要求末端執行器在10 s內沿直線軌跡運動到終點 q1=(2.50，1.50，16.2，0.135，－0.263，3.121)T，運動過程中每個坐標分量的軌跡均為直線。文［1，6］認為由于運動緩慢，在軌跡上任一點處系統均處于靜平衡狀態。本文將這種運動稱為靜態運動。

圖7 末端執行器的動態位移Fig.7 Dynamic displacement of end-effector

本文模型結果相對于靜態運動的位移偏差如圖7所示。可以看出，系統運動過程中會出現圍繞其靜平衡位置的振動。振動導致的總體位置誤差((Δx2+Δy2+Δz2)1/2)為3.5 mm，總體姿態誤差為 8.25 ×10–3rad(0.47°)。由此可見，在理想情況下，文獻［1，6］認為系統處于靜平衡狀態是合理的。

但當系統中存在誤差時，柔索動態特性的影響會顯著增加。例如，由于設備的測量誤差，導致給定的末端執行器初始位置沿3個坐標軸方向各有20 mm的位置誤差時，系統沿x軸平動和繞x軸轉動的運動軌跡如圖8所示，相對于靜態運動的位移偏差在圖9中給出。可以看到，初始誤差導致的振動始終存在，沿x軸的平動振幅接近于20 mm;繞x軸的轉動振幅接近6.0×10–2rad(3.4°)。其他方向上的運動與此類似。此時，振動導致的總體位置誤差為32 mm，總體姿態誤差為8.2 ×10–2rad(4.7°)。而且，運動過程中振幅衰減很慢，這是由于柔索系統的阻尼很小造成的。

計算中發現，系統的運動速度增大時，動態特性的影響也會相應增大，導致動態運動軌跡遠離其靜平衡位置。因此，當系統的運動速度較大或運動精度要求較高時，考慮柔索動態特性的影響是必要的。

5 結束語

本文首先推導了索長慢速變化時柔索的動力學方程，在此基礎上根據柔索與末端執行器之間的耦合關系推導出索長變化時索牽引機器人的時變結構動力學模型，為評估柔索動態特性對末端執行器定位精度的影響提供了參考。

計算過程中發現，當柔索長度變化很慢時，含索長變化速度L·(t)的相關各項均可忽略不計。此時系統轉變為一個平衡位置不斷變化的結構振動問題。工程中對柔索進行動力學分析時大多只需考慮其前一、二階振動模態的影響，因此，僅需將柔索劃分為少數幾個單元就可以很好地考慮到這些模態的影響。

隨著索長收放速度的加快，末端執行器偏離其靜態平衡位置的程度越來越大，系統的非線性動力學特性更加復雜。此時分析時必須依據不同索長及索長收放速度，采用不同的建模方法。控制器的設計與系統的動力學模型直接相關。只有多方面因素綜合考慮，才能精確控制其未端執行器的定位精度。

應當指出的是，根據不同的索長變化速度來確定與索長變化速度和加速度相關各項的取舍以及柔索劃分單元數目的合理確定仍是需要進一步討論的一個重要問題。

［1］Duan B Y，Qiu Y Y，Zhang F S，et al.On design and experiment of the feed cable-suspended structure for super antenna［J］.Mechatronics，2009，19(4):503 －509.

［2］Bosscher P，Riechel A T，Ebert-Uphoff I.Wrench-feasible workspace generation for cable-driven robots［J］.IEEE Transactions on Robotics，2006，22(5):890 －902.

［3］Parikh P J，Lam S S.A Hybrid strategy to solve the forward kinematics problem in parallel manipulators［J］.IEEE Transactions on Robotics，2005，21(1):18－25.

［4］Oh S R，Agrawal S K.A reference governor based controller for a cable robot under input constraints［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2005，13(4):639－645.

［5］Fang S，Franitza D，Torlo M，et al.Motion control of a tension-based parallel manipulator using optimal tension distribution［J］.IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2004，9(3):561－567.

［6］Kozak K，Zhou Q，Wang J.Static analysis of cable-driven manipulators with non-negligible cable mass.IEEE Transaction on Robotics，2006，22(3):425 －433.

［7］杜敬利，段寶巖，保 宏，等.一種緩慢運動索牽引并聯機器人的跟蹤控制［J］.振動與沖擊，2008，27(11):173－176.

［8］Ni Y Q，Lou W J，Ko J M.A hybrid pseudo-force/laplace ransform method for non-linear transient response of a suspended cable［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，238(2):189－214.

［9］金棟平，文 浩，胡海巖.繩索系統的建模、動力學和控制［J］.力學進展，2004，34(3):304 －313.

［10］訾 斌，段寶巖，杜敬利.柔索驅動并聯機器人動力學建模與數值仿真［J］.機械工程學報，2007，43(11):82－88.