縱向與橫向振動耦合作用下軸向運動梁的非線性振動研究

黃建亮，陳樹輝

(中山大學 應用力學與工程系，廣州 510275)

傳動系統廣泛應用于各類工程領域中，例如磁帶、空中纜車的纜繩、高速電梯繩、高速轉動的鋸片、動力傳輸帶、造紙帶等，它們的振動一直以來都是國內外研究的熱點，大部分的模型可看作是軸向運動梁繩，屬于經典的陀螺系統［1］。早期對該軸向運動系統的研究集中在線性振動問題的分析上，包含了固有頻率、模態分析和運動臨界速度等，然而線性振動分析解釋不了振幅大或在臨界速度附近出現的一些自激振動、參數振動、內共振、次諧波共振、超諧波共振、組合諧波共振、跳躍問題等非線性振動特有的現象，這些共振點會給工程設計帶來隱患，僅研究線性問題無能為力，所以非常有必要考慮該類系統的非線性振動問題。

對軸向運動系統的非線性振動問題，國內外已有大量的文獻報道。Wickert等［2］全面評論了至1988年以前的研究工作，Pellicano 等［3］和 Chen［4］分別在 2000年和2005對軸向運動系統的研究工作做了很好的綜述。其中Riedel等［1］采用多尺度法研究了軸向運動體系的內部共振，Chen等［5］分析了粘彈性運動梁的橫向振動的穩態響應，最近丁虎和陳立群對軸向變速運動黏彈性梁的受迫振動響應作了分析［6］。?z等［7］研究了變速下運動梁的橫向振動的穩定性問題。Sze等［8，9］應用IHB法研究了在恒定速度下運動梁的橫向振動的基諧波、超諧波、次諧波等一系列復雜的穩態響應，陳樹輝等［10］進一步研究了內部共振的情況，以及利用多元L－P法研究運動梁的橫向非線性振動［11］。張偉等［12］分析具有Kelvin黏彈性材料的傳動帶，利用多尺度法和Galerkin離散法得到在1∶3內共振時平均方程，用數值模擬方法得到系統的周期振動和混沌動力學。由于運動梁的縱向振動頻率遠離橫向振動頻率，多數的研究都是直接忽略縱向振動對橫向振動的影響。然而，在高速傳動或振動幅度大時，縱向振動對系統振動響應的影響將不可忽略，并直接影響系統的內部共振特征。

本文探討在縱向振動和橫向振動耦合作用及受簡諧外激勵作用下軸向運動梁的非線性振動，應用IHB法深入分析在橫向第1，2固有頻率1∶3內部共振條件下系統的響應特征。

1 運動方程

圖1所示為軸向運動梁的示意圖，采用歐拉－伯努利梁力學模型。梁在兩端鉸支的條件下以軸向速度V運動，梁的橫截面積為A，質量密度ρ，長度為L，抗彎剛度為EI，P為軸向張力，X為軸向坐標，XOZ是固定坐標系。記運動梁的橫向位移為W(X，T)，縱向位移U(X，T)，T為時間。根據哈密頓原理(Hamilton’s Principle)建立梁的運動微分方程，得到下列無量綱化的縱向與橫向耦合的非線性振動方程［8］:

考慮運動梁兩端為鉸支，忽略支座處的彎矩，其邊界條件為:

圖1 運動梁的以速度V運動的示意圖Fig.1 Schematic of an axially moving beam with velocity V

其中無量綱量:

2 Galerkin方法

首先采用變量分離，把時間變量t和空間變量x進行分離，為此，令:

為簡便計，只取N=M=2，將式(5)，式(6)和式(7)代入式(1)和式(2)后，應用Galerkin方法進行運算。在實際運動梁系統中存在著材料結構阻尼或粘彈性阻尼，為簡單計，這里加入模態阻尼項μ，從而得到下列方程:

由方程(8)～方程(11)得知，阻尼矩陣具有反對稱性質，所以該類系統具有陀螺特性，且方程中的恢復力包含了2次和3次非線性項。方程(8)和方程(9)及方程(10)和(11)可表示成矩陣形式:

其中:

3 增量諧波平衡法(IHB法)

增量諧波平衡法(IHB法)自提出以來，在解決非線性振動的問題被廣泛應用。Sze，陳樹輝等［8，9］進一步推廣到適合于含有陀螺系統特性的軸向運動梁的橫向非線性振動。

引入新的時間變量τ，令:

方程(14)變為:

IHB法的第一步是Newton－Raphson的增量過程。令qj0和ω0表示振動過程中的某一狀態，則其鄰近的狀態可以表示為增量的形式:

其中 j=1，2，…，m， m=N+M

將表達式(17)，(18)代入方程(16)并略去高階項，便得到矩陣形式的增量方程:

其中:

R是誤差向量，當q0，ω0為準確解時，其值為零。

IHB法的第二步驟是諧波平衡過程。為此把q0和Δq展開成傅里葉級數:

其中:

于是，

其中:

將式(23)代入公式(19)并應用Galerkin過程，可以得到以ΔA，Δω表示的線性方程組。

其中:

方程是一個線性方程組，其未知量的數目比方程數目多一個。因此，求解時必須選定其中一個增量作為控制增量。如果我們選擇 Δω作為控制增量的話，則在給定的增量中，Δω是已知值，其他的增量從下列方程求解得到。

求得ΔA后，由表達式(16)求得Δq，q0，再由表達式求得q，從而求得新的，于是又可以從方程求得ΔA。這一過程稱為迭代過程。迭代過程一直進行下去，直到誤差向量R小于預先規定的誤差值，此時就得到對應于Ω的振幅A，從而求得原方程的解。當迭代過程結束，再給控制增量Ω增加一個增量Δω，于是在新的Ω值之下進行上述的迭代過程，以求出對應新的Ω值的振幅A。這一人為給出增量Δω的過程稱為Ω增量過程。整個非線性振動問題的求解過程就是反復交替應用增量過程和迭代過程。

4 算例

［1］所取的具有工程背景的參數=1124，=0.03，v=0.6。那么系統的固有頻率可由方程(14)線性化后確定，表示為:

其中G為去除阻尼項之后的具有陀螺性質矩陣系數。

由式(26)得到橫向振動的2個固有頻率為2.82和 9.14，縱向振動的 2個固有頻率為 105.29和210.65。縱向的前2階模態的固有頻率已遠離橫向的前2階模態的固有頻率，當橫向振動幅度較小或軸向運動速度低時，縱向對橫向振動的影響是有限的，然而不在上述情況時，我們不得不考慮兩者耦合作用時的非線性振動。

在方程(21)中，取 nc=5，ns=4，令:

圖2為橫向振動的各階頻幅響應曲線圖，實線和虛線分別表示為有無縱向振動影響下的響應曲線。從圖中得知系統的呈現出硬彈簧特性，且Ω/ω1－A31的響應占主導地位，說明該系統的振動以橫向的第一基諧波振動為主。圖2(a)所示為橫向振動的第一階模態的頻幅響應，當系統的振幅小時，縱向振動對橫向振動的影響很小，而當振幅大時，縱向振動對橫向振動的影響越來越明顯，在同一頻率處，在縱向振動的影響下，其橫向振動的振幅要比沒有耦合情況時要大，說明了縱向振動的能量向橫向振動轉移。但整個過程兩者的非線性特性沒有發生改變，在Ω/ω1≈1.2附近發生了內部共振現象，然而有耦合情況下，內部共振的特性更為復雜。圖2(b)和(c)所示為橫向振動第2階模態的頻幅響應，第1和第3諧波項響應較為接近。但因橫向第2階模態響應較小，所以縱向振動對它的影響非常大，圖2(b)可看出其第1諧波響應的特性在縱向振動的影響下已完全改變;從圖2(c)可看出在縱向振動的影響下第3 諧波響應分別在 Ω/ω1=1.14，1.25，1.62三個點趨于零，然而只考慮橫向振動時沒有出現該類現象。

圖2 橫向振動的頻幅響應，f1=0.0055，f2=0Fig 2 .Frequency response of the first and third transverse mode with f1=0.0055，f2=0

圖3 縱向振動的頻幅響應，f1=0.0055，f2=0Fig 3 .Frequency response of the first and third transverse mode with f1=0.0055，f2=0

圖3所示為縱向振動各階模態的頻幅響應曲線圖，圖3(a)為第2，4階模態各諧波響應，圖3(b)為第2階諧波響應(第4階太小，未給出)。從圖3得知，縱向振動響應遠小于圖2中的橫向振動響應。其振動也呈現出硬彈簧特性，在Ω/ω1≈1.2附近也發生了復雜的內部共振現象。

5 結論

IHB法是一種十分有效的非線性動力學定量分析方法，應用該法對縱向振動與橫向振動耦合時的橫向兩個模態之間1∶3的內部共振的運動梁的系統響應作了理論分析。縱向模態的頻率雖然遠離橫向模態的頻率，在只考慮橫向振動的非線性特性時，為了進行簡化，我們可先忽略縱向模態的影響。然而在縱向振動的影響下，橫向振動其出現的內部共振現象更為復雜，在振幅較大時，縱向振動對橫向振動的影響越來越大，且縱向模態的能量會向橫向模態轉移。所以設計高速傳動的運動梁時，我們不得不考慮縱向模態與橫向模態之間的耦合作用。

參考文獻

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